【선형대수학】 1강. 벡터공간

1강. 벡터공간(vector space)

 

추천글 : 【선형대수학】 선형대수학 목차 

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1. 행렬의 연산 [본문]

2. 벡터공간 [본문]

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1. 행렬의 연산 [목차]

⑴ 행렬의 정의

① m × n 행렬 A, i 번째 행 벡터(row vector), j 번째 열 벡터(column vector)를 다음과 같이 정의

 

 

② 영행렬(zero matrix) 또는 널행렬(null matrix) : 모든 원소가 0인 행렬

③ 정사각행렬(square matrix)

⑵ 행렬의 덧셈

⑶ 행렬의 곱셈

① 행렬 X의 i 행, j 열의 원소를 X[i][j]라 하고, A ∈ ℝ^l×m, B ∈ ℝ^m×n, C ∈ ℝ^l×n, C = A × B라고 할 때 다음이 성립

 

 

○ C 언어로 행렬의 곱 구현하기

② 일반적으로 AB ≠ BA

③ 행렬의 곱셈과 덧셈 사이에 다음 관계가 성립함

○ A(B+C) = AB + AC,    (A+B)C = AC + BC

○ A(BC) = (AB)C

○ c(A + B) = cA + cB

④ 정리 1. 케일리-해밀턴 정리(Cayley–Hamilton theorem)

 

 

⑷ 전치행렬(transposed matrix)  

① 정의

 

 

② 대칭행렬(symmetric matrix) : A가 정사각행렬이고 A와 A의 전치행렬이 같은 경우 

○ sym이라고도 함 

③ 성질 1. AB의 전치행렬

 

 

④ 성질 2. A, B가 symmetric이고 AB = BA라면 AB는 symmetric

 

 

⑸ 대각합 : trace 또는 tr로 표시함

① 성질 1. A가 m×n 행렬이고 B가 n×r 행렬일 때 tr(AB) = tr(A) × tr(B)가 성립

⑹ 가우스 소거법(Gaussian elimination)

① 선형연립방정식

 

 

② 확장행렬(augmented matrix) : m × (n + ℓ) 행렬 (A | B)를 지칭

 

 

③ 가우스-요르단 소거법(Gauss-Jordan elimination) : 행 단위로 연산

○ 연산 1. 두 행 벡터의 위치를 서로 교환 : 방정식의 순서를 바꿈

○ 연산 2. 특정 행 벡터에 c를 곱함 : 한 방정식의 양변에 c를 곱함

○ 연산 3. 한 행 벡터에 c를 곱하여 다른 행 벡터를 더함 : 한 방정식에 c를 곱하여 다른 방정식에 더함

○ 최종 단계 : 행간소 사다리꼴(reduced row echelon form)을 만들어야 함

 

 

④ 장점 : 프로그래밍으로 구현할 수 있음

 

 

2. 벡터공간(vector space) [목차]

⑴ 벡터공간의 조건

① 덧셈에 대한 항등원 : V의 임의의 원소 x에 대하여 x + 0 = x인 0이 V에 존재

② 덧셈에 대한 역원 : x ∈ V이면 x + (-x) = 0인 -x가 V에 존재

③ 덧셈에 대한 교환법칙 : x, y ∈ V이면 x + y = y + x

④ 덧셈에 대한 결합법칙 : x, y, z ∈ V이면 (x + y) + z = x + (y + z)

⑤ 분배법칙 : c(x + y) = cx + cy

⑥ 분배법칙 : (c₁ + c₂)x = c₁x + c₂x

⑦ 곱셈에 대한 항등원 : 1x = x 

⑧ 곱셈에 대한 결합법칙 : c₁(c₂x) = (c₁c₂)x

⑵ 선형사상

① 선형사상(linear transformation) : 사상 T : U → V가 x, y ∈ U, c ∈ F에 대해 다음 조건을 만족하는 경우

 

 

② 선형결합(linear combination)

 

 

③ 선형종속(linearly dependent)

 

 

④ 선형독립(linearly independent) 

 

 

⑤ 생성집합(spanning set) : 벡터공간 V의 임의의 벡터가 S의 원소들의 선형결합으로 표시되는 경우 그 S를 지칭함

 

 

⑥ 기저(basis) : 생성집합 중에서 선형독립인 것

⑶ T의 역사상 T^-1 : V → U가 존재하면 T^-1도 선형사상

    

 

⑷ 내적공간(inner product space)

① 내적(inner product, dot product)의 조건

 

② 표준내적(standard inner product) : V = ℂⁿ에서 표준내적을 다음과 같이 정의

 

 

③ 내적공간(inner product space) : 내적이 정의되어 있는 벡터공간

○ 실내적공간 : 스칼라체가 실수 집합인 경우

○ 복소내적공간 : 스칼라체가 복소수 집합인 경우

④ 노음(norm)

○ 정의

 

 

○ 노음 부등식 : 코시-슈바르츠 부등식, 삼각부등식 등

 

 

 

⑤ 정리 1. 코시-슈바르츠 부등식(Cauchy-Schwartz inequality)

 

⑥ 정리 2. 삼각부등식(triangular inequality)

 

⑷ 거리공간(metric space)

① 거리함수(distance function, metric)

 

② 거리(distance)

 

 

③ 거리함수의 종류 

⑸ 부분공간(subspace)

 

 

입력 : 2020.04.07 21:36