【해석학】 16강. 가우스 발산정리

16강. 가우스 발산정리

 

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풀이가 궁금하시면 답변 바랍니다.

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1. 가우스 발산정리 [본문]

2. 가우스 정리와 조화함수 [본문]

3. Leibniz 정리의 증명 [본문]

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1. 가우스 발산정리 [목차]

 

⑴ 열린집합 W ⊆ ℝ³와 미분가능한 벡터장 F : W → ℝ³에 대해 발산함수 div F : W → ℝ를 다음과 같이 정의하자.

 

 

⑵ 영역 W ⊆ ℝ³가 z-단순영역이라는 것은 C¹ 기본영역 D ⊆ ℝ²와 열린집합 D ⊆ U ⊆ ℝ², 그리고 C¹ 함수 φ , ψ : U → ℝ가 있어 W = {(x, y, z) | (x, y) ∈ D, φ(x, y) ≤ z ≤ ψ(x, y)}라는 것이다. y-단순영역, x-단순영역도 비슷하게 정의한다.

 

⑶ 예제 : z-단순영역 W ⊆ ℝ³를 포함하는 열린영역에서 C¹ 함수 R이 있으면 

 

 

임을 보이시오. 여기서 ∂W는 유향경계곡면으로 Φ에 의해 매개화될 때 가 W의 바깥 방향을 가르킨다. 그리고 k = (0, 0, 1)이다. 

 

⑷ 예제 : 동시에 x-단순영역, y-단순영역, z-단순영역인 W ⊆ ℝ³를 포함하는 열린영역에서 C¹ 벡터장 F가 있으면 

 

 

이다.

 

⑸ 가우스 발산정리 : 영역 W ⊆ ℝ³가 ⑷에서와 같은 영역 W₁, ···, W_n으로 분할될 때 W ⊆ ℝ³를 포함하는 열린영역에서 C¹ 벡터장 F가 있으면 

 

 

임을 보이시오.

 

⑹ 예제 : 영역 W, W* ⊆ ℝ³가 가우스 발산정리에서와 같다고 하자. 또한 열린집합 W ⊆ U, W* ⊆ U*와 C¹ 함수 T : U* → U가 있어 T는 일대일 대응이고 (x, y, z) = T(u, v, w)일 때 각 점에서 J(u, v, w) = T_u · T_v × T_w ＞ 0라 하자. 이때 

 

 

이다. 특히 T가 C² 함수일 때 증명하시오. 

 

⑺ 예제 : W, W* ⊆ ℝ³와 T : U* → U가 ⑴과 같다고 하자. 함수 f : W → ℝ가 연속이면 함수 f(T)도 적분가능하고

 

 

임을 보이시오.

 

⑻ 예제 : 반지름이 R ＞ 0인 구의 부피를 구하시오. 

 

⑼ 예제 : 반지름이 R ＞ 0인 구의 표면적을 구하시오.

 

⑽ 예제 : 반구 {(x, y, z) | x² + y² + z² = R², z ≥ 0}의 무게중심을 구하시오.

 

⑾ 예제 : F = (x, y, z)이고 W가 원점에 중심이 있고 반지름이 R ＞ 0인 구일 때 곡면적분 

 

 

의 값을 구하시오.

 

 

2. 가우스 정리와 조화함수 [목차]

 

⑴ 예제 : 영역 W ⊆ ℝ³가 가우스 발산정리에서와 같다고 하자. 또한 열린집합 W ⊆ U와 C² 함수 f, g : U → ℝ가 있다고 하자. 이 때 다음 식들을 보이시오. 여기서 

 

 

이다.

 

① 

 

 

② 

 

 

⑵ 예제 : W가 반지름이 1인 구라고 하자. 0 ≠ p ≠ q ∈ ℝ³에 대해 함수 g를 

 

 

로 정의하자. 여기서 p* = p / |p|²이다. 이때 모든 조화함수 u : ℝ³ → ℝ와 0 ＜ |p| ＜ 1에 대해 

 

 

임을 보이시오.

 

 

3. Leibniz 정리의 증명 [목차]

 

⑴ 예제 : C¹ 벡터장 F : ℝ³ → ℝ³와 C² 함수 𝜙 : ℝ³ × ℝ → ℝ³가 있다. u = (u, v, w), x = (x, y, z), x = F(u), 𝜙(u, t)라 쓰자. 각 u ∈ ℝ³에 대해 𝜙(u, 0) = u이고

 

 

라 하자. 이 때 각 t에 대해 J(u, t)를 𝜙_u · 𝜙_v × 𝜙_w라 정의하고 J(u, t) ＞ 0이라 가정하자. 이때 각 u ∈ ℝ³와 t에 대해 

 

 

임을 보이시오.

 

⑵ Leibniz-Reynolds 정리 : F, 𝜙, J를 ⑼와 같다고 하자. 또한 영역 W ⊆ ℝ³가 가우스 발산정리에서와 같다고 하자. 각 t에 대해 W_t = {𝜙(u, t) | u ∈ W}라 하자. 이때 C¹ 함수 f : ℝ⁴ → ℝ에 대해 다음을 보이시오.

 

 

 

입력 : 2020.01.11 21:18