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【해석학】 17강. 케플러 1, 2, 3법칙 증명 17강. 케플러 1, 2, 3법칙 증명 추천글 : 【해석학】 해석학 목차 1. 타원 [본문] 2. 중력 [본문] 3. 케플러 제2법칙 증명 [본문] 4. 케플러 제1법칙 증명 [본문] 5. 케플러 제3법칙 증명 [본문] 1. 타원(ellipse) [목차] ⑴ a ＞ c ＞ 0, F1(-c, 0), F2(c, 0)에 대해 두 점 F1, F2로부터의 거리의 합이 2a인 모든 점의 모임은 에 대해 다음을 보이시오. ① 증명 ⑵ 영역 D가 다음과 같을 때, D의 넓이를 구하시오. ① 계산 ⑶ 타원의 극좌표식 : 0 < e < 1이고 점 P(x, y)로부터 원점에 이르는 거리를 r이라 하자. 또 양의 x축을 시계 반대 방향으로 각도 𝜙만큼 회전하면 반직선 OP와 일치한다고 하자. β ＞ 0일 때 다음 식은 한 초..
【해석학】 16강. 사이클로이드 16강. 사이클로이드(cycloid) 추천글 : 【해석학】 해석학 목차 풀이가 궁금하시면 답변 바랍니다. 1. 원 C = {(x, y) | x2 + (y - 1)2 = 1} 위에 점 P(0, 0)을 표시하고 원을 x축 위로 굴리면 P가 어떤 곡선을 그리는가? 실제로 (x, y) = c(θ) = (θ - sin θ, 1 - cos θ), θ ≥ 0로 매개화됨을 보이시오. 2. 위의 사이클로이드의 0 ≤ θ ≤ 2π에 해당되는 부분의 길이를 구하시오. 3. (x, y) = c(θ) = (θ - sin θ, 1 - cos θ), 0 < θ ≤ π일 때 를 보이시오. 4. 두 벡터 a = (a1, a2), b = (b1, b2) ∈ ℝ2에 대해 코시-슈바르츠 부등식 |a · b| ≤ |a| × |b|이 성립함을..
【해석학】 15강. 가우스 발산정리 15강. 가우스 발산정리 추천글 : 【해석학】 해석학 목차 풀이가 궁금하시면 답변 바랍니다. 1. 가우스 발산정리 [본문] 2. 가우스 정리와 조화함수 [본문] 3. Leibniz 정리의 증명 [본문] 1. 가우스 발산정리 [목차] ⑴ 열린집합 W ⊆ ℝ3와 미분가능한 벡터장 F : W → ℝ3에 대해 발산함수 div F : W → ℝ를 다음과 같이 정의하자. ⑵ 영역 W ⊆ ℝ3가 z-단순영역이라는 것은 C1 기본영역 D ⊆ ℝ2와 열린집합 D ⊆ U ⊆ ℝ2, 그리고 C1 함수 φ , ψ : U → ℝ가 있어 W = {(x, y, z) | (x, y) ∈ D, φ(x, y) ≤ z ≤ ψ(x, y)}라는 것이다. y-단순영역, x-단순영역도 비슷하게 정의한다. ⑶ 예제 : z-단순영역 W ⊆ ℝ3를 ..
【해석학】 14강. 스토크스 정리 14강. 스토크스 정리(stokes theorem) 추천글 : 【해석학】 해석학 목차 풀이가 궁금하시면 답변 바랍니다. 1. 컬의 정의 [본문] 2. 매개곡면 위에서 실함수와 벡터장의 적분 [본문] 3. 스토크스 정리의 증명 [본문] 4. 벡터장이 언제 보존장이 되는지 확인 [본문] 1. 컬의 정의 [목차] ⑴ 열린집합 W ⊆ ℝ3와 미분가능한 벡터장 F : W → ℝ3에 대해 새로운 벡터장 curl F : W → ℝ3를 다음과 같이 정의하자. ⑵ 벡터 a, b ∈ ℝ3에 외적 a × b를 (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)라 하자. ⑶ 열린집합 W ⊆ ℝ3 위에서 정의된 연속인 벡터장 F : W → ℝ3이 보존장이라는 것은 부분적으로 C1인 유향곡선 C에 대한 선적분..
【해석학】 13강. 그린정리 13강. 그린정리(Green theorem) 추천글 : 【해석학】 해석학 목차 풀이가 궁금하시면 답변 바랍니다. 1. 그린정리 [본문] 2. 조화함수가 평균값 성질을 가짐을 증명 [본문] 1. 그린정리 [목차] ⑴ 선적분의 정의 ① D ⊆ ℝ2에 대해 함수 F : D → ℝ2를 하나의 벡터장이라고 한다. 매개곡선 c : [a, b] → ℝ2와 c로 방향이 주어지는 유향곡선 C = c([a, b])에 대해 벡터장 F : C → ℝ2가 유향곡선 C 위에서 벡터 선적분이 가능하다는 것은 실수 I가 있어 임의의 ε ＞ 0에 대해 [a, b]의 분할 ℙ가 있어 ℙ ⊆ {a = t0 ＜ ··· ＜ tn = b} , ti-1 ≤ τi ≤ ti일 때마다 라는 것이다. 라 쓴다. F(x, y) = (P(x, y), Q(..
【해석학】 11강. 선적분 11강. 선적분 추천글 : 【해석학】 해석학 목차 풀이가 궁금하시면 답변 바랍니다. 1. 매개화 [본문] 2. 선적분과 벡터적분 [본문] 3. 사인, 코사인 함수의 정의 [본문] 4. 일반 유계영역에서의 중적분과 푸비니 정리 [본문] 5. 가우스 함수가 확률밀도함수임을 증명 [본문] 1. 매개화 [목차] ⑴ 함수 c : [a, b] → ℝ2가 연속인 단사함수일 때 c를 곡선 C = c([a, b])의 매개화라고 한다. ⑵ c : [a, b] → ℝ2가 곡선 C의 매개화일 때 함수 f : C → ℝ가 선적분 을 갖는다는 것은 각 ε ＞ 0에 대해 [a, b]의 분할 ℙ가 있어 ℙ ⊆ {a = t0, ···, tn= b}, 일 때마다 이 성립하는 것이다. ⑶ 예제 : 가 존재한다고 하자. 이때 d : [c,..
【해석학】 9강. 적분 9강. 적분 추천글 : 【해석학】 해석학 목차 풀이가 궁금하시면 답변 바랍니다. 1. 리만 적분 [본문] 2. 푸비니 정리 [본문] 3. 유한 개의 불연속점만을 가지는 함수는 적분 가능함을 증명 [본문] 4. 미적분학 기본정리 [본문] 1. 리만 적분(Riemann integration) [목차] ⑴ 구간 [a, b]의 한 분할이란 유한집합 ｛a, b｝⊆ ℙ ⊆ [a, b]이다. ⑵ 직사각형 R = [a, b] × [c, d]의 분할이란 ℙ = ℙ1 × ℙ2로 여기서 ℙ1은 [a, b]의 분할, ℙ2는 [c, d]의 분할이다. ⑶ ℙ를 ℙ로 나누어 생기는 선분이나 직사각형의 모임으로 보기로 하자. 예를 들면, ℙ가 [0, 1]의 분할로 ℙ =｛0, 0.3, 0.7, 1｝이면 ℙ를 ｛[0, 0.3], [0..
【해석학】 8강. 라그랑주 승수법 8강. 라그랑주 승수법 (라그랑지 승수법) 추천글 : 【해석학】 해석학 목차 풀이가 궁금하시면 답변 바랍니다. 1. 극소값, 극대값, 안장점 [본문] 2. 다변수함수가 국부적으로 최대값을 가질 충분조건 [본문] 3. 라그랑주 승수법 [본문] 4. FW 알고리즘 [본문] 1. 극소값, 극대값, 안장점 [목차] ⑴ 극값의 존재성 : 영역 Ω ⊂ ℝn에서 정의된 미분가능함수 f : Ω → ℝ이 점 p ∈ Ω에서 극대값이나 극소값을 가지면 ∇f(p) = 0임 ⑵ (참고) 헤세 행렬(Hessian matrix) ⑶ (참고) 이차형식의 부호 정의 : 대칭행렬 A ∈ ℳn와 ℝn상의 모든 벡터 x ≠ 0에 대하여 ① 양정부호 행렬(positive definite matrix) : A의 모든 고유치가 0보다 큼 ② 양..

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