【해석학】 18강. 케플러 1, 2, 3법칙 증명

18강. 케플러 1, 2, 3법칙 증명

 

추천글 : 【해석학】 해석학 목차 

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1. 타원 [본문]

2. 중력 [본문]

3. 케플러 제2법칙 증명 [본문]

4. 케플러 제1법칙 증명 [본문]

5. 케플러 제3법칙 증명 [본문]

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 1. 타원(ellipse) [목차]

 

⑴ a ＞ c ＞ 0, F₁(-c, 0), F₂(c, 0)에 대해 두 점 F₁, F₂로부터의 거리의 합이 2a인 모든 점의 모임은 

 

 

에 대해 다음을 보이시오.

 

 

① 증명

 

 

⑵ 영역 D가 다음과 같을 때, D의 넓이를 구하시오.

 

 

① 계산 

 

 

⑶ 타원의 극좌표식 : 0 < e < 1이고 점 P(x, y)로부터 원점에 이르는 거리를 r이라 하자. 또 양의 x축을 시계 반대 방향으로 각도 𝜙만큼 회전하면 반직선 OP와 일치한다고 하자. β ＞ 0일 때 다음 식은 한 초점이 원점이 타원을 기술함을 보이시오.

 

 

① 증명 1 

 

 

② 증명 2

우선 결과가 타원일 것이라고 미리 추측하고 풀이의 방향을 전개한다. 우선 (β / (1 + e), 0)과 (- β / (1 - e), 0)을 지난다는 것을 알 수 있다. 그리고 그래프는 x축 대칭이므로 타원의 중심이 될 법한 점은 단 하나밖에 없을 것이다.

 

 

따라서 다음을 조사해 볼 필요가 있었다.

 

 

만약 위 식에서 분자에 sin²φ (1 - e²)이 추가되면 깔끔하게 1이 될 수 있다. 따라서 다음을 발견할 수 있다.

 

 

위 식은 명백히 타원방정식이며, 장반경, 단반경, 타원의 중심을 알고 있으므로 원점이 위 타원의 한 초점임을 증명할 수 있다.

 

 

③ 응용 : 태양이 원점에 있는 경우 근일점과 원일점은 장축(x축) 위에 있음

 

 

2. 중력(gravity) [목차]

 

⑴ 태양이 공간 ℝ³의 원점에 잇고 한 행성이 태양을 돌고 있다고 하자. 이때 행성의 시간 t에서의 위치를 벡터 r = r(t)로 나타내자. 여기서 r = r(t)은 C² 함수이고 다음을 가정한다. 아래에서 r = |r|이고 G는 만유인력상수, m은 행성의 질량, M은 태양의 질량이다.

 

① 모든 t에 대해 다음이 성립한다.

 

 

② 양수 α, γ가 있어 모든 t에 대해 α ＜ r(t) ＜ γ이다.

 

③ 행성은 한 선이나 원 위에서 움직이지 않는다.

 

⑵ 각운동량 보존 법칙 : 행성은 한 평면 위에서만 움직임을 보이시오. 실제로 0 ≠ c ∈ ℝ³이 있어 모든 t에 대해 c = r(t) × r'(t)임을 보이시오.

 

① 증명

c := r(t) × r'(t)라 두면, c'(t) = r'(t) × r'(t) + r(t) × r"(t) = r(t) × r"(t) = 0 (∵ ①)이다. 따라서 c는 상수벡터이고, 이는 모든 t에 대해 성립하므로 행성의 운동궤적은 c에 수직하다. 즉, 행성은 한 평면 위에서만 움직인다.

 

⑶ 극좌표 미분 : c와 수직이고 원점을 지나는 평면 위에 원점을 끝점으로 하는 반직선 ℓ을 고정하고 ℓ을 시계반대방향으로 θ만큼 회전하면 r(t)를 만난다고 하자. 여기서 θ'(t) ＞ 0이라 가정할 수 있다. 이때 

 

 

라 하면 다음을 보이시오.

 

 

① 증명

r' = (dr/dt) u_r + r (du_r/dθ) (dθ/dt) = r'u_r + rθ'u_θ. 참고로 u_r = (cos θ, sin θ), u_θ = (-sin θ, cos θ)이다.

 

 

3. 케플러 제2법칙 증명 [목차]

 

⑴ 면적 속도 일정의 법칙 : 선분 Or(t)이 쓸고 가는 영역의 넓이는 그 소요시간에 비례한다.

 

① 증명

c = r(t) × r'(t) = r(t) × (r'u_r + rθ'u_θ) = ru_r × rθ'u_θ = r²θ' u_z

∴ |c| = r²θ' = constant

 

 

 

4. 케플러 제1법칙 증명 [목차]

 

⑴ r" × c = GMθ'u_θ를 보여 상수벡터 e가 있어 r' × c = GMu_r + GMe임을 보이시오.

 

① 증명

d(r' × c)/dt = r" × c = -(GM/r²)u_r × c u_z = (GMc/r²)u_θ = GMθ'u_θ (∵ c = r²θ') = GMθ' du_r/dt

∴ r' × c = GMθ' u_r + E = GMθ' u_r + GMe (E, e = constant vector)

 

⑵ e = |e|라 할 때 0 < e < 1를 확인하고 e가 양의 x축 위에 놓이고 행성이 시계 반대방향으로 돌도록 y축도 정하시오. 양의 x축을 𝜙만큼 회전하여 r을 만나게 하자. 이때 

 

 

을 보이시오. 따라서 행성의 궤도는 태양을 한 초점으로 하는 타원임을 보이시오.

 

① 증명

e = |e|라고 하자.

r · (r' × c) = 평행육면체 부피(r, r', c) = c · (r' × r) = c · c = c² = GMr(1 + e cosφ)

위 식은 모든 φ에 대해 성립해야 한다. 따라서 1 + e cosφ ≥ 1 - e > 0 ⇔ 1 > e ≥ 0.

참고로 "행성은 한 선이나 원 위에서 움직이지 않는다." 조건에 의해 e = 1인 경우를 미리 제외하였다.

또한 위 식을 잘 정리하면, r = (c²/GM)/(1 + e cosφ)을 얻는다.

 

 

5. 케플러 제3법칙 증명 [목차]

 

⑴ 행성의 공전주기를 T라 하고 타원궤도의 장축길이의 반을 a라 하면 T² = ka³임을 보이시오. 여기서 k는 행성에 의존하지 않고 태양에만 의존하는 상수 k = 4π² / GM이다.

 

① 증명

공전주기가 T라고 하면 πab = cT/2이다.

β = c²/GM이고, a = β / (1 - e²), b = β / √(1 - e²)이다.

따라서 다음과 같다.

 

 

이때 k는 태양에만 의존하는 상수이다.

 

입력: 2020.01.11 22:30