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【선형대수학】 선형대수학 목차 선형대수학 목차 추천글 : 【수학】 수학 목차 최근 수정 내역 AB와 BA의 고유값은 언제나 동일 (24.03.09) 1강. 벡터공간 2강. 행렬의 계수 3강. 행렬식과 역행렬 4강. 고유치와 고유형식 부록 : rank-nullity theorem 부록 : rank(AB) ≤ min{rank(A), rank(b)} 부록 : 프로베니우스 rank 부등식 입력: 2020.04.22 10:01
【대수학】 3항 점화식 3항 점화식 추천글 : 【수학】 수학 목차 Q. 다음 조건을 만족하는 수열 {an}n≥1의 일반항은? Solution. p = 0인 경우 식은 다음과 같다. 이때 q = 0이든, q ≠ 0이든 an은 등비수열이다. 그 경우 일반항은 매우 쉽게 구할 수 있으므로 p ≠ 0이라고 가정하자. 비슷하게 q = 0 또는 r = 0인 경우도 제외하자. 경우 1. 다음 식이 서로 다른 두 근 α, β를 갖는 경우 점화식도 비슷한 형태로 고칠 수 있다. 이때 n = -1인 경우 (우변) = a1이 성립한다. 비슷하게, n = 0인 경우 (우변) = a2가 성립한다. 따라서 점화식을 풀 때 다음과 같은 꼴로 둘 수 있다. 경우 2. 다음 식이 중근 α ≠ 0을 갖는 경우 점화식도 비슷한 형태로 고칠 수 있다. 따라서 점..
【선형대수학】 프로베니우스 rank 부등식 (Frobenius' Inequality) 프로베니우스 rank 부등식 (Frobenius' Inequality) 추천글 : 【선형대수학】 선형대수학 목차 1. 명제 [본문] 2. 증명 [본문] 1. 명제 [목차] A ∈ M k×l(ℂ), B ∈ M l×m(ℂ), C ∈ M m×n(ℂ)인 임의의 세 행렬 A, B, C에 대해 다음 부등식이 성립한다. rank (AB) + rank (BC) ≤ rank (B) + rank (ABC) 가 성립한다. 2. 증명 [목차] ⑴ 부호 약속 : 주어진 행렬에 대해 rank (·) : rank ker (·) : null space (= kernel) ker (T) = {x | Tx = O} im (·) : column space (= image) T : V → W, im (T) = {Tv | v ∈ V} ⑵ l..
【선형대수학】 rank(AB) ≤ min{rank(A), rank(b)} rank(AB) ≤ min{rank(A), rank(b)} 추천글 : 【선형대수학】 선형대수학 목차 1. 명제 [본문] 2. 증명 [본문] 1. 명제 [목차] l × m 행렬 A와 m × n 행렬 B에 대하여, rank (AB) ≤ min {rank (A), rank (B)} 가 성립한다. 2. 증명 [목차] ⑴ 계수정리 : 임의의 행렬의 열 벡터들의 계수(rank)와 행 벡터들의 계수(rank)는 같다. ⑵ lemma 1. rank (AB) ≤ rank (B) AB = A(B1, ···, Bn) = (AB1, ···, ABn) Bi1, Bi2, ···, Bik (단, k = rank(B))가 일차독립이라고 하자. 그러면 Bt, t ≠ i1, ···, ik는 Bi1, Bi2, ···, Bik의 일차결합으..
【선형대수학】 rank-nullity theorem rank-nullity theorem 추천글 : 【선형대수학】 선형대수학 목차 1. 명제 [본문] 2. 첫 번째 증명 방법 [본문] 3. 두 번째 증명 방법 [본문] 1. 명제 [목차] ⑴ 첫 번째 표현 ⑵ 두 번째 표현 2. 첫 번째 증명 방법 [목차] ⑴ 전제 ker (T)의 기저를 B = {v1, …, vr}이라 하자. 이때 B ⊆ V이므로 자명하게 r ≤ n이 성립한다. 이 기저공간을 확장하여 V의 기저공간 E = {v1, …, vn}을 얻을 수 있다. 이제 준명제를 증명하는 것은 C = {T(vr+1), …, T(vn)}이 im(T)의 기저가 됨을 보이는 것과 같다. 그것을 증명하기 위해 T(vr+1), …, T(vn)이 모두 일차독립이고, im(T)를 포함(span)함을 보일 것이다. 즉, 어..