【해석학】 21강. 미분방정식의 해의 안정성

21강. 미분방정식의 해의 안정성

 

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1. 선형미분방정식이 유일한 해를 가짐을 증명 [본문]

2. 미분방정식의 해가 초기조건에 연속적으로 의존함을 증명 [본문]

3. 미분방정식을 정의하는 함수에도 해가 연속적으로 의존함을 증명 [본문]

4. 이차 선형미분방정식의 모든 해는 두 개의 해로 생성됨을 증명 [본문]

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1. 선형미분방정식이 유일한 해를 가짐을 증명 [목차]

 

⑴ 예제 : 연속함수 f: (a, b) × ℝⁿ → ℝⁿ가 연속인 편미분 

 

 

를 갖는다고 하자. 또한 양수 M, L이 있어 모든 a ＜ t ＜ b, x ∈ ℝⁿ, 1 ≤ i, j, ≤ n에 대해 |f_i(t, x₀)| ≤ M, |∂f_i/∂x_j(t, x)| ≤ L이 성립한다. 이때 각 (t₀, x₀) ∈ (a, b) × ℝⁿ에 대해 미분방정식 x(t₀) = x₀, x'(t) = f(t, x(t))이 유일한 해 x : (a, b) → ℝⁿ를 가짐을 보이시오.

 

⑵ 예제 : n × n 행렬함수 A(t) = [a_ij(t)]와 ℝⁿ에서 값을 갖는 벡터함수 f가 (a, b)에서 연속이다. 이때 각 (t₀, x₀) ∈ (a, b) × ℝⁿ에 대해 미분방정식 x(t₀) = x₀, x'(t) = A(t)x(t) + f(t)이 유일한 해 x : (a, b) → ℝⁿ를 가짐을 보이시오.

 

 

2. 미분방정식의 해가 초기조건에 연속적으로 의존함을 증명 [목차]

 

⑴ 예제 : 구간 (a, b)에서 연속인 함수 p₀(t), ···, p_n-1(t), g(t)와 t₀ ∈ (a, b), y₀, ···, y_n-1 ∈ ℝ이 있다. 이때 다음 미분방정식 y(t₀) = y₀, ···, y^(n-1)(t₀) = y_n-1, p₀(t)y(t) + ··· + p_n-1(t)y^(n-1)(t) + y⁽ⁿ⁾(t) = g(t)이 유일한 해 y : (a, b) → ℝ를 가짐을 보이시오.

 

⑵ 예제 : 다음 미분방정식이 유일한 해를 갖는 구간을 한 개만 구하시오.

 

 

⑶ 예제 : 다음 미분방정식이 유일한 해를 갖는 구간을 한 개만 구하시오.

  

 

⑷ Gronwall 부등식 : 연속함수 u, v : [a, b) → [0, ∞)와 c ≥ 0가 있어 부등식 

 

 

가 성립한다고 하자. 이때 모든 a ≤ x ＜ b에 대해 

 

 

를 보이시오.

 

 

3. 미분방정식을 정의하는 함수에도 해가 연속적으로 의존함을 증명 [목차]

 

⑴ 예제 : f(x, y)와 

 

 

가 V = (a, b) × (c, d) 위에서 연속이다. 또한 (x₀, y₀) ∈ V와 h, α, δ ＞ 0가 있어 R = [x₀ - h, x₀ + h] ×  [y₀ - α, y₀ + α] ⊆ V이고 δ ＜ α이며 함수 𝜙 : (x₀ - h, x₀ + h) × (y₀ - δ, y₀ + δ) → [y₀ - α, y₀ + α]가 있어 다음 두 조건이 성립한다. 

 

① 

 

 

이면 

 

 

이다.

 

② 

 

 

이면 

 

 

이다. 이때 모든 

 

 

에 대해 부등식 

 

 

이 성립하는 상수 L ≥ 0이 존재함을 보이시오. 특히 임의의 ϵ ＞ 0에 대해 δ ＞ 0가 있어 

 

 

이면 

 

 

임을 보이시오. 

 

⑵ 예제 : f(x, y), g(x, y)와 

 

 

가 V = (a, b) × (c, d) 위에서 연속이다. 또한 (x₀, y₀) ∈ V와 h, α ＞ 0가 있어 R = [x₀ - h, x₀ + h] × [y₀ - α, y₀ + α] ⊆ V이다. 두 함수 𝜙, φ : (x₀ - h, x₀ + h) → [y₀ - α, y₀ + α]가 있어 다음 두 조건이 성립한다.

 

① 𝜙(x₀) = y₀ = φ(x₀)

 

② |x - x₀| ＜ h이면 𝜙'(x) = f(x, 𝜙(x))(x₀, y₀), φ'(x) = g(x, φ(x))이다. 직사각형 R 위에서 

 

 

이라 할 때 각 |x - x₀| ＜ h에 대해 |𝜙(x) - φ(x)| ≤ ϵhe^Lh임을 보이시오.

 

⑶ 예제 : 𝜙(x)는 미분방정식 y' = e^y, y(0) = 0의 해이고 φ(x)는 미분방정식 y' = 1 + y, y(0) = 0.03의 해라고 하자. 이때 𝜙와 φ는 ℝ 전체에서 정의되고 |x| ＜ 0.06이면 |𝜙(x) - φ(x)| ＜ 0.05임을 보이시오.

 

 

4. 이차 선형미분방정식의 모든 해는 두 개의 해로 생성됨을 증명 [목차]

 

⑴ 예제 : 미분방정식 y" - y' + 2y = 0, y(0) = 1, y'(0) = 3의 해 y : ℝ → ℝ를 구하시오.

 

⑵ 예제 : a ≠ 0, b, c ∈ ℝ에 대해 미분방정식 ay" + by' + cy = 0의 두 해 y₁, y₂ : ℝ → ℝ가 있다.

 

① 다음이 동치임을 보이시오.

 

○ (s₁, s₂) ≠ (0, 0)이 있어 s₁y₁ + s₂y₂ = 0이다.

○ 모든 t ∈ ℝ에 대해 W(t) ≡ y₁(t)y₂'(t) - y₁'(t)y₂(t) = 0이다.

○ τ ∈ ℝ가 있어 W(τ) = 0이다.

 

② y : ℝ → ℝ가 ay" + by' + cy = 0를 만족하고 s₁y₁ + s₂y₂ = 0인 (s₁, s₂) ≠ (0, 0)이 존재하지 않으면 y = s₁y₁ + s₂y₂인 s₁, s₂ ∈ ℝ이 존재한다.

 

입력 : 2020.01.18 10:21