【논리학】 수학 논리 문제 (21~40)

수학 논리 문제 (21~40)

 

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a. 수학 논리 문제 (01~20)

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문제 21. A, B, C, D, E, F, G, H는 어떤 회사의 회사원이다. 그들은 그 회사의 3개의 부서인 인사, 행정, 마케팅 중 하나에 일하고 있다. (단, 8명 중 4명 이상으로 같은 부서에 일하지는 않는다고 하자.) 그들은 각각 서로 다른 취미가 있는데, 각각 미식축구, 크리켓, 배구, 배드민턴, 테니스, 농구, 하키, 탁구이다. (단, A ~ F가 이 순서대로 취미를 가지고 있는 것은 아니다.)

⑴ D는 행정 부서에서 일하고 미식축구와 크리켓을 좋아하지 않는다.

⑵ F는 탁구를 좋아하는 A와 둘이서 인사 부서에서 일한다.
⑶ E와 H는 D와 같은 부서에서 일하지 않는다.
⑷ C는 하키를 좋아하고 마케팅 부서에서 일하지 않는다.
⑸ G는 행정 부서에서 일하지 않고 크리켓과 배드민턴을 좋아하지 않는다.
⑹ 행정 부서에서 일하는 한 사람은 미식축구를 좋아한다.
⑺ 배구를 좋아하는 사람은 인사 부서에서 일한다.
⑻ 행정 부서에서 일하는 그 누구도 배드민턴이나 테니스를 좋아하지 않는다.
⑼ H는 크리켓을 좋아하지 않는다.

행정 부서에서 일하는 사람들은 누구인가? 그리고 E는 어느 부서에서 일하는가?

 

풀이 21.

○ 먼저 확인한 순서대로 정보를 나열함

○ 주어진 정보, 1차 추론 정보, 2차 추론 정보, 3차 추론 정보, 4차 추론 정보를 다음과 같이 정리할 수 있음

○ A : 탁구. 인사.

○ B : 행정 (∵ ⑹). 미식축구 (∵ ⑹). 

○ C : 하키. 마케팅 ×. 행정 (∵ ⑵, 인사는 2명뿐으로 해석)

○ D : 행정. 미식축구 ×. 크리켓 ×. E, H와 같은 부서가 아님. 배드민턴 ×. 테니스 ×. 농구 (∵ 소거법, ⑺). 

○ E : 행정 × (∵ ⑶). 마케팅 (∵ ⑵, 인사는 2명뿐으로 해석). 크리켓 (∵ 소거법). 

○ F : 인사. 배구 (∵ ⑺)

○ G : 행정 ×. 크리켓 ×. 배드민턴 ×. 마케팅 (∵ ⑵, 인사는 2명뿐으로 해석). 테니스 (∵ 소거법).

○ H : 행정 × (∵ ⑶). 크리켓 ×. 마케팅 (∵ ⑵, 인사는 2명뿐으로 해석). 배드민턴 (∵ 소거법).

○ 답 : 행정 부서에서 일하는 사람들 - B, C, D

○ 답 : E는 마케팅 부서에서 일함 

 

 

문제 22. 사자, 호랑이, 늑대가 각각 그들의 새끼 한 마리를 데리고 강가에 다다랐다. 강가에는 최대 두 마리가 탈 수 있는 뗏목이 하나가 놓여 있었다. 그런데 문제는 어미가 없을 때에는 다른 맹수가 새끼를 잡아먹는다고 한다. 따라서 새끼를 다른 맹수에게 맡겨 놓으면 안 된다.

[규칙]
1. 새끼도 노를 저어 강을 건널 수 있다.
2. 새끼들끼리 있어도 아무런 해가 안 된다.
3. 어미가 없으면 새끼는 다른 맹수에게 잡아먹는다.

 

풀이 22.

○ 사자 새끼사자 호랑이 새끼호랑이 늑대 새끼늑대 | ⛵︎ ~ |

○ 사자 호랑이 늑대 새끼늑대 | ~ ⛵︎ | 새끼사자 새끼호랑이

○ 사자 새끼사자 호랑이 늑대 새끼늑대 | ⛵︎ ~ | 새끼호랑이

○ 사자 호랑이 늑대 | ~ ⛵︎ | 새끼사자 새끼호랑이 새끼늑대  

○ 사자 새끼사자 호랑이 늑대 | ⛵︎ ~ | 새끼호랑이 새끼늑대 

○ 사자 새끼사자 | ~ ⛵︎ | 호랑이 새끼호랑이 늑대 새끼늑대 

○ 사자 새끼사자 호랑이 새끼호랑이 | ⛵︎ ~ | 늑대 새끼늑대

○ 새끼사자 새끼호랑이 | ~ ⛵︎ | 사자 호랑이 늑대 새끼늑대 

○ 새끼사자 새끼호랑이 새끼늑대 | ⛵︎ ~ | 사자 호랑이 늑대  

○ 새끼늑대 | ~ ⛵︎ | 사자 새끼사자 호랑이 새끼호랑이 늑대 

○ 늑대 새끼늑대 | ⛵︎ ~ | 사자 새끼사자 호랑이 새끼호랑이

○ | ~ ⛵︎ | 사자 새끼사자 호랑이 새끼호랑이 늑대 새끼늑대

 

 

문제 23. 세 명의 남자와 두 명의 여자가 강을 건너려고 한다. 배에 한 번에 탈 수 있는 사람의 수는 남자인 경우에는 한 사람, 여자인 경우에는 두 사람이다. 다섯 사람 모두 노를 저을 수 있고, 남자와 여자는 함께 배를 탈 수 없다. 다섯 사람이 모두 강을 건너는 방법은 무엇인가?

 

풀이 23.

○ 남 남 남 여 여 | ⛵︎ ~ | 

○ 남 남 남 | ~ ⛵︎ | 여 여

○ 남 남 남 여 | ⛵︎ ~ | 여

○ 남 남 여 | ~ ⛵︎ | 남 여

○ 남 남 여 여 | ⛵︎ ~ | 남 

○ 남 남 | ~ ⛵︎ | 남 여 여

○ 남 남 여 | ⛵︎ ~ | 남 여

○ 남 여 | ~ ⛵︎ | 남 남 여 

○ 남 여 여 | ⛵︎ ~ | 남 남

○ 남 | ~ ⛵︎ | 남 남 여 여  

○ 남 여 | ⛵︎ ~ | 남 남 여

○ 여 | ~ ⛵︎ | 남 남 남 여

○ 여 여 | ⛵︎ ~ | 남 남 남 

○ | ~ ⛵︎ | 남 남 남 여 여

 

 

문제 24. “The Genius” 필기시험 - (가)형

○ 1번

 

 

○ 풀이

○ 검은 돌이 없는 빈 공간을 보면 새로운 도형이 나올 때마다 각 빈 공간이 우측으로 한 칸씩 이동하고 있음을 알 수 있음 

○ 단, 3번째 열에서 우측으로 한 칸 이동하는 경우 1번째 열로 이동함을 유의 

○ 답 : C

○ 2번

 

 

○ 풀이

○ 1행 : 2 × 6 = 12 

○ 2행 : 3 × 7 = 21

○ 3행 : 4 × 9 = 36

○ 4행 : 6 × 8 = 48

○ 5행 : 8 × 7 = 56

○ 답 : 6

○ 3번

 

 

○ 풀이

○ 주어진 정보를 보면, D-F-E, C-A-G를 한 묶음으로 생각하여야 함

○ D가 101호, 107호에 있으면 B의 방이 C-A-G와 공존할 수 없음 → 모순

○ D가 103호에 있으면, B의 방은 104호, G의 방은 107호임 → 모순 아님

○ D가 104호에 있으면 B의 방은 103호에 있으나, C-A-G가 있을 곳이 없음 → 모순

○ 결론 

 

B   

C    D

A    F

G    E

 

○ 답 : A

○ 4번

 

 

○ 풀이

○ 표를 그리면 됨 : 아래 표에 표시된 각 원소는 승리한 팀을 나타냄 

 

	A	B	C	D	E	F
A	.	.	.	.	.	.
B	A	.	.	.	.	.
C	A	B	.	.	.	.
D	A	무승부	D	.	.	.
E	A	B	C	D	.	.
F	A	B	F	D	F	.

 

○ C는 D에게 이겼다. (❌)

○ B는 F에게 이겼다. (⭕️)

○ B와 C는 비겼다. (❌)

 

 

문제 25. “The Genius” 필기시험 - (나)형

○ 1번

 

 

○ 풀이

○ 3개의 수로 구성된 선분이 총 4개가 있는데, (11, 8, 3), (8, 5, 9) 선분을 보면 각 선분을 구성하는 수의 합이 22임을 알 수 있음 

○ 8 + ? + 8 = 5 + ? + 11 = 22

○ 답 : ? = 6

○ 2번

 

 

○ 풀이

○ 필자가 상당히 고민해 보았고, 확실하지는 않지만 두 가지 답을 제시하고자 함

○ 답 1. 49, 64, 61, ?가 숫자의 크기가 동일하여 이들만 고려하면 되는데, 49, 64가 서로 숫자가 뒤집히는 관계에 있어 ?는 61과 숫자가 뒤집히는 관계에 있는 19라는 것을 알 수 있음 

○ 답 2. 61, 33의 십의 자리 숫자를 조합하면 63이 나오고, 63과 49의 십의 자리 숫자를 조합하면 64가 나오므로 64와 57의 십의 자리 숫자를 조합하여 ? 자리에 65가 온다는 것을 알 수 있음 

○ 3번

 

 

○ 풀이

○ (주석) 242 = 3⁵ - 1이므로 절반씩 벽돌들을 구분하는 것보다 3분의 1씩으로 구분해야 한다는 것을 암시하고 있음 

○ (주석) 벽돌을 n분의 1씩으로 구분해 양팔 저울 위에 2개 부분만 올릴 때, n이 커질수록 benefit이 증가하는 만큼 risk도 증가함

○ (참고) 아래 풀이에서 별표(*)가 있는 곳에 불량 벽돌이 있음 

○ 2분의 1씩으로 구분하여 양팔 저울에 올리면 저울을 8번만 쓰면 불량 벽돌을 구분할 수 있음

○ 242* → 142* + 142 (1번)

○ 142* → 81* + 81 (2번)

○ 81* → 40* + 40 + 1 (3번) : 40개 묶음 2개를 비교

○ 40* → 20* + 20 (4번)

○ 20* → 10* + 10 (5번)

○ 10* → 5* + 5 (6번)

○ 5* → 2* + 2 + 1 (7번) : 2개 묶음 2개를 비교 

○ 2* → 1* + 1 (8번)

○ 3분의 1씩으로 구분하여 양팔 저울에 올리면 저울을 5번만 쓰면 불량 벽돌을 구분할 수 있음 

○ 242* → 81* + 81 + 80 (1번) : 81개 묶음 2개를 비교

○ 81* → 27* + 27 + 27 (2번) : 27개 묶음 2개를 비교 

○ 27* → 9* + 9 + 9 (3번) : 9개 묶음 2개를 비교 

○ 9* → 3* + 3 + 3 (4번) : 3개 묶음 2개를 비교 

○ 3* → 1* + 1 + 1 (5번) : 1개씩 양팔 저울에 2개를 올려서 비교

○ 4분의 1씩으로 구분하여 양팔 저울에 올릴 때 같은 무게가 나오면 2분의 1씩으로 구분한 것과 결과가 크게 다르지 않음 

○ 5분의 1씩, 6분의 1씩으로 구분하면 risk가 너무 커서 worst-case의 기대 효용이 더 적어짐 

○ 답 : 5번 

○ 4번

 

 

○ 풀이

○ 이런 문제를 풀려면 표를 그리면 됨 

 

	빨강	파랑	노랑	초록	검정
A	O	O	X	X	O
B	X	O	O	O	X
C	O	O	X	O	X
D	O	X	O	X	O
E	O	O	X	X	O

 

○ C는 좋아하는 색깔로 노란색과 검정색을 선택하지 않았다. (⭕️)

○ 초록색을 선택한 사람(2명)보다 검정색을 선택한 사람(3명)이 더 많다. (⭕️)

○ D는 B와 달리 좋아하는 색깔로 검정색을 선택했다. (⭕️)

 

 

문제 26. 다음과 같은 규칙으로 동전을 늘어놓을 때, 동전 사이의 틈의 모양은 △와 ▽이 있습니다. 그럼 ⑹에는 모양 △과 ▽이 모두 몇 개 있는가? 이를 일반화할 수 있는가?

 

 

풀이 26.

○ △ = 0 + 1 + 2 + ∙∙∙ + 5 = 15개 → n번째에는 n(n-1) / 2개

○ ▽ = 1 + 2 + 3 + ∙∙∙ + 6 = 21개 → n번째에는 n(n+1) / 2개

 

 

문제 27. 어떤 회사에 김씨, 이씨, 박씨 성을 가진 사장, 부장, 과장이 있다. 그러나 누가 어느 성을 가지고 있는지는 아직 알 수 없다. 어느 날 회사에 김씨, 이씨, 박씨 성을 가진 손님이 찾아왔다. 그렇다면 다음 조건에서 사장, 부장, 과장의 성을 찾아 보아라!

 

1) 손님 박씨는 대전에 살고 있다.

2) 과장은 수원에 살고 있다.

3) 손님 이씨의 월급은 3,356,511원이다.

4) 과장과 같이 수원에 살고 있는 손님의 월급은 과장 월급의 딱 2배이다. (단, 월급에 원 미만은 없다.)

5) 과장과 같은 성을 가진 손님은 서울에 살고 있다.

6) 부장의 성은 김씨가 아니다. 

 

풀이 27.

○ 먼저 확인한 순서대로 정보를 나열함

○ 주어진 정보, 1차 추론 정보, 2차 추론 정보, 3차 추론 정보, 4차 추론 정보를 다음과 같이 정리할 수 있음

○ 사장 : 김씨 (∵ 소거법).

○ 부장 : 김씨 아님. 박씨 (∵ 소거법).

○ 과장 : 수원. 김씨가 아님 (∵ 5). 이씨 (∵ 5). 

○ 손님 김씨 : 수원 (∵ 소거법).  

○ 손님 이씨 : 월급 3,356,511원. 수원에 살지 않음. 서울 (∵ 5, 소거법).

○ 손님 박씨 : 대전. 

 

 

문제 28. A, B, C, D, E 5명의 학생이 수학경시대회에 참가하였는데, 성적을 발표하기 전에 선생님은 그들 각자 자기를 제외한 다른 두 학생의 등수를 예상해 보라고 하였다. 아래는 각자의 예측이다.

A : B가 4등이고 C가 5등일 것이다.
B : C가 4등이고 D가 3등일 것이다.
C : D가 5등이고 E가 4등일 것이다.
D : E가 1등이고 A가 2등일 것이다.
E : A가 1등이고 B가 4등일 것이다.

그런데 선생님의 말씀에 의하면 이들의 답에 각 사람의 등수를 모두 맞힌 사람이 두 사람이 있고, 나머지 세 사람은 모두 틀렸다고 한다. 5명의 학생의 순위는 어떠할까? 

 

풀이 28.

○ 경우 1. A, B가 맞은 경우 : C의 등수가 5등이고 4등이기도 하므로 모순 

○ 경우 2. A, C가 맞은 경우 : 5등이 C, D 두 명이나 있으므로 모순 

○ 경우 3. A, D가 맞은 경우 : B = 4, C = 5, E = 1, A = 2. D = 3인데 B가 그것은 잘 말했으므로 모두 틀린 것은 아님 

○ 경우 4. A, E가 맞은 경우 : B = 4, C = 5, A = 1. B가 모두 틀리려면 D = 2, E = 3.

○ 경우 5. B, C가 맞은 경우 : 4등이 C, E 두 명이나 있으므로 모순 

○ 경우 6. B, D가 맞은 경우 : C = 4, D = 3, E = 1, A = 2. B = 5이고, 이때 다른 세 명이 모두 틀림 

○ 경우 7. B, E가 맞은 경우 : 4등이 C, B 두 명이나 있으므로 모순 

○ 경우 8. C, D가 맞은 경우 : E의 등수가 4등이고 1등이기도 하므로 모순 

○ 경우 9. C, E가 맞은 경우 : 4등이 E, B 두 명이나 있으므로 모순 

○ 경우 10. D, E가 맞은 경우 : 1등이 D, A 두 명이나 있으므로 모순

○ 답 : (A, B, C, D, E) = (1, 4, 5, 2, 3), (2, 5, 4, 3, 1)

 

 

문제 29. 5 L 들이 술통과 3 L 들이 술통만을 이용하여 4 L 들이 술을 만들려고 한다. 어떻게 해야 할까?

 

풀이 29.

○ 단계 1. 5 L 들이 술통에 술을 가득 채우고 3 L 들이 술통에 옮김

○ 단계 2. 3L 들이 술통에 있는 술을 제거하고, 5 L 들이 술통에 남아 있는 2 L 술을 3 L 들이 술통에 옮김

○ 단계 3. 5 L 들이 술통에 5 L 가득 술을 채우고 3 L 들이 술통에 1 L를 담음

○ 이를 통해 5 L 술통에 4 L만 남아 있게 됨 

 

 

문제 30. 한 섬에 50명의 사람이 있다. 이들은 모두 한 마리의 개를 기르고 있고, 매일 낮마다 광장에 모였다가 집으로 흩어진다. 어느 날 밤에 마법사 한 명이 나타나 다음과 같은 세 가지 마법을 사용했다.

  ⑴ 50마리의 개들 중 몇 마리의 개가 순식간에 광견병에 감염된다. 
  ⑵ 감염된 개의 주인은 그 개가 광견병에 걸렸는지 그렇지 않은지 구별할 수 없다. (그러나 다른 사람의 개가 미친 것은 알 수 있다.)
  ⑶ 주민들은 마법에 걸린 순간부터 말을 할 수 없게 된다.
  ⑷ 광견병에 걸린 개는 오직 그의 주인만이 죽일 수 있다.
  ⑸ 주민들은 ⑴ ~ ⑷까지의 마법의 내용을 알고 있다. 또한 광견병에 걸린 개들을 모두 죽이면 ⑴ ~ ⑷까지의 마법이 풀린다.

광견병에 걸린 개는 언제 다른 사람들의 생명을 해칠지 모른다. 또한 50명의 섬 주민들은 생명을 굉장히 중시한다. 따라서 50명의 주민들은 광견병에 걸린 개만을 죽이기 위해 마법사가 찾아온 다음날 낮부터 다른 사람들이 기르는 개를 살펴보러 다닌다. 그리고 개의 주인은 자신의 개가 미쳤음을 확신하게 되면 집에 돌아가서 개를 죽이게 된다. 

마법사가 찾아온 후 네 번째 낮에, 섬 주민들은 광장에 모였다 흩어진 후 그 밤에 미친 개들이 모두 죽게 된다. 그러자 말을 할 수 있게 되면서 미친 개가 없다는 확신을 갖게 된다. 그럼 미친 개는 몇 마리일까? 

네 번째로 주민들이 모이기 전까지는 죽은 개가 없다. 미친 개는 같은 날 죽게 된다.

 

풀이 30.

○ 경우 1. 미친 개가 1마리인 경우

○ 마법사가 찾아온 후 첫 번째 낮에 미친 개의 주인은 다른 미친 개를 전혀 볼 수 없음

○ 여전히 주민들은 마법에 걸려 있으므로 미친 개의 주인은 자신의 개가 광견병에 걸렸다는 것을 금방 알 수 있음

○ 그래서 그 밤에 미친 개가 모두 죽게 됨

○ 경우 2. 미친 개가 2마리인 경우

○ 마법사가 찾아온 후 첫 번째 낮에 미친 개의 주인은 자신의 개 이외에 1마리의 미친 개를 볼 수 있음

○ 그러나 미친 개의 주인은 마법사가 찾아온 후 두 번째 낮이 찾아와도 미친 개가 죽지 않았음을 알 수 있음

○ 따라서 미친 개의 주인은 금방 자신의 개 또한 광견병에 걸렸다는 것을 금방 알 수 있음

○ 그래서 그 밤에 미친 개가 모두 죽게 됨

○ 수학적 귀납법

○ 미친 개가 k마리인 경우, 마법사가 찾아온 후 k번째 낮까지 죽은 개는 없고 그 밤에 모두 죽게 됨 (단, 1 ≤ k ≤ n) (※)

○ 미친 개가 (n+1)마리인 경우, 마법사가 찾아온 후 (n+1)번째 낮까지 죽은 개는 없다고 가정

○ 이 경우 미친 개의 주인은 자신의 개가 광견병에 걸렸다고 확신하고 그 밤에 개를 죽임

○ 그래서 k = (n+1)인 경우에도 (※)이 여전히 성립함 

○ 참고로, 미친 개의 주인은 n마리의 개를 보고 있으므로 마법사가 찾아온 후 (n+1)번째 낮 이후 밤에 개를 죽이려고 하지만, 정상 개의 주인은 (n+1)마리의 개를 보고 있으므로 마법사가 찾아온 후 (n+2)번째 낮 이후 자신의 개를 죽이려고 함 → 정상 개가 실수로 죽는 경우는 없음

○ 따라서 (※)는 항상 성립함 

○ 답 : 미친 개는 4마리 

○ 더 직관적인 설명  

 

 

 

문제 31. 인구 조사원이 어느 집에 인구 조사를 위해 방문하게 되었고 그 집의 부모님과 조사원이 나눈 대화이다.
 
  ▷ 부모님 : 저희 집에는 딸이 셋이 있고 세 딸의 나이를 모두 곱하면 36입니다.
  ▷ 조사원 : 잘 모르겠습니다.
  ▷ 부모님 : 세 딸의 나이를 모두 더하면 이 집의 번지수와 같습니다.
  ▷ 조사원 : (집의 번지수를 확인한 뒤) 여전히 잘 모르겠습니다.
  ▷ 부모님 : 글쎄요, 큰 딸을 불러올 테니 한 번 추측해 보실래요?
  ▷ 조사원 : 아뇨, 이제 나이를 모두 알아냈습니다.

인구 조사원은 세 딸의 나이를 어떻게 알아냈고, 세 딸의 나이는 각각 얼마인가?

 

풀이 31.

○ 세 딸의 나이를 모두 곱하면 36인 경우 : 합은 괄호 안에 표시 

○ 1 × 1 × 36 (38)

○ 1 × 2 × 18 (21)

○ 1 × 3 × 12 (16)

○ 1 × 4 × 9 (14)

○ 1 × 6 × 6 (13)

○ 2  × 2 × 9 (13)

○ 2 × 3 × 6 (11)

○ 3 × 3 × 4 (10)

○ 세 딸의 나이를 모두 더할 경우 중복된 해가 존재함 : (1, 6, 6), (2, 2, 9)

○ 큰 딸은 유일함 : 즉, (1, 6, 6)은 올바른 해가 아님 

○ 답 : 세 딸의 나이는 2, 2, 9살

 

 

문제 32. 여기에 겉보기에는 똑같은 실 조각이 많이 있다. 이 실을 한쪽 끝에서 불을 붙이면, 중간에 타는 속도는 제각각이지만 어쨌든 다 탈 때까지는 꼭 1분이 걸린다. 이 실들을 이용하여 정확히 45초를 재라.

 

풀이 32.

○ 실 양쪽에 불을 붙이면 30초 안에 실이 다 탈 수 있음

○ 두 개의 실을 나란히 놓고, 하나는 한쪽에 불을 붙이고 다른 하나는 양쪽에 불을 붙임

○ 만약 다른 하나가 모두 다 탔을 때 한쪽에만 불을 붙인 실의 반대쪽에 다시 불을 붙이면 총 30초 + 30초 / 2 = 45초를 잴 수 있게 됨

 

 

문제 33. 5장의 숫자카드 0, 1, 2, 3, 4가 있다. 이 중에서 한 번에 3장씩 집어서 그 수의 합을 점수라고 하면, 모두 몇 가지의 점수가 나오는가?

 

풀이 33.

○ 0 + 1 + 2 = 3부터 2 + 3 + 4 = 9까지 연속적으로 나올 수 있으므로, 총 7가지의 점수가 나올 수 있음

○ 예시 

○ 0 + 1 + 2 = 3

○ 0 + 1 + 3 = 4

○ 0 + 2 + 3 = 5

○ 0 + 2 + 4 = 6

○ 0 + 3 + 4 = 7

○ 1 + 3 + 4 = 8

○ 2 + 3 + 4 = 9

 

 

문제 34. 크기와 모양이 같은 6개의 구슬이 있다. 이 중에서 3개는 무겁고, 나머지 3개는 가볍다. 단, 무거운 3개의 무게는 서로 같고, 가벼운 3개의 무게는 서로 같다. 이때, 양팔저울을 3번 써서 구슬을 무거운 것과 가벼운 것으로 구별하여라.

 

풀이 34.

⑴ 주어진 6개의 공에 1번부터 6번까지 번호를 매긴다.

⑵ 1단계. (1, 2)와 (3, 4)를 비교한다. 

⑶ 경우 1. (1, 2) > (3, 4)

① 무거운 공의 조합 

○ (1, 2, 3) 

○ (1, 2, 4) 

○ (1, 2, 5) 

○ (1, 2, 6) 

○ (1, 5, 6) 

○ (2, 5, 6) 

② 2단계. 3번과 6번 공을 비교

③ 3단계. 2단계의 결과에 따라 다음과 같이 다른 전략을 사용한다.

○ 3번 > 6번 : 추가로 할 것 없이 (1, 2, 3)으로 결정됨

○ 3번 = 6번 : 4번 공과 5번 공을 비교하여 (1, 2, 4), (1, 2, 5) 중 유일하게 결정할 수 있음

○ 3번 < 6번 : 1번 공과 2번 공을 비교하여 (1, 2, 6), (1, 5, 6), (2, 5, 6) 중 유일하게 결정할 수 있음 

⑷ 경우 2. (1, 2) = (3, 4) 

① 무거운 공의 조합

○ (1, 3, 5) 

○ (1, 3, 6) 

○ (1, 4, 5) 

○ (1, 4, 6) 

○ (2, 3, 5) 

○ (2, 3, 6) 

○ (2, 4, 5) 

○ (2, 4, 6) 

② 2단계. (1, 3)과 (2, 5)를 비교한다.

③ 3단계. 2단계의 결과에 따라 다음과 같이 다른 전략을 사용한다.

○ (1, 3) > (2, 5) : 4번 공과 5번 공을 비교하여 (1, 3, 5), (1, 3, 6), (1, 4, 6) 중 유일하게 결정할 수 있음

○ (1, 3) = (2, 5) : 1번 공과 2번 공을 비교하여 (1, 4, 5), (2, 3, 6) 중 유일하게 결정할 수 있음

○ (1, 3) < (2, 5) : 3번 공과 6번 공을 비교하여 (2, 3, 5), (2, 4, 5), (2, 4, 6) 중 유일하게 결정할 수 있음 

⑸ 자세한 풀이 

 

【알고리즘】 가설을 생성하는 AI, 그 아이디어의 시작

 

 

문제 35. (웹툰 킬더킹 : 결함게임) 뒤집힌 카드 중 한 장을 골라 킹 카드와 바꾼다. 내가 고른 카드의 숫자가 '킹 카드를 숨긴 위치'가 된다. 선공은 '패널티 존(26 ~ 33)'의 카드를 고를 수 없다. 선공부터 번갈아 상대방에게 '질문'을 하여, 상대방이 킹 카드를 숨긴 위치를 먼저 알아내는 쪽이 이긴다. 질문은 '예' 또는 '아니오'로 대답할 수 있어야 한다. (단, '패널티 존'이란 후공 전용 지역을 지칭한다.)

 

 

우선 게임의 규칙을 제대로 이해할 필요가 있다. 선공이 카드 2장 중 한 장에 후공의 킹 카드가 있다는 것을 확신했다고 가정하자. 위에 써 놓은 규칙에 따르면 선공이 후공의 킹 카드를 제대로 지목했든, 그러지 못했든 결과적으로 단 한 번의 질문으로 선공이 후공의 킹 카드의 위치를 알게 되므로 선공의 승리가 될 것만 같다. 하지만 웹툰에 나온 내용에 따르면 그런 것은 아니었다. 따라서 승리의 조건이 킹 카드의 위치를 아는지의 여부가 아니라 정확히 킹 카드의 위치를 '지목'했는지의 여부일 것이다. 그렇다면 질문의 종류는 킹 카드의 위치를 '추리는 것'과 킹 카드의 위치를 '지목하는 것'으로 두 종류가 있다는 것을 알 수 있다.

 

한 차례의 질문으로 킹 카드의 범위를 추리기 위해서는 킹 카드가 있는 조합과 없는 조합으로 반씩 쪼개는 것이 이상적이며, 이를 웹툰에서는  '반반 전략'이라고 소개하고 있다.

 

1,000,000보다 작은 임의의 숫자를 맞추기 위해 몇 번의 질문이 필요할까? 예/아니오로 대답이 제한된다면, 정답은 20번이었다. 2개의 숫자 중 하나를 고르는 데는 질문 하나면 된다. 숫자가 4개였다면 질문 두 번, 8개라면 질문 세 번이 필요하지만, 16개라면 네 번, 32개라면 다섯 번, 질문 기회가 늘어나면 가려낼 수 있는 숫자는 기하급수로 커진다. 20번의 질문 기회가 있다면 1,048,576의 숫자 중에서 하나를 고를 수 있다. 1,000,000은 1,048,576보다 작은 수이기 때문에 20번의 질문이면 충분하다. 반씩 나누어 가면 답은 금방 나온다. 기하급수의 무서움을 반대로 적용한 예랄까, 체스판의 첫 칸에 쌀알 하나를 놓고 다음 칸으로 옮길 때마다 그 두 배의 쌀알을 놓는다면? 그 쌀알을 대느라 왕국이 파산했다는 이야기, 계산하면 쌀의 수는 18,446,744,043,709,551,616 톨이다. 즉 반대로 말하면, 18,446,744,073,709,551,616 톨의 쌀알에서 한 알의 쌀이 남는 데 64번의 질문이면 충분하다는 뜻이다.

 

웹툰에서 남주는 결함 게임의 룰이, 선공이 24장, 후공이 32장, 총 56장으로 게임을 하면 두 쪽 모두 승률이 반이 된다고 언급했다. 그래서 이렇게 불편한 룰이 어딘지 모를 '결함'이 있는 것이라고 추론했다. 그렇다면 남주는 56장을 사용하면 승률이 반이 된다는 결론은 어디서 얻었을까?

 

풀이 35. 웹툰 킬더킹 : 결함게임 분석 

【수학 논리 문제】 웹툰 킬더킹 : 결함게임

 

문제 36. 어두컴컴한 동굴 안에 빨간 모자와 파란 모자를 쓴 난쟁이들이 살고 있다. 그들은 본인이 어떤 색깔의 모자를 쓰고 있는지 모른다. 어떻게 해야 한 명씩 밖으로 나와 같은 색깔의 모자끼리 모여설 수 있을까? (서로의 모자 색깔을 알려줄 수 없다.) (출처 : 문제적 남자)

 

풀이 36. 

⑴ 난쟁이가 1명일 때 : 자명하게 같은 색깔의 모자끼리 모여설 수 있음

⑵ 난쟁이가 2명일 때 : 자명하게 같은 색깔의 모자끼리 모여설 수 없음

⑶ 난쟁이가 3명일 때 : 왼쪽에 빨간 모자를 쓴 난쟁이, 오른쪽에 파란 모자를 쓴 난쟁이, 가운데에 불분명한 난쟁이들이 모인다 할 때,

① 1번째로 나온 난쟁이 : 가운데로 이동 

② 2번째로 나온 난쟁이 : 가운데로 이동 

③ 3번째로 나온 난쟁이

○ 3번 난쟁이가 보기에 1, 2번 난쟁이가 같은 색 모자인 경우 : 3번 난쟁이가 1, 2번 난쟁이를 적절히 인도할 수 있음. 이 경우, 1번 난쟁이가 2, 3번 난쟁이를 비교해서 같은 색이면 3번 난쟁이를 데려오고, 다른 색이면 반대편으로 가게 하면 됨

○ 3번 난쟁이가 보기에 1, 2번 난쟁이가 다른 색 모자인 경우 : 1번 난쟁이가 보기에 2, 3번 난쟁이가 같은 색일 수도 있고 (→ 이 경우 위에서처럼 쉽게 난쟁이들을 빨강, 파랑 모자로 구분 가능), 2번 난쟁이가 보기에 1, 3번 난쟁이가 같은 색일 수도 있음 (→ 이 경우도 위에서처럼 쉽게 난쟁이들을 빨강, 파랑 모자로 구분 가능)

⑷ 난쟁이가 n명일 때 (n > 3) : 왼쪽에 빨간 모자를 쓴 난쟁이, 오른쪽에 파란 모자를 쓴 난쟁이, 가운데에 불분명한 난쟁이들이 모인다 할 때,

① 1번째로 나온 난쟁이 : 가운데로 이동 (위와 동일)

② 2번째로 나온 난쟁이 : 가운데로 이동 (위와 동일)

③ 3번째로 나온 난쟁이 (위와 동일)

○ 3번 난쟁이가 보기에 1, 2번 난쟁이가 같은 색 모자인 경우 : 3번 난쟁이가 1, 2번 난쟁이를 적절히 인도할 수 있음. 이 경우, 1번 난쟁이가 2, 3번 난쟁이를 비교해서 같은 색이면 3번 난쟁이를 데려오고, 다른 색이면 반대편으로 가게 하면 됨

○ 3번 난쟁이가 보기에 1, 2번 난쟁이가 다른 색 모자인 경우 : 1번 난쟁이가 보기에 2, 3번 난쟁이가 같은 색일 수도 있고 (→ 이 경우 위에서처럼 쉽게 난쟁이들을 빨강, 파랑 모자로 구분 가능), 2번 난쟁이가 보기에 1, 3번 난쟁이가 같은 색일 수도 있음 (→ 이 경우도 위에서처럼 쉽게 난쟁이들을 빨강, 파랑 모자로 구분 가능)

④ n번째로 나온 난쟁이 (n > 3)

○ 이미 1 ~ n-1번째로 나온 난쟁이는 빨강, 파랑 모자로 구분돼 있음

○ n번째로 나온 난쟁이는 일단 본인의 모자 색깔을 알지 못하므로 가운데로 이동함 

○ 다른 난쟁이가 볼 때 n번째로 나온 난쟁이가 빨강인지 파랑인지 알 수 있으므로 왼쪽 혹은 오른쪽으로 이동을 알맞게 지시할 수 있음

⑸ 결론 : n=2를 제외하고, n명의 난쟁이가 한 명씩 순서대로 나올 때 난쟁이가 같은 색깔의 모자끼리 모여설 수 있음  

 

 

문제 37. 모양과 크기가 같은 9개의 구슬 중 저울을 세 번만 사용하여 무게가 다른 하나를 찾아라. (출처 : 문제적 남자)

 

풀이 37. 

⑴ 임의의 6개를 골라 3개 vs 3개를 비교했을 때 양쪽이 무게가 같은 경우 : 나머지 3개 중에 하나가 무게가 다름

① 나머지 3개 중 2개를 골라 1개 vs 1개를 비교했을 때 양쪽이 무게가 같은 경우 : 나머지 1개가 무게가 다른 구슬

② 나머지 3개 중 2개를 골라 1개 vs 1개를 비교했을 때 양쪽이 무게가 다른 경우

○ 그 2개 (A, B) 중 1개(A)와 비교하지 않은 나머지 1개를 비교했을 때 무게가 같은 경우 : 그 2개 중 다른 1개(B)가 무게가 다른 구슬

○ 그 2개 (A, B) 중 1개(A)와 비교하지 않은 나머지 1개를 비교했을 때 무게가 다른 경우 : 그 2개 중 1개인 구슬(A)이 무게가 다름

⑵ 임의의 6개를 골라 3개 vs 3개를 비교했을 때 양쪽이 무게가 다른 경우 : 나머지 3개는 전부 정상 구슬

① 무거운 쪽 구슬 3개와 나머지 3개 구슬을 비교했을 때 무게가 같은 경우 : 무게가 다른 구슬은 가벼운 구슬

○ 가벼운 쪽에서 2개를 골라 비교했을 때 무게가 같은 경우 : 가벼운 쪽에 있던 나머지 1개가 무게가 다른 구슬 

○ 가벼운 쪽에서 2개를 골라 비교했을 때 무게가 다른 경우 : 그 2개 중 더 가벼운 구슬이 무게가 다른 구슬

② 무거운 쪽 구슬 3개와 나머지 3개 구슬을 비교했을 때 무게가 다른 경우 : 무게가 다른 구슬은 무거운 구슬

○ 무거운 쪽에서 2개를 골라 비교했을 때 무게가 같은 경우 : 무거운 쪽에 있던 나머지 1개가 무게가 다른 구슬

○ 무거운 쪽에서 2개를 골라 비교했을 때 무게가 다른 경우 : 그 2개 중 더 무거운 구슬이 무게가 다른 구슬

 

입력: 2022.05.20 10:32

수정: 2024.02.10 23:17