【해석학】 14강. 그린정리

14강. 그린정리(Green theorem)

 

추천글 : 【해석학】 해석학 목차 

---

풀이가 궁금하시면 답변 바랍니다.

---

1. 그린정리 [본문]

2. 조화함수가 평균값 성질을 가짐을 증명 [본문]

---

 

1. 그린정리 [목차]

 

⑴ 선적분의 정의

 

① D ⊆ ℝ²에 대해 함수 F : D → ℝ²를 하나의 벡터장이라고 한다. 매개곡선 c : [a, b] → ℝ²와 c로 방향이 주어지는 유향곡선 C = c([a, b])에 대해 벡터장 F : C → ℝ²가 유향곡선 C 위에서 벡터 선적분이 가능하다는 것은 실수 I가 있어 임의의 ε ＞ 0에 대해 [a, b]의 분할 ℙ가 있어 ℙ ⊆ {a = t₀ ＜ ··· ＜ t_n = b} , t_i-1 ≤ τ_i ≤ t_i일 때마다 

 

 

라는 것이다. 

 

 

라 쓴다. F(x, y) = (P(x, y), Q(x, y))일 때 

 

 

를 

 

 

라고도 쓴다.

 

② 예제 : d : [c, d] → ℝ²가 매개곡선으로 d([c, d]) = C = c([a, b])이면 전단사함수 φ : [c, d] → [a, b]가 있어 c ∘ φ = d이다. φ가 증가할 경우는 

 

 

이고, φ가 감소할 경우에는 

 

 

임을 보이시오.

 

③ 벡터 선적분 

 

 

이 C의 방향을 유지하는 모든 매개곡선 c에 대해 같은 값을 가지므로 이 값을 

 

 

로 쓴다. 마찬가지로 

 

 

라 쓴다.

 

④ 예제 : 유향곡선 C가 매개곡선 c : [a, b] → ℝ²로 방향이 주어지고 c' : [a, b] → ℝ²이 연속이며 F : C → ℝ²가 연속인 벡터장이면 벡터 선적분 

 

 

가 존재하고 

 

 

가 성립한다.

 

⑤ F(x, y) = (P(x, y), 0)일 때

 

 

 라 쓴다. 

 

 

도 마찬가지이다.

 

⑥ 예제 : φ : [a, b] → ℝ가 연속이고 곡선 C가 매개곡선 c : [a, b] → ℝ², c(t) = (t, φ(t))로 주어진다고 하자. 이때 P : C → ℝ가 연속이면 벡터 선적분 

 

 

가 존재하고 그 값이 

 

 

임을 보이시오.

 

⑵ 그린정리

 

① 개요

 

 

② 예제 : y-단순영역 D ⊆ ℝ²가 연속인 φ, ψ : [a, b] → [c, d]에 의해 D = {(x, y) | a ≤ x ≤ b, φ(x) ≤ y ≤ ψ(x)}로 주어진다. 여기서 φ ≤ ψ이다. D ⊆ U ⊆ ℝ²가 열린집합이고 P : U → ℝ가 연속이고 연속인 편미분 

 

 

U → ℝ를 가지면 

 

 

임을 보이시오. 여기서 ∂D는 영역을 왼쪽에 놓고 D의 경계를 도는 유향 폐곡선이다.

 

③ 예제 : D ⊆ ℝ²가 동시에 x-단순영역이고 y-단순영역이다. 그리고 P, Q가 D를 포함하는 열린 영역에서 연속인 1차 편미분들을 가지면 

 

 

를 보이시오.

 

④ Green 정리 : D ⊆ ℝ²가 유한 개의 영역 D₁, ···, D_n으로 분할되고 각 D_i가 x-단순이면서 y-단순이라고 하자. P, Q가 D를 포함하는 열린영역에서 연속인 1차 편미분들을 가지면 

 

 

임을 보이시오. 

 

⑶ 가우스 발산정리와의 등가성 

 

① 열린집합 U ⊆ ℝ²에서 정의된 벡터장 F : U → ℝ²가 F(x, y) = (P(x, y), Q(x, y))로 주어질 때 그리고 P, Q가 1차 편미분을 가지면 div F : U → ℝ를

 

 

 로 정의한다.

 

② 예제 : D와 P, Q가 ⑽과 같다고 하자. F를 F(x, y) = (P(x, y), Q(x, y))라고 하자. 각 (x, y) ∈ ∂D에 대해 바깥쪽 단위직교벡터를 n = n(x, y)라 하자. ∂D가 유한 개의 유향곡선 C₁, ···, C_m으로 나뉘어지고 각 C_i는 매개화 c_i : [a_i, b_i] → ℝ²를 가지며 c_i'이 연속이고 c_i'(t) ≠ 0이면, 

 

 

임을 보이시오.

 

③ 예제 : 함수 f : [a, b] × [c, d] → ℝ가 연속이면 함수 F : [c, d] → ℝ, 

 

 

가 잘 정의되고 연속임을 보이시오.

 

④ Leibniz 규칙 : 함수 f : [a, b] × (c, d) → ℝ가 연속이고 

 

 

: [a, b] × (c, d) → ℝ도 존재하여 연속이면 F : (c, d) → ℝ를 

 

 

라 할 때 각 y ∈ (c, d)에 대해 

 

 

임을 보이시오.

 

⑤ 가우스 발산정리 보충 

 

 

2. 조화함수가 평균값 성질을 가짐을 증명 [목차]

⑴ u : ℝ² → ℝ가 조화함수라는 것은 u가 연속인 2차 편도함수들을 가지며 

 

 

을 만족하는 것이다.

 

⑵ 예제 : u(x, y) = x² - y², v(x, y) = e^xcos y는 조화함수임을 보이시오.

 

⑶ 예제 : u : ℝ² → ℝ가 조화함수이다. I : [0, ∞) → ℝ을 

 

 

라 하면 I가 상수함수임을 보이시오.

 

⑷ 예제 : u : ℝ² → ℝ가 조화함수이다. 각 r ＞ 0에 대해 

 

 

임을 보이시오. 여기서 

 

 

이다.

 

⑸ 예제 : u : ℝ² → ℝ가 조화함수이다. 각 ρ ＞ 0에 대해 

 

 

임을 보이시오. 여기서 

 

 

이다.

 

입력 : 2020.01.11 00:40