【해석학】 12강. 선적분

12강. 선적분

 

추천글 : 【해석학】 해석학 목차 

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풀이가 궁금하시면 답변 바랍니다.

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1. 매개화 [본문]

2. 선적분과 벡터적분 [본문]

3. 사인과 코사인 [본문]

4. 중적분과 푸비니정리 [본문]

5. 가우스 함수 [본문]

6. Cauchy-Goursat theorem [본문]

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1. 매개화 [목차]

⑴ 함수 c : [a, b] → ℝ²가 연속인 단사함수일 때 c를 곡선 C = c([a, b])의 매개화라고 한다.

⑵ c : [a, b] → ℝ²가 곡선 C의 매개화일 때 함수 f : C → ℝ가 선적분 

 

 

을 갖는다는 것은 각 ε ＞ 0에 대해 [a, b]의 분할 ℙ가 있어 ℙ ⊆ {a = t₀, ···, t_n = b}, 

 

 

일 때마다 다음이 성립하는 것이다.  

 

 

⑶ 예제 : 다음이 존재한다고 하자.  

 

 

이때 d : [c, d] →  ℝ²가 또다른 매개곡선으로 d([c, d]) = C이면

 

 

도 존재하고 다음과 같다. 

 

 

 

2. 선적분과 벡터적분 [목차]

⑴ 다음과 같은 선적분이 곡선 C의 매개화 c에 의존하지 않는다.

 

 

⑵ 따라서 이 적분을 다음과 같이 쓴다.

 

 

⑶ 매개화를 갖는 곡선 C₁, ···, C_m이 끝점에서 만나 새로운 곡선 C를 이룰 때 다음 선적분을  

 

 

다음과 같이 정의한다.

 

 

⑷ 다음과 같은 선적분이 존재할 경우 곡선 C의 길이는 존재한다고 하며 길이는 적분값이다. 

 

 

⑸ c : [a, b] → ℝ^k가 연속이면 c(t) = (h₁(t), ···, h_k(t))라 쓸 때 벡터적분을 다음과 같이 정의한다.

 

 

⑹ c가 미분가능할 때 c'(t) = (h₁'(t), ···, h_k'(t))라 쓰자.

⑺ 예제 : c : [a, b] → ℝ²가 곡선 C의 매개화로 연속인 c'(t)를 가지면 f : C → ℝ가 연속일 때 다음 선적분이 존재한다.

 

 

이때 다음이 성립한다.

 

 

 

3. 사인과 코사인 [목차]

⑴ 예제 

① 전제 1. c : [0, 1) → ℝ²를 다음과 같이 정의하자.

 

 

 

② 전제 2. 그리고 다음과 같이 정의하자. 

 

 

③ 예제 1. 곡선 c([0, t])의 길이를 θ(t)라고 하면 다음을 보이시오.

 

 

④예제 2. 다음과 같이 정의하면 반원의 길이는 π임을 보이시오.

 

 

⑤ 예제 2-1. 여기서 x, y가 θ에 대해 미분가능한 함수가 되며 다음을 보이시오.

 

 

⑵ 예제 : 위의 함수 x, y : [0, π/2) → ℝ을 다음에 의해 x, y : ℝ→ ℝ로 확장하고 x(θ) = cos θ, y(θ) = sin θ로 쓰시오.

 

 

⑶ 예제 : sin θ : [-π/2, π/2] → [-1, 1]가 전단사함수이므로 역함수 φ : [-1, 1] → [-π/2, π/2]를 가짐을 보이시오.

① -1 ＜ y ＜ 1에 대해 다음을 보이시오. 

 

 

 

 

4. 중적분과 푸비니정리 [목차]

⑴ D ⊆ ℝ²가 유계일 때 함수 f : D → ℝ가 적분가능하다는 것은 D ⊆ R = [a, b] × [c, d], f̂ : R → ℝ을 f의 확장으로 (x, y) ∉ D이면 f̂ (x, y) = 0이라 할 때, f̂ 이 적분 가능하다는 것이다. 

⑵ 다음과 같이 정의한다.

 

 

⑶ 적분 ∫∫_D 1 이 존재할 때 D가 넓이를 갖는다고 한다. 그 넓이는 ∫∫_D 1이다.

⑷ D ⊆ ℝ²가 y-단순영역이라는 것은 연속함수 φ, ψ : [a, b] → ℝ가 있어 D = {(x, y) | a ≤ x ≤ b, φ(x) ≤ y ≤ ψ(x)}라는 것이다. x-단순영역도 비슷하게 정의된다. x-단순이거나 y-단순일 때 단순영역이라고 하자.

⑸ D ⊆ ℝ²가 기본영역이라는 것은 내부가 겹치지 않는 유한 개의 단순영역 D₁, ···, D_n으로 분할되는 영역이라 하자.

⑹ 예제 : φ : [a, b] → [c, d]가 연속이다. 함수 f : [a, b] × [c, d] → ℝ를 유계인 함수로 φ(x) ≠ y이면 f(x, y) = 0이라 하자. 이때 f는 적분가능하고 적분값은 0임을 보이시오.

⑺ 예제 : D ⊆ ℝ²는 기본영역이고 f : D → ℝ는 유계인 함수이다. D가 단순영역 D₁, ···, D_n으로 분할되며 각각의 적분 ∫∫_Di f가 존재하면 ∫∫_D f도 존재하고 다음이 성립한다.

 

 

⑻ 예제 : D ⊆ ℝ²가 단순영역이고 f : D → ℝ는 연속이다. 이때 f가 적분가능함을 보이시오.

⑼ 예제 : φ, ψ : [a, b] → ℝ가 연속이고 φ ≤ ψ이며 D = {(x, y) | a ≤ x ≤ b, φ(x) ≤ y ≤ ψ(x)}이고 함수 f : D → ℝ가 연속이라고 하자. 이때 다음이 성립한다.

 

 

특히 D의 넓이는 다음과 같다.

 

 

⑽ 예제 : 0 ≤ θ₁ ＜ θ₂ ≤ 2π와 0 ≤ r₁ ＜ r₂에 대해 D = {(r cos θ, r sin θ) | θ₁ ≤ θ ≤ θ₂, r₁ ≤ r ≤ r₂}라 하면 D의 넓이는 다음과 같음을 보이시오. 참고로, 반지름이 r인 원의 넓이는 πr²이다.

 

 

 

5. 가우스 함수 [목차]

⑴ 함수 : f : ℝ → ℝ가 각 a ＜ b에 대해 ∫_a^b f가 존재하면 f의 이상적분을 다음과 같이 정의한다.

 

 

⑵ 예제 : D = {(x, y) | x² + y² ≤ R²}이고 f : D → ℝ가 연속이면 다음을 보이시오.

 

 

⑶ 예제 : 가우스 함수가 확률밀도함수의 성질을 만족함을 보이시오. 

 

 

⑷ 정규분포(normal distribution) : 가우스 함수를 확률분포함수로 하는 연속확률분포

 

 

6. Cauchy-Goursat theorem [목차]

⑴ 단순 폐곡선 C와 이를 둘러싸는 영역 D가 있을 때, 복소함수 f 가 영역 D에서 해석적(holomorphic)이면, C 위에서의 f의 선적분은 0이다. 

 

 

⑵ 의의 : 복소평면에서 해석적인 함수는 특정 조건 하에서 적분값이 곡선의 형태와 무관하다는 것을 의미

 

입력: 2020.01.10 23:53

수정: 2024.10.01 14:07