【해석학】 11강. 초월함수 (지수함수, 로그함수, 삼각함수)

11강. 초월함수 (지수함수, 로그함수, 삼각함수)

 

추천글 : 【해석학】 해석학 목차 

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1. 지수함수와 로그함수 [본문]

2. 삼각함수 [본문]

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1. 지수함수와 로그함수 [목차]

⑴ 자연상수(natural constant) : 네이피어 상수(Napier constant)라고도 함

① 무한급수 수열 x_n의 존재성

○ x_n에 대한 이항정리

 

 

○ 정리 1. x_n은 단조증가함수

 

 

○ 정리 2. x_n은 유계

 

 

○ 결론 : 완비성 공리에 의해 x_n은 수렴함

② 자연상수 e의 정의

○  자연수 범위에서의 정의

 

 

○ 양의 실수 범위에서의 정의

 

○ 음의 실수 범위에서의 정의

 

 

⑵ 지수함수(exponential function)

① 지수함수(exponential function)

○ a ∈ ℝ에 대해, a⁰ = 1으로 정의

○ a ∈ ℝ에 대해, aⁿ⁺¹ = aⁿ × a에 의해 모든 0 이상의 정수 n에 대해 aⁿ을 정의 

○ a ∈ ℝ, n ∈ ℕ에 대해 

 

 

으로 정의

○ a ∈ ℝ, n ∈ ℕ, m ∈ ℤ에 대해 

 

 

으로 정의

○ 밑이 a ＞ 0, 지수가 x ∈ ℝ일 때 지수함수를 다음과 같이 정의

 

 

② 자연지수함수(natural exponential function) : 밑이 e인 지수함수

○ e^x의 원점에서의 미분계수

 

 

○ e^x의 미분계수 : 도함수가 자기 자신과 같음

 

 

○ e^x의 매클로린 급수(Maclaurin series)

 

 

③ 지수함수의 성질

 

 

⑶ 로그함수(logarithmic function) : 지수함수의 역함수

① 정의 : 밑이 a이고 진수가 b, 지수가 y인 경우

 

 

② 성질

 

 

③ 자연로그(natural logarithms) : 밑이 e인 로그

④ 상용로그(common logarithms) : 밑이 10인 로그

⑷ 해석학적 정의

① 자연로그함수 : 함수 ℓ : (0, ∞) → ℝ을 다음과 같이 정의. ln x로도 표시함

 

 

○ 정리 1. 로그함수는 전단사함수

 

 

○ 정리 2. 각 a, b ＞ 0에 대해 ℓ(ab) = ℓ(a) + ℓ(b) 

 

 

② 자연지수함수 : ℓ(x)의 역함수 k : ℝ → (0, ∞)를 지칭함. e^x로도 표시함

 

 

○ 정리 1. k'(x) = k(x)

 

 

○ 정리 2. x, y ∈ ℝ에 대해 k(x+y) = k(x) × k(y) 

 

 

③ 지수함수 

○ a ＞ 0, x ∈ ℝ에 대해 

 

 

로 정의 

○ a ＞ 0, a ≠ 1이고 x ＞ 0이면 

 

 

로 정의

○ 정리 1. a ＞0, x, y ∈ ℝ에 대해 a^x+y = a^xa^y

 

 

④ 로그함수

○ 정리 1. a ＞0, a ≠ 1, x ＞ 0, y ∈ ℝ일 때 

 

 

가 성립

○ 정리 2. a ＞ 0, a ≠ 1, x ＞ 0, y ∈ ℝ일 때 log_ax = y와 x = a^y이 동치

 

 

⑸ 지수함수 차수(exponential order)를 갖는 함수 : 어떤 M, γ ＞ 0가 있어서 [0, ∞) 구간에서 다음을 만족하는 함수 f

 

 

 

2. 삼각함수 [목차]

⑴ 정의

① 각의 표시 1. 육십분법 : 1회전각을 360°로 정의한 각의 표시법

② 각의 표시 2. 호도법(radian measure, circular measure) : θ = ℓ / r

③ 삼각함수의 정의

○ 사인 함수(sine function) : 호도법으로 표시한 반시계 방향의 각도 θ에 대해 y 좌표를 sin θ로 표시함

○ 코사인 함수(cosine function) : 호도법으로 표시한 반시계 방향의 각도 θ에 대해 x 좌표를 cos θ로 표시함

○ 탄젠트함수(tangent function) : tan θ ≡ sin θ / cos θ

○ 코시컨트 함수(cosecant function) : csc θ ≡ 1 / sin θ

○ 시컨트 함수(secant function) : sec θ ≡ 1 / cos θ

○ 코탄젠트 함수(cotangent function) : cot θ ≡ cos θ / sin θ

④ 삼각함수의 역함수 정의

○ 아크사인 함수(arcsine function) : arcsin θ ≡ sin^-1 θ

○ 아크코사인 함수(arccosine function) : arccos θ ≡ cos^-1 θ

○ 아크탄젠트 함수(arctangent function) : arctan θ ≡ tan^-1 θ

⑵ 삼각함수의 기본 성질

 

 

⑶ 삼각함수의 변환

① 곱을 합과 차로 바꾸기

 

 

② 합 또는 차를 곱으로 바꾸기

 

 

③ 배각공식과 반각공식

 

 

⑷ 삼각함수 관련 법칙

① 사인법칙 : ΔABC의 외접원의 반지름을 R, 각의 대응변의 길이를 a, b, c라 할 때 다음이 성립 

 

 

② 삼각형의 면적과 사인법칙 : ΔABC의 각의 대응변의 길이를 a, b, c라 할 때 다음이 성립

 

 

③ 제1코사인법칙 : ΔABC의 각의 대응변의 길이를 a, b, c라 할 때 다음이 성립

 

 

④ 제2코사인법칙 : ΔABC의 각의 대응변의 길이를 a, b, c라 할 때 다음이 성립

 

 

⑤ 헤론의 공식(Heron's formula) : 삼각형의 세 변의 길이를 각각 a, b, c라 하면 넓이는 다음과 같음 

 

출처 : 이미지 클릭

 

⑥ 유용 암기 공식 : 부분함수법으로 증명 가능

 

 

입력: 2020.03.19 09:47

수정: 2023.08.03 23:27