【해석학】 19강. 푸리에 급수와 열 방정식

19강. 푸리에 급수와 열 방정식

 

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풀이가 궁금하시면 답변 바랍니다.

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1. 주기함수 [본문]

2. 푸리에 급수 [본문]

3. 등주문제 [본문]

4. 열 방정식 [본문]

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1. 주기함수 [목차]

⑴ 함수의 집합 PC를 f ∈ PC인 것은 f : ℝ → ℝ로 다음 조건을 만족하는 것으로 정의하자.

① 모든 x에 대해 f(x + 2π) = f(x)

② 분할 0 = x₀ ＜ ··· ＜ x_n = 2π와 연속함수 g₁, ···, g_n : ℝ → ℝ

이 있어 각 1 ≤ i ≤ n에 대해  (x_i-1, x_i) 위에서 f = g_i이다. 

 

⑵ 이때 적분 

 

 

이 존재하며 

 

 

이다.

 

⑶ 각 f, g ∈ PC에 대해

 

 

및 

 

 

라 하자.

 

⑷ 함수 c₀, c₁, ···, s₁, s₂, ··· ∈ PC를 다음과 같이 정의하자: 

 

 

이고 각 n ∈ ℕ에 대해 

 

 

및 

 

 

이다.

  

⑸ 예제 : 각 f, g, h ∈ PC와 α ∈ ℝ에 대해 다음이 성립한다.

① <f, f> ≥ 0

② <f, g> = <g, f>

③ <f, g + h> = <f, g> + <f, h>

④ <f, αg> = α<f, g>

 

⑹ Cauchy-Schwarz 부등식 : 각 f, g ∈ PC에 대해 

 

 

이다.  또한 

 

 

와 

 

 

이 성립한다.

 

⑺ f, g ∈｛c₀, c₁, ···, s₁, s₂, ···｝이고 f ≠ g이면, 

 

 

이고 

 

 

이다. 

2. 푸리에 급수 [목차]

⑴ f ∈ PC에 대해 

 

 

, f의 푸리에 급수라는 것은 각 n에 대해 

 

 

및

  

 

이라는 것이다. 또한 각 자연수 N에 대해 부분합 f_N ∈ PC를 

 

 

로 정의하자.

 

⑵ 각 자연수 N에 대해 함수 

 

 

를 Dirichlet 핵이라고 한다. 

 

⑶ 예제 : f ∈ PC이고 

 

 

일 때 각 자연수 N에 대해 

 

 

임을 보이시오.

 

⑷ 예제 : 

 

 

이고, 

 

 

임을 보이시오. 함수 D₀, D₁, D₂의 그래프를 |x| ≤ π에서 그려 보시오. 

 

⑸ 최적 근사와 Bessel 부등식 : f ∈ PC이고 

 

 

라 하자.

① 자연수 N과 에 γ₀, γ₁, ···, γ_N, δ₁, ···, δ_N ∈ ℝ에 대해 

 

 

라 하면 

 

 

를 보이시오. 또한 

 

 

를 보이시오. 

 

②

 

을 보여 

 

 

를 보이시오.

 

⑹ 예제 : f ∈ PC, x ∈ ℝ이고 A, 0 ＜ δ ＜ π가 있어 0 ＜ t ＜ δ일 때마다 부등식 

 

 

및 

 

 

이 성립한다고 하자. 이때 

 

 

을 보이시오.  

 

⑺ 예제 : f ∈ PC가 -π ≤ x ＜ 0이면 f(x) = 0이고, 0 ≤ x ＜ π이면 f(x) = 1이라 하자. 

① 

 

 

임을 보이시오.

 

② 

 

 

임을 보이시오.

 

③ 

 

 

를 보이시오. 

 

⑻ Parseval 등식 : f, g ∈ PC에 대해 

 

 

및  

 

 

라고 하면 

 

 

임을 보이시오. 

3. 등주문제 [목차]

⑴ f ∈ PC¹이라는 것은 f가 연속이고 g ∈ PC가 있어 유한 개의 점을 제외하고 모든 x ∈ [0, 2π]에 대해 f'(x) = g(x)이라는 것이다.

 

⑵ f ∈ PC¹이고 

 

 

라 하자. 이때 g ∈ PC가 유한 개의 점을 제외하고 모든 x ∈ [0, 2π]에 대해 f'(x) = g(x)을 만족하면 

 

 

임을 보이시오.

 

⑶ 등주문제(isoperimetric problem) : 길이가 2π인 부분적으로 C¹ 곡선이 에워싸는 최대의 넓이는 π이고 원일 때만 π이다.

 

 

4. 열 방정식 [목차]

⑴ 예제 : 좌표가 x ∈ ℝ인 직선 위의 점의 시간 t ≥ 0에서의 온도가 u(x, t)라고 하자. u는 C² 함수이고 온도의 전도는 높은 곳에서 낮은 곳으로 흐르며 상수 k와 편도함수 u_x(x, t)에 비례한다고 하자. 이때 u는 미분방정식 u_t = ku_xx를 영역 x ∈ ℝ, t ＞ 0에서 만족함을 보이시오.  

 

⑵ 예제 : 도선 [0, 2π]의 초기온도는 f(x) = x(2π - x)이다. 도선이 단열되어 있을 때 시간 t ≥ 0 후의 온도분포인 C² 함수 u(x, t)를 구하시오.

 

입력 : 2020.01.18 00:13