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【해석학】 7강. 미분과 편미분 7강. 미분과 편미분 추천글 : 【해석학】 해석학 목차 1. 일변수함수의 미분 [본문] 2. 다변수함수의 미분 [본문] 풀이가 궁금하시면 답변 바랍니다. 1. 일변수함수의 미분 [목차] ⑴ 일변수함수의 미분의 정의 ① f : (a, b) → ℝ와 c ∈ (a, b)에 대해 f가 c에서 미분가능하다는 것은 실수 ℓ이 있어 임의의 ε ＞ 0에 대해 δ ＞ 0이 있어 일 때마다 다음이 성립한다는 것 ② n계 도함수 f(n)이 존재하고 연속인 함수 f를 Cn 함수라고 함 ⑵ 평균값 정리 등 ① 롤의 정리(Rolle's theorem) : f : ℝ → ℝ가 폐구간 [a, b]에서 연속이고 개구간 (a, b)에서 미분가능하며 f(a) = f(b)일 때, f'(c) = 0이 되는 c ∈ (a, b)가 존재한다. ○..
【해석학】 6강. 고정점 정리 6강. 고정점 정리 추천글 : 【해석학】 해석학 목차 풀이가 궁금하시면 답변 바랍니다. 1. 열린집합 [본문] 2. 선분과 점이라는 것 [본문] 3. 고정점 [본문] 4. simplex 위에서의 연속함수가 고정점을 가지는 것을 증명 [본문] 5. Brouwer 고정점 정리 [본문] 1. 열린집합이라는 것 [목차] ⑴ U ⊆ ℝk가 열린집합이라는 것은 여집합 Uc가 닫힌집합이라는 것이다. ⑵ 예제 : C ⊆ ℝ2가 닫힌집합이다. 함수 f : C → C가 0＜L＜1이 있어 모든 u, v ∈ C에 대해 |f(u) - f(v)| ≤ L|u - v|를 만족한다고 하자. 이때 f는 유일한 고정점을 가짐을 보이시오. ⑶ 예제 : U ⊆ ℝk가 열린집합이라는 것은 각 u ∈ U에 대해 ε ＞ 0이 있어 v ∈ ℝk, ..
【해석학】 5강. 대수학의 기본정리 5강. 대수학의 기본정리 추천글 : 【해석학】 해석학 목차 풀이가 궁금하시면 답변 바랍니다. 1. 복소수 [본문] 2. 대수학의 기본정리 [본문] 1. 복소수 [목차] ⑴ 복소수란 z = (a, b) ∈ ℝ2를 말한다. 이때 z = a + ib로 쓰기도 하고, 또한 이 때 복소수의 집합을 ℂ로 쓰기로 하며 ℝ ⊆ ℂ인 것처럼 간주하기도 한다. 정확히는 ℂ = ℝ2이며 3 ∈ ℂ라는 것은 3 + i0 = (3, 0) ∈ ℂ라는 뜻이다. 또한 각 z = (a, b)에 대해 r ≥ 0과 θ ∈ ℝ가 있어 과 같이 z를 표현할 수 있다. ⑵ ω = (c, d)를 s ≥ 0, η ∈ ℝ에 대해 ω = (s cos η, s sin η)라 할 때 복소수의 곱을 과 같이 정의한다. ⑶ 예제 : zω가 잘 정의됨을 보이..
【해석학】 4강. 연속성 4강. 연속성(continuity) 추천글 : 【해석학】 해석학 목차 풀이가 궁금하시면 답변 바랍니다. 1. 수렴한다는 것 [본문] 2. 유계라는 것 [본문] 3. 중간값 정리 [본문] 1. 수렴한다는 것 [목차] ⑴ (a, b) ∈ ℝ2에 대해 |(a, b)|를 과 같이 정의하자. ⑵ vn, v ∈ ℝ2일 때 벡터열 (vn)이 v로 수렴한다는 것은 과 같다. ⑶ D ⊆ ℝ2와 함수 f : D → ℝ2가 있을 때 f가 v ∈ D에서 연속이라는 것은 (vn)이 v로 수렴하는 D에서의 벡터열일 때마다 (f(vn))이 f(v)로 수렴한다는 것이다. ⑷ 예제 : k ∈ ℕ, u ∈ ℝk에 대해서도 |u|를 정의할 수 있는가? u, v ∈ ℝk, c ∈ ℝ에 대해 u + v, cu를 정의하고 |cu| = |c||..
【해석학】 3강. 증가수열과 코시수열 3강. 증가수열과 코시수열 추천글 : 【해석학】 해석학 목차 풀이가 궁금하시면 답변 바랍니다. 1. 수렴의 수렴성과 기본 성질 [본문] 2. 코시수열 [본문] 1. 수열의 수렴성과 기본 성질 [목차] ⑴ 실수열 (an)n∈ℕ이 실수 a로 수렴한다는 것 ① N ∈ ℕ, 모든 n ＞ N에 대해 ② 모든 양수 ε에 대해 궁극에는 | an - a | ＜ ε인 N이 존재한다는 것 ⑵ 수열 (an)과 증가하는 자연수열 n1 ＜ n2 ＜ ···가 있을 때 새로운 수열 (ank)k∈ℕ를 (an)의 한 부분수열이라고 함 ⑶ 예제 : 다음을 증명하여라. ① 수열 (an)이 궁극에는 an = a이면 (an)은 a로 수렴한다. ② (an)이 a로 수렴하면 집합 ｛an｝은 유계이다. ③ (an)이 a로 수렴하고 (bn)이 b로..
【해석학】 2강. 집합의 크기 2강. 집합의 크기 추천글 : 【해석학】 해석학 목차 1. 자연수, 정수, 유리수의 정의 [본문] 2. 셀만하다는 것 [본문] 1. 자연수, 정수, 유리수의 정의 [목차] ⑴ 귀납성의 정의 : 집합 I ⊆ ℝ가 귀납적이라는 것은 다음을 의미 ① 요건 1. 1 ∈ I ② 요건 2. x ∈ I일 때마다 x + 1 ∈ I ⑵ 자연수, 정수, 유리수의 정의 ① 자연수의 집합 ℕ은 다음과 같이 정의 ℕ = ｛x ∈ ℝ | I가 귀납적일 때마다 x ∈ I임｝ ② 1 + 1을 2, 2 + 1을 3과 같이 씀 ③ 정수의 집합 ℤ는 다음과 같이 정의 ℤ = ℕ ∪｛0｝∪｛-n | n ∈ ℕ｝ ④ 유리수의 집합 ℚ는 다음과 같이 정의 ℚ =｛m / n | m ∈ ℤ, n ∈ ℕ｝ ⑶ 예제 : I ⊆ ℝ가 귀납적이면 ℕ ⊆..
【해석학】 1강. 실수의 공리와 함수 1강. 실수의 공리와 함수 추천글 : 【해석학】 해석학 목차 1. (ℝ, +, -, ⦁, ＜, 0, 1)이 실수계라는 것 [본문] 2. 함수 [본문] 1. (ℝ, +, -, ⦁, ＜, 0, 1)이 실수계라는 것 [목차] ⑴ 요건 1. +, ⦁은 ℝ 위에서의 연산 ⑵ 요건 2. ＜은 ℝ 위에서의 관계로 다음 공리 Ⅰ, Ⅱ, Ⅲ을 만족하는 것 ① (주석) a ⦁ b를 편의상 ab로 표시 ② 연산의 공리 Ⅰ : 모든 a, b, c ∈ ℝ에 대해 다음이 성립 a + b = b + a ab = ba (a + b) + c = a + (b + c) (ab)c = a(bc) a + 0 = a a1 = a a(b + c) = ab + ac ③ 역원의 존재 Ⅱ : 모든 a, b ∈ ℝ에 대해 a + c = 0, bd = ..
【수학】 로켓방정식 Q.콘스탄틴 치올콥스키(Constantine Tsiolkovsky)는 중력과 저항 등 외력이 작용하지 않을 때, 로켓의 운동을 기술하는 방정식을 발견하였다.이 방정식을 증명하여라. Solution.μ를 단위시간 당 추진시키는 연료의 양으로 정의하고 운동량 보존법칙을 적용한다. 그런데 m(t) = mi - μt이므로, 이 식을 대입한다.이때 로켓추진체의 분사속력이 굉장히 크다고 가정하면, 다음과 같이 근사할 수 있다.따라서 최종적으로 다음 식을 얻는다.만약 로켓추진체의 최종 속력을 높이고 싶으면, 분사속력을 높이거나 질량비를 늘려야 한다.2015.11.14

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