【수능】 2025학년도 대학수학능력시험 수학

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【수능】 2025학년도 대학수학능력시험 수학

초록E 2025. 2. 7. 01:50

2025학년도 대학수학능력시험 수학

추천글 : 【수학】 수학 목차

1. 다음 값은?

풀이.

2. 함수 f(x) = x³ - 8x + 7에 대하여 다음 값은?

풀이.

3. 첫째항과 공비가 모두 양수 k인 등비수열 {a_n}이 다음을 만족시킬 때, k의 값은?

풀이.

4. 다음과 같은 함수가 실수 전체의 집합에서 연속일 때, 상수 a의 값은?

풀이.

5. 함수 f(x) = (x² + 1)(3x² - x)에 대하여 f'(1)의 값은?

풀이.

f'(1) = 2x (3x² - x) + (x² + 1)(6x - 1) | _x=1 = 2 × 2 + 2 × 5 = 14

6. cos(π/2 + θ) = -1/5일 때, sin θ / (1 - cos² θ)의 값은?

풀이.

cos(π/2 + θ) = -sinθ = -1/5

∴ sin θ / (1 - cos² θ) = sin θ / sin² θ = 1 / sin θ = 5

7. 다항함수 f(x)가 모든 실수 x에 대하여 다음을 만족시킬 때, f(1)의 값은?

풀이.

f(x) = d/dx (3x³ + 2x) = 9x² + 2

∴ f(1) = 9 + 2 = 11

8. 다음과 같은 두 실수에 대하여 a × b의 값은?

풀이.

9. 함수 f(x) = 3x² - 16x - 20에 대하여 다음과 같을 때, 양수 a의 값은?

풀이.

10. 닫힌구간 [0, 2π]에서 정의된 함수 f(x) = a cos(bx) + 3이 x = π / 3에서 최댓값 13을 갖도록 하는 두 자연수 a, b의 순서쌍 (a, b)에 대하여 a + b의 최솟값은?

풀이.

a + 3 = 13으로부터 a = 10을 얻는다.

1 = cos(b × π / 3) = cos(2nπ), n ∈ ℕ이므로 b = 6n을 얻는다.

그러므로 a + b = 10 + 6n ≥ 16

11. 시각 t = 0일 때 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 P의 시각 t (t ≥ 0)에서의 위치 x가 x = t³ - (3/2)t² - 6t이다. 출발한 후 점 P의 운동 방향이 바뀌는 시각에서의 점 P의 가속도는?

풀이.

dx/dt = 3t² - 3t - 6 = 3(t² - t - 2) = 3(t - 2)(t + 1) = 0 ⇔ t = 2

∴ dx² /dt² |_t=2 = 6t - 3 |_t=2 = 9

12. a₁ = 2인 수열 {a_n}과 b₁ = 2인 등차수열 {b_n}이 모든 자연수 n에 대하여 다음을 만족시킬 때, a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + a₅의 값은?

풀이.

13. 최고차항의 계수가 1인 삼차함수 f(x)가 f(1) = f(2) = 0, f'(0) = -7을 만족시킨다. 원점 O와 점 P(3, f(3))에 대하여 선분 OP가 곡선 y = f(x)와 만나는 점 중 P가 아닌 점을 Q라 하자. 곡선 y = f(x)와 y축 및 선분 OQ로 둘러싸인 부분의 넓이를 A, 곡선 y = f(x)와 선분 PQ로 둘러싸인 부분의 넓이를 B라 할 때, B - A의 값은?

풀이.

14. 그림과 같이 삼각형 ABC에서 선분 AB 위에 AD : DB = 3 : 2인 점 D를 잡고, 점 A를 중심으로 하고 점 D를 지나는 원을 O, 원 O와 선분 AC가 만나는 점을 E라 하자. sin A : sin C = 8 : 5이고, 삼각형 ADE와 삼각형 ABC의 넓이의 비가 9 : 35이다. 삼각형 ABC의 외접원의 반지름의 길이가 7일 때, 원 O 위의 점 P에 대하여 삼각형 PBC의 넓이의 최댓값은? (단, AB < AC)

풀이.

AD = AE = 3k, DB = 2k, EC = 4k

∴ AB = c = 5k, AC = b = 7k

사인법칙에 의해 BC / sin A = AB / sin C ⇔ BC = a = 8k

헤론의 공식에 따라 △ABC = √(s(s-a)(s-b)(s-c)) = 10√3 k² (cf. s = (a + b + c) / 2 = 10k)

또한, 외접원 반지름을 이용하여 △ABC = (1/2) ab sin C = (1/2) ab × c/2R = abc / 4R = 280k³ / 28 = 10k³

∴ 10√3 k² = 10k³으로부터 k = √3을 얻을 수 있다.

A에서 BC까지의 거리 = 2△ABC / BC = 2 × 30√3 / 8√3 = 7.5

∴ △PBC = (1/2) × BC × (A에서 BC까지의 거리 + 추가 거리) ≤ (1/2) × BC × (7.5 + AD) = (1/2) × 8√3 × (7.5 + 3√3) = 36 + 30√3

15. 상수 a (a ≠ 3√5)와 최고차항의 계수가 음수인 이차함수 f(x)에 대해 함수

가 다음 조건을 만족시킨다.

㈎ 함수 g(x)는 실수 전체의 집합에서 미분가능하다.

㈏ x에 대한 방정식 g'(x) × g'(x-4) = 0의 서로 다른 실근의 개수는 4이다.

g(-2) + g(2)의 값은?

풀이.

a ≠ 3√5이므로 g'(x) = 0이 x ≤ 0에서 중근을 갖지 않는다.

g'(x) = 3x² + 2ax + 15에 x = 0을 대입하면 15 = g'(0) = f'(0)을 얻을 수 있다.

f'(x)는 일차함수이고 최고차항의 계수가 음수이므로 f'(x) = 0인 x > 1이 정확하게 1개 존재한다.

g'(x) = 0인 x ≤ 0이 존재하지 않으면, g'(x) × g'(x-4) = 0의 서로 다른 실근의 개수가 4개가 되기에는 부족하다.

그런데 g'(x) = 0, x ≤ 0이 중근을 갖지 않으므로 g'(x) = 0은 x ≤ 0에서 2개, x > 0에서 1개의 해를 갖는다.

이를 차례대로 x₁ < x₂ < x₃라고 하면, g'(x-4) = 0은 x₂ < x₃ < x₄를 해로 갖는다.

이때 x₂, x₃는 이차함수에 의한 해이고, x₄는 일차함수(즉, f'(x-4))에 의한 해이다.

따라서 g'(x) = 3x² + 2ax + 15 = 3(x-t)(x-t-4)와 같은 형태이다.

이때 (t, a) = (-5, 9), (1, -9)와 같이 정해지고, x₁ + x₂ = -2a / 3 < 0이므로 a = 9이다.

한편, x³ = x² + 4 = (-5 + 4) + 4 = 3이므로 f'(x) = 15 - 5x ⇔ f(x) = 7 + 15x - 2.5x²을 얻는다.

따라서, g(-2) + g(2) = (-8 + 36 -30 + 7) + (7 + 30 - 10) = 5 + 27 = 32

16. 방정식 log₂(x - 3) = log₄(3x - 5)를 만족시키는 실수 x의 값을 구하시오.

풀이.

17. 다항함수 f(x)에 대하여 f'(x) = 9x² + 4x이고 f(1) = 6일 때, f(2)의 값을 구하시오.

풀이.

f(x) = 3x³ + 2x² + C = 3x³ + 2x² + 1 (∵ f(1) = 6)

∴ f(2) = 24 + 8 + 1 = 33

18. 수열 {a_n}이 모든 자연수 n에 대하여 a_n + a_n+4 = 12를 만족시킬 때, a₁ + a₂ + ⋯ + a₁₆의 값을 구하시오.

풀이.

a₁ + a₂ + ⋯ + a₁₆ = ((a₁ + a₅) + ⋯ + (a₄ + a₈)) + ((a₉ + a₁₃) + ⋯ + (a₁₂ + a₁₆)) = (12 + ⋯ + 12) + (12 + ⋯ + 12) = 96

19. 양수 a에 대하여 함수 f(x)를 f(x) = 2x³ - 3ax² - 12a2x라 하자. 함수 f(x)의 극댓값이 7/27일 때, f(3)의 값을 구하시오.

풀이.

f'(x) = 6x² - 6ax - 12a² = 6(x² - ax - 2a²) = 6(x-2a)(x+a)

x = -a에서의 함숫값이 극댓값이므로 f(-a) = -2a³ - 3a³ + 12a³ = 7a³ = 7/27 ⇔ a = 1/3

∴ f(3) = 54 - 9 - 4 = 41

20. 곡선 y = (1/5)^x-3과 직선 y = x가 만나는 점의 x좌표를 k라 하자. 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 f(x)가 다음 조건을 만족시킨다.

x > k인 모든 실수 x에 대하여 f(x) = (1/5)^x-3이고 f(f(x)) = 3x이다.

f(1 / (k³ × 5^3k))의 값을 구하시오.

풀이.

x > k의 경우 f(x) = (1/5)^x-3 < f(k) = k이므로, x' < k의 경우 f(x') = f(f(x)) = 3x = 3f^-1(x') = -3 ln(x'/125) / ln5가 성립한다.

이때 2 < k < 3임은 쉽게 확인할 수 있으므로, 1 / (k³ × 5^3k) < k이다.

따라서 f(1 / (k³ × 5^3k))의 값은 다음과 같다.

21. 함수 f(x) = x³ + ax² + bx + 4가 다음 조건을 만족시키도록 하는 두 정수 a, b에 대해 f(1)의 최댓값을 구하시오.

모든 실수 α에 대하여 lim_x→α f(2x+1) / f(x)의 값이 존재한다.

풀이.

f(x)는 3차 함수이므로 세 개의 실근을 갖거나 1개의 실근과 2개의 허수근을 갖는다.

f(x)의 실근 1개를 α로 두면 f(2x+1) / f(x)가 수렴하기 위해 f(2α+1)도 실근이어야 한다.

2α+1를 α'으로 두면 f(2x+1) / f(x)가 수렴하기 위해 f(2α'+1)도 실근이어야 한다.

따라서 f(x)는 α, 2α+1, 2(2α+1)+1, ···을 근으로 가져야 하므로 α ≠ -1이라면 무한히 많은 근을 가지게 되어 모순이다.

f(-1) = a - b + 3 = 0이므로 f(x) = (x+1)(x² + (a-1)x + 4)에서 2차식의 판별식 D = (a-1)² - 16 < 0 ⇔ -3 < a < 5를 얻는다.

그러므로 f(1) = 5 + a + b = 8 + 2a ≤ 8 + 8 = 16로부터 f(1)의 최댓값은 16이다.

22. 모든 항이 정수이고 다음 조건을 만족시키는 모든 수열 {a_n}에 대하여 |a₁|의 값의 합을 구하시오.

㈎ 모든 자연수 n에 대하여 다음이 성립한다.

㈏ |a_m| = |a_m+2|인 자연수 m의 최솟값은 3이다.

풀이.

a₁이 너무 크면 첫 몇 개에 대하여는 a₁ > a₂ > a₃ > ··· 순으로 계속 크기가 작아질 것이다.

따라서, 넉넉히 잡아 a₁ = -100 ~ 100일 때 a₃ = a₅인지 살피면 |a₁|의 후보를 쉽게 구할 수 있다.

이 문제의 취지는 a₁ = -10 ~ 10에서의 경우를 살펴 수열의 패턴을 파악하고 적절히 일반화하는 것으로 판단된다.

a₁	a₂	a₃	a₄	a₅
-10	-5	-8	-4	-2
-9	-12	-6	-3	-6
-8	-4	-2	-1	-4
-7	-10	-5	-8	-4
-6	-3	-6	-3	-6
-5	-8	-4	-2	-1
-4	-2	-1	-4	-2
-3	-6	-3	-6	-3
-2	-1	-4	-2	-1
-1	-4	-2	-1	-4
0	0	0	0	0
1	-2	-1	-4	-2
2	1	-2	-1	-4
3	0	0	0	0
4	2	1	-2	-1
5	2	1	-2	-1
6	3	0	0	0
7	4	2	1	-2
8	4	2	1	-2
9	6	3	0	0
10	5	2	1	-2

우선, a₃ = 2, a₅ = -2가 되도록 하는 a₁은 a₁ = 7, 8, 10이며, 그 이후는 숫자가 커서 a₃ > a₄ > a₅이 성립한다.

또한, a₃ = a₅ = 0이 되도록 하는 a₁은 a₁ = 6이며, 그 이후는 숫자가 커서 a₃ > a₄ > a₅이 성립한다.

마지막으로, a₃ = a₅ = -6이 되도록 하는 a₁은 a₁ = -9, -24이다.

-24를 찾는 것은 수학적 센스를 많이 요구할 것으로 보인다.

따라서, ∑_i |a_1,i| = (7 + 8 + 10) + 6 + (9 + 24) = 64

(확률과 통계) 23. 다항식 (x³ + 2)⁵의 전개식에서 x⁶의 계수는?

풀이.

₅C₂ × 2^5-2 = 80

(확률과 통계) 24. 두 사건 A, B에 대하여 P(A | B) = P(A) = 1/2, P(A ∩ B) = 1/5일 때, P(A ∪ B)의 값은?

풀이.

1/5 = P(A ∩ B) = P(A) × P(B) = 1/2 × P(B)

∴ P(B) = 2/5

∴ P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) = 1/2 + 2/5 - 1/5 = 7/10 (∵ 포함배제의 원리)

(확률과 통계) 25. 정규분포 N(m, 2²)을 따르는 모집단에서 크기가 256인 표본을 임의추출하여 얻은 표본평균을 이용하여 구한 m에 대한 신뢰도 95%의 신뢰구간이 a ≤ m ≤ b이다. b - a의 값은? (단, Z가 표준정규분포를 따르는 확률변수일 때, P(|Z| ≤ 1.96) = 0.95로 계산한다.)

풀이.

1.96 = (b - m) / (2 / 16) ⇔ b = 3.84 / 16 + m

∴ b - a = 2(b - m) = 2 × 3.84 / 16 = 0.48

(확률과 통계) 26. 어느 학급의 학생 16명을 대상으로 과목 A와 과목 B에 대한 선호도를 조사하였다. 이 조사에 참여한 학생은 과목 A와 과목 B 중 하나를 선택하였고, 과목 A를 선택한 학생은 9명, 과목 B를 선택한 학생은 7명이다. 이 조사에 참여한 학생 16명 중에서 임의로 3명을 선택할 때, 선택한 3명의 학생 중에서 적어도 한 명이 과목 B를 선택한 학생일 확률은?

풀이.

(준식) = 1 - P(3명 모두 A를 선택할 확률) = 1 - ₉C₃ / ₁₆C₃ = 1 - 84 / 560 = 17/20

(확률과 통계) 27. 숫자 1, 3, 5, 7, 9가 각각 하나씩 적혀 있는 5장의 카드가 들어 있는 주머니가 있다. 이 주머니에서 임의로 1장의 카드를 꺼내어 카드에 적혀 있는 수를 확인한 후 다시 넣는 시행을 한다. 이 시행을 3번 반복하여 확인한 세 개의 수의 평균을 X̄라 하자. V(aX̄ + 6) = 24일 때, 양수 a의 값은?

풀이.

V(aX̄ + 6) = a2 V(X̄) = a² V((X₁ + X₂ + X₃) / 3) = (a²/9) × 3 × V(X₁) = (a²/3) × (1/5) × ((-4)² + (-2)² + 2² + 4²) = 24

⇔ a = 3

(확률과 통계) 28. 집합 X = {1, 2, 3, 4, 5, 6}에 대하여 다음 조건을 만족시키는 함수 f : X → X의 개수는?

㈎ f(1) × f(6)의 값이 6의 약수이다.

㈏ 2f(1) ≤ f(2) ≤ f(3) ≤ f(4) ≤ f(5) ≤ 2f(6)

풀이.

다음과 같은 각 경우에 대해 쉽게 경우의 수를 셀 수 있다.

● 경우 1. (f(1), f(6)) = (1, 1) : 경우의 수 = 1

● 경우 2. (f(1), f(6)) = (1, 2) : 경우의 수 = 15

● 경우 3. (f(1), f(6)) = (1, 3) : 경우의 수 = 70

● 경우 4. (f(1), f(6)) = (1, 6) : 경우 3과 같은 70개

● 경우 5. (f(1), f(6)) = (2, 3) : 경우 2와 같은 15개

따라서 총 171개

(확률과 통계) 29. 정규분포 N(m₁, σ₁²)을 따르는 확률변수 X와 정규분포 N(m₂, σ₂²)을 따르는 확률변수 Y가 다음 조건을 만족시킨다.

모든 실수 x에 대하여 P(X ≤ x) = P(X ≥ 40 - x)이고 P(Y ≤ x) = P(X ≤ x + 10)이다.

P(15 ≤ X ≤ 20) + P(15 ≤ Y ≤ 20)의 값을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 것이 0.4772일 때, m₁ + σ₂의 값을 구하시오. (단, σ₁과 σ₂는 양수이다.)

풀이.

P(X ≤ x) = P(X ≥ 40 - x)로부터 m₁ = 40/2 = 20을 얻고, P(Y ≤ x) = P(X ≤ x + 10)로부터 m₂ = m₁ + 10 = 30을 얻는다.

P(15 ≤ X ≤ 20) + P(15 ≤ Y ≤ 20) = P(15 ≤ X ≤ 20) + P(25 ≤ X ≤ 30) = P(20 ≤ X ≤ 25) + P(25 ≤ X ≤ 30) = P(20 ≤ X ≤ 30)

따라서, 0.4772 = P(0 ≤ Z ≤ 2.0) = P(20 ≤ σ₁Z + 20 = X ≤ 2σ₁ + 20) = P(20 ≤ X ≤ 30) ⇔ σ₁ = 5

m₁ + σ₂ = m₁ + σ₁ = 25

(확률과 통계) 30. 탁자 위에 5개의 동전이 일렬로 놓여 있다. 이 5개의 동전 중 1번째 자리와 2번째 자리의 동전은 앞면이 보이도록 놓여 있고, 나머지 자리의 3개의 동전은 뒷면이 보이도록 놓여 있다. 이 5개의 동전과 한 개의 주사위를 사용하여 다음 시행을 한다.

주사위를 한 번 던져 나온 눈의 수가 k일 때, k ≤ 5이면 k번째 자리의 동전을 한 번 뒤집어 제자리에 놓고, k = 6이면 모든 동전을 한 번씩 뒤집어 제자리에 놓는다.

위의 시행을 3번 반복한 후 이 5개의 동전이 모두 앞면이 보이도록 놓여 있을 확률은 q / p이다. p + q의 값을 구하시오. (단, p와 q는 서로소인 자연수이다.)

풀이.

경우 1. 1개의 동전을 뒤집는 행위를 3번 한 확률 = (1/6)3 × 3! = 1/36

경우 2. 1개의 동전을 뒤집는 행위를 2번 하고 나서 모든 동전을 한 번씩 뒤집는 행위를 1번 한 확률 = (1/6)² × 2! × (1/6) = 1/108

경우 3. 모든 동전을 한 번씩 뒤집는 행위를 1번 하고 나서 1개의 동전을 뒤집는 행위를 2번 한 확률 = (1/6) × (1/6)² × 2! = 1/108

경우 4. 1개의 동전을 뒤집는 행위를 1번 하고 나서 모든 동전을 한 번씩 뒤집고 다시 1개의 동전을 뒤집는 확률 = 1/108

∴ 1/36 + 3/108 = 1/18 = q / p ⇔ p + q = 19

(미적분) 23. 다음 값은?

풀이.

답은 3. x → 0에서 sin x ≈ x이다.

(미적분) 24. 다음 값은?

풀이.

(미적분) 25. 수열 {a_n}에 대하여

일 때, 다음 값은?

풀이

(미적분) 26. 그림과 같이 곡선

과 x축 및 두 직선 x = 1, x = e로 둘러싸인 부분을 밑면으로 하는 입체도형이 있다. 이 입체도형을 x축에 수직인 평면으로 자른 단면이 모두 정사각형일 때, 이 입체도형의 부피는?

풀이

(미적분) 27. 최고차항의 계수가 1인 삼차함수 f(x)에 대하여 함수 g(x)를 g(x) = f(e^x) + e^x이라 하자. 곡선 y = g(x) 위의 점 (0, g(0))에서의 접선이 x축이고 함수 g(x)가 역함수 h(x)를 가질 때, h'(8)의 값은?

풀이

f(x) = x³ + ax² + (b-1)x + c라 두면, g(x) = e^3x + ae^2x + bex + c가 된다.

곡선 y = g(x)가 (0, g(0))에서 접선이 x축이므로 g(0) = 0, g'(0) = 0을 얻는다.

또한, 역함수가 존재하는 g(x)는 단조증가함수이므로 g''(0) = 0이어야 한다.

따라서, 1 + a + b + c = 0 (식 1), 3 + 2a + b = 0 (식 2), 9 + 4a + b = 0 (식 3)을 얻는다.

식 1, 식 2, 식 3을 연립하면, a = -3, b = 3, c = -1을 얻는다.

따라서 g(x) = e^3x - 3e^2x + 3e^x - 1이다.

한편, g(h(x)) = x이므로 g'(h(x)) · h'(x) = 1을 얻을 수 있다.

g(ln3) = 8 ⇔ h(8) = ln 3이므로 h'(8) = 1 / g'(h(8)) = 1 / g'(ln3) = 1 / (3 × 3³ - 3 × 2 × 3² + 3 × 3¹) = 1 / 36이다.

(미적분) 28. 실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 f(x)의 도함수 f'(x)가 f'(x) = -x + exp(1 - x²)이다. 양수 t에 대하여 곡선 y = f(x) 위의 점 (t, f(t))에서의 접선과 곡선 y = f(x) 및 y축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 g(t)라 하자. g(1) + g'(1)의 값은?

풀이

f'(x)가 x에 대하여 증가함수이고 f'(1) = 0임을 주목하자. 그러면, 0 < t < 1 + ε (단, ε > 0)에서 (t, f(t))를 지나는 접선은 y = f(x) 위에 있다.

접선의 방정식과 적분의 부분분수법(integration by parts)를 이용하면 답을 구할 수 있다.

(미적분) 29. 등비수열 {a_n}이

을 만족시킨다. 부등식

을 만족시키는 모든 자연수 m의 값의 합을 구하시오.

풀이

등비수열 {a_n}은 다음과 같이 쉽게 결정할 수 있다.

따라서 (준식)을 다음과 같이 간단히 나타낼 수 있다.

따라서 자연수 m은 3, 5, 7, 9가 될 수 있어서 모든 자연수 m의 값의 합은 3 + 5 + 7 + 9 = 25이다.

(미적분) 30. 두 상수 a (1 ≤ a ≤ 2), b에 대하여 함수 f(x) = sin (ax + b + sinx)가 다음 조건을 만족시킨다.

㈎ f(0) = 0, f(2π) = 2πa + b

㈏ f'(0) = f'(t)인 양수 t의 최솟값은 4π이다.

함수 f(x)가 x = α에서 극대인 α의 값 중 열린 구간 (0, 4π)에 속하는 모든 값의 집합을 A라 하자. 집합 A의 원소의 개수를 n, 집합 A의 원소 중 가장 작은 값을 α₁이라 하면, nα₁ - ab = (q/p) π이다. p + q의 값을 구하시오. (단, p와 q는 서로소인 자연수이다.)

풀이

(기하) 23. 두 벡터 a = (k, 3), b = (1, 2)에 대하여 a + 3b = (6, 9)일 때, k의 값은?

풀이

a + 3b = (k+3, 3+6) = (k+3, 9) = (6, 9)

⇔ k = 3

(기하) 24. 꼭짓점의 좌표가 (1, 0)이고, 준선이 x = -1인 포물선이 점 (3, a)를 지날 때, 양수 a의 값은?

풀이

그림을 그려보면 포물선의 초점이 (3, 0)임을 쉽게 알 수 있다.

∴ y² = 4p(x - 1) = 8(x - 1)

∴ a = √(8 × 2) = 4

(기하) 25. 좌표공간의 두 점 A(a, b, 6), B(-4, -2, c)에 대하여 선분 AB를 3 : 2로 내분하는 점이 z축 위에 있고, 선분 AB를 3 : 2로 외분하는 점이 xy평면위에 있을 때, a + b + c의 값은?

풀이

선분 AB를 3 : 2로 내분하는 점 = (2/5) A + (3/5) B = (0.4a - 2.4, 0.4b - 1.2, 2.4 + 0.6c) = (0, 0, ?) ⇔ a = 6, b = 3

선분 AB를 3 : 2로 외분하는 점 = B + 2(B - A) = -2A + 3B = (-2a - 12, -2b - 6, -12 + 3c) = (?, ?, 0) ⇔ c = 4

∴ a + b + c = 13

(기하) 26. 자연수 n (n ≥ 2)에 대하여 직선 x = 1 / n이 두 타원 C₁ : x² / 2 + y² = 1, C₂ : 2x² + y² / 2 = 1과 만나는 제1사분면 위의 점을 각각 P, Q라 하자. 타원 C₁ 위의 점 P에서의 접선의 x절편을 α, 타원 C₂ 위의 점 Q에서의 접선의 x절편을 β라 할 때, 6 ≤ α - β ≤ 15가 되도록 하는 모든 n의 개수는?

풀이

P = (x₁, y₁) = (1 / n, √(1 - 1 / 2n²) )

Q = (x₂, y₂) = (1 / n, √(2 - 4 / n²) )

타원 C₁ 위의 점 P에서의 접선 : xx₁ / 2 + yy₁ = 1 → α = 2 / x₁ = 2n (∵ y = 0)

타원 C₂ 위의 점 Q에서의 접선 : 2xx₂ + yy₂ / 2 = 1 → β = n / 2 (∵ y = 0)

∴ 6 ≤ α - β = 1.5n ≤ 15 ⇔ 4 ≤ n ≤ 10

따라서 n의 개수는 7개

(기하) 27. 그림과 같이 AB = 6, BC = 4√5인 사면체 ABCD에 대하여 선분 BC의 중점을 M이라 하자. 삼각형 AMD가 정삼각형이고 직선 BC는 평면 AMD와 수직일 때, 삼각형 ACD에 내접하는 원의 평면 BCD 위로의 정사영의 넓이는?

풀이

AB = AC = 6

AM = MD = AD = √(AB² - (BC / 2)²) = 4

CD = BD = √(MD² + CM²) = 6

M = (0, 0, 0), B = (0, 2√5, 0), C = (0, -2√5, 0), D = (4, 0, 0), A = (2, 0, 2√3)로 두자. (축을 설정했는지 쉽게 알 수 있을 것이다.)

△ACD의 내접원 반지름 r 및 내접원의 면적은 다음과 같다.

△ACD의 법선벡터는 다음과 같다.

△BCD의 법선벡터는 (0, 0, 1)이다.

따라서 △ACD와 △BCD의 사잇각을 θ라 할 때 cos θ은 다음과 같다.

∴ 내접원의 평면 BCD 위로의 정사영 면적 = 2π × √5 / 4√2 = (√10 / 4) π

(기하) 28. 좌표공간에 AB = 8, BC = 6, ∠ABC = π / 2인 직각삼각형 ABC와 선분 AC를 지름으로 하는 구 S가 있다. 직선 AB를 포함하고 평면 ABC에 수직인 평면이 구 S와 만나서 생기는 원을 O라 하자. 원 O 위의 점 중에서 직선 AC까지의 거리가 4인 서로 다른 두 점을 P, Q라 할 때, 선분 PQ의 길이는?

풀이

선분 AB의 중점을 M, P에서 AB에 내린 수선의 발을 H라 하자.

PH의 길이를 x라 할 때, P와 AC의 거리가 4라는 사실로부터 다음과 같은 식을 얻을 수 있다.

∴ PQ = 2PH = 2√(16 - (4 - x)²) = √55

(기하) 29. 두 초점이 F(c, 0), F'(-c, 0) (c > 0)인 쌍곡선 x² - y² / 35 = 1이 있다. 이 쌍곡선 위에 있는 제1사분면위의 점 P에 대하여 직선 PF' 위에 PQ = PF인 점 Q를 잡자. 삼각형 QF'F와 삼각형 FF'P가 서로 닮음일 때, 삼각형 PFQ의 넓이는 (q/p) √5이다. p + q의 값을 구하시오. (단, PF' < QF'이고, p와 q는 서로소인 자연수이다.)