【해석학】 17강. 사이클로이드

17강. 사이클로이드(cycloid)

 

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풀이가 궁금하시면 답변 바랍니다.

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1. 원 C = {(x, y) | x² + (y - 1)² = 1} 위에 점 P(0, 0)을 표시하고 원을 x축 위로 굴리면 P가 어떤 곡선을 그리는가? 실제로 (x, y) = c(θ) = (θ - sin θ, 1 - cos θ), θ ≥ 0로 매개화됨을 보이시오.

 

2. 위의 사이클로이드의 0 ≤ θ ≤ 2π에 해당되는 부분의 길이를 구하시오.

 

3. (x, y) = c(θ) = (θ - sin θ, 1 - cos θ), 0 < θ ≤ π일 때 

 

 

를 보이시오. 

 

4. 두 벡터 a = (a₁, a₂), b = (b₁, b₂) ∈ ℝ²에 대해 코시-슈바르츠 부등식 |a · b| ≤ |a| × |b|이 성립함을 보이시오. 이때 등호가 성립할 필요충분조건은 a₁b₂ = a₂b₁임을 보이시오.

 

5. f: [a, b] → [0, ∞)가 연속이고 

 

 

이면 f = 0임을 보이시오.

 

6. 이상적분 

 

 

의 값을 구하시오.

 

풀이.

 

 

7. (0, 0)에서 (π, 2)까지 화차를 오른쪽 밑으로 가는 C¹ 곡선을 따라 미끄러트리려 한다. 이때 곡선이 사이클로이드일 때 가장 짧은 시간에 내려감을 보이시오.

 

 

입력 : 2020.01.11 22:03