【해석학】 15강. 스토크스 정리

15강. 스토크스 정리(stokes theorem)

 

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풀이가 궁금하시면 답변 바랍니다.

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1. 컬의 정의 [본문]

2. 매개곡면 위에서 실함수와 벡터장의 적분 [본문]

3. 스토크스 정리의 증명 [본문]

4. 벡터장이 언제 보존장이 되는지 확인 [본문]

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1. 컬의 정의 [목차]

 

⑴ 열린집합 W ⊆ ℝ³와 미분가능한 벡터장 F : W → ℝ³에 대해 새로운 벡터장 curl F : W → ℝ³를 다음과 같이 정의하자.  

 

 

⑵ 벡터 a, b ∈ ℝ³에 외적 a × b를 (a₂b₃ - a₃b₂, a₃b₁ - a₁b₃, a₁b₂ - a₂b₁)라 하자.

 

⑶ 열린집합 W ⊆ ℝ³ 위에서 정의된 연속인 벡터장 F : W → ℝ³이 보존장이라는 것은 부분적으로 C¹인 유향곡선 C에 대한 선적분 

 

 

이 C의 시작과 끝점에만 의존한다는 것이다. 

 

⑷ 정리 1. 벡터장 F에 잠재함수 f가 존재할 때 벡터 F는 보존장

 

 

⑸ 정리 2. 벡터장 F가 보존장이면 다음이 성립

 

 

⑹ 예제 : 벡터 a, b ∈ ℝ³에 대해 외적 a × b은 두 벡터 a, b와 수직임을 보이시오. 또한 b × a = - a × b, a × (cb) = c (a × b), a × (b₁ + b₂) = a × b₁ + a × b₂이다.

 

⑺ 예제 : 벡터 a, b ∈ ℝ³에 대해 외적 a × b의 길이는 원점과 a, b, a + b를 꼭짓점으로 하는 평행사변형의 넓이임을 보이시오.

 

⑻ 예제 : 열린집합 W ⊆ ℝ³ 위에서 정의된 C²인 함수 f : W → ℝ에 대해 curl ∇f = 0임을 보이시오.

 

⑼ 예제 : 열린집합 W ⊆ ℝ³ 위에서 정의된 C¹인 함수 f : W → ℝ에 대해 벡터장 ∇f : W → ℝ³은 보존장임을 보이시오.

 

 

2. 매개곡면 위에서 실함수와 벡터장의 적분 [목차]

 

⑴ C¹ 기본영역 D ⊆ ℝ²와 열린집합 D ⊆ U ⊆ ℝ²에 대해 C¹인 단사함수 Φ : U → ℝ³가 U의 각 점에서 Φ_u × Φ_v ≠ 0일 때 Φ를 유향곡면 S = Φ(D)의 매개화라 한다. 여기서 단위벡터 n = Φ_u × Φ_v / |Φ_u × Φ_v| 를 유향곡면 S의 바깥 방향이라 한다.

 

⑵ D, U, Φ, S를 위와 같다고 하자. 연속인 함수 f : S → ℝ과 벡터장 F : S → ℝ³에 대해 S 위에서의 곡면적분을 다음과 같이 정의한다.

 

 

⑶ 예제 : Φ(u, v) = (cos u · (2 + cos v), sin u · (2 + cos v), sin v)이고 D = [0, π/2] × [0, π/2], S = Φ(D)일 때 곡면 S를 스케치하고 그 넓이를 구하시오.

 

⑷ 예제 : C¹ 기본영역 D ⊆ ℝ²와 열린집합 D ⊆ U ⊆ ℝ², 그리고 C¹ 기본영역 E ⊆ ℝ²과 열린집합 E ⊆ V ⊆ ℝ²에 대해 C¹인 함수 T : U → V가 있어 T는 일대일 대응이고 (x, y) = T(u, v)일 때 각 점에서 

 

 

이라 하자. 이때 

 

 

이다. 여기서는 함수 T가 C² 함수일 때만 그린 정리를 써서 증명하시오.

 

⑸ 예제 : D, E, U, V, J와 T : U → V가 ⑷과 같다고 하자. 이때 연속함수 f : S → ℝ에 대해 

 

 

를 보이시오.

 

⑹ 예제 : D, U, Φ, S를 ⑴과 같다고 하자. 이제 C¹ 기본영역 E ⊆ ℝ²과 열린집합 E ⊆ V ⊆ ℝ²에 대해 C¹인 단사함수 Ψ : V → ℝ³도 V의 각 점에서 Ψ_s × Ψ_t ≠ 0이고 S = Ψ(E)라 하자. 이 때 S의 각 점에서 Φ_u × Φ_v와 Ψ_s × Ψ_t가 같은 방향을 가르킨다고 하자. 그러면 연속인 벡터장 F : S → ℝ³에 대해 

 

 

을 보이시오.

 

 

3. 스토크스 정리의 증명 [목차]

 

⑴ 유향곡면 S가 있으면 곡면 적분 

 

 

가 잘 정의됨을 안다. 또한 S와 집합은 같고 바깥 방향이 반대인 유향곡면을 S*라 하면 

 

 

임을 안다.

 

⑵ 실함수의 곡면적분 

 

 

은 유향곡면 S의 방향에 의존하지 않음을 안다.

 

⑶ 곡면 S가 유향곡면 

 

 

으로 분할되며 그 바깥 방향이 연속이 되게 이어져 있을 때 

 

 

와 

 

 

는 각각 

 

 

와 

 

 

의 합들로 정의된다. 

 

 

를 곡면 S의 넓이라 한다.

 

⑷ 스토크스 정리 : C² 매개화를 갖는 유향곡면 S를 포함하는 열린집합에서 C¹인 벡터장 F에 대해 

 

 

을 보이시오. 여기서 ∂S는 곡면 S의 경계점에서 바깥 방향 쪽으로 머리를 두고 왼편에 곡면을 두고 도는 유향경계곡선이다.

 

 

4. 벡터장이 언제 보존장이 되는지 확인 [목차]

 

⑴ curl의 의미 : 열린집합 W ⊆ ℝ³에서의 한 점 p와 단위벡터 n이 있다. C¹인 벡터장 F : W → ℝ³에 대해 다음을 보이시오. 각 ε ＞ 0에 대해 δ ＞ 0가 있어 같은 W에서의 C² 매개화를 갖는 유향곡면 S의 바깥방향이 항상 n이고 S가 점 p로부터 δ 거리 내에 있을 때마다 부등식 

 

 

이 성립한다.

 

⑵ 예제 : 열린집합 W ⊆ ℝ³ 위에서 정의된 C¹인 벡터장 F : W → ℝ³이 보존장이면 F = ∇f인 C² 함수 f : W → ℝ를 찾으시오. 여기서 W의 임의의 두 점은 W 안에서 유한 개의 선분으로 된 곡선으로 이어진다고 하자.

 

⑶ 예제 : 유한집합 H ⊆ ℝ³에 대해 C¹인 벡터장 F : H^c → ℝ³이 curl F = 0을 만족하면 F = ∇f인 C² 함수 f : H^c → ℝ를 찾으시오.

 

입력 : 2020.01.11 20:33