2016. 12. 14. Dynamics for 3-Dimensionally Rotating Object

(출처: Engineering Mechanics: DYNAMICS Fifth Edition in SI Units by Anthony Bedford and Wallace Fowler)

※    Bold symbols represent vectors and non-bold symbols represent scalar;

※    Below equation treats the secondary coordinate, which is rotating with the primary coordinate rotating; 

(01)    ω = Ω + ω_rel

(02)    α = dω/dt = dω_x/dt i + ω_x di/dt + dω_y/dt j + ω_y dj/dt + dω_z/dt k + ω_z dk/dt

(03)    di/dt = Ω × i    and    di/dt = Ω × i    and    di/dt = Ω × i

(04)    α = dω_x/dt i + dω_y/dt j + dω_z/dt k + Ω × ω

(05)    Σ M_O = dH_O/dt, H_O = r₁ × m₁ dr₁/dt + … + r_n × m_n dr_n/dt

(06)    H_O = r₁ × m₁(ω × r₁) + … + r_n × m_n (ω × r_n)

(07)    ω = ω_x i + ω_y i + ω_z k    and    r_j = x_j i + y_j j + z_j k

(08)    by Superposition Principle,

(04)    H_Ox = I_xxω_x－I_xyω_y－I_xzω_z

(04)    H_Oy =－I_yxω_x + I_yyω_y－I_yzω_z

(04)    H_Oz =－I_zxω_x－I_zyω_y + I_xzω_z

(09)    I_xx = m₁(y₁² + z₁²) + … + m_n(y_n² + z_n²)

(05)    I_yy = m₁(x₁² + z₁²) + … + m_n(x_n² + z_n²)

(05)    I_xx = m₁(x₁² + y₁²) + … + m_n(x_n² + y_n²)

(10)    I_xy = I_yx = m₁x₁y₁ + … + m_nx_ny_n

(06)    I_yz = I_zy = m₁y₁z₁ + … + m_ny_nz_n

(06)    I_xz = I_zx = m₁x₁z₁ + … + m_nx_nz_n

(11)    H_O = H_Ox i + H_Oy j + H_Oz k

(12)    dH_O/dt = dH_Ox/dt i + H_Ox di/dt + dH_Oy/dt j + H_Oy dj/dt + dH_Oz/dt k + H_Oz dk/dt

(13)   Moment exerting from O

(10)    Σ M_O = dH_Ox/dt i + dH_Oy/dt j + dH_Oz/dt k + Ω × H_O 

(14)    Σ M_Ox = I_xxdω_x/dt－I_xydω_y/dt－I_xzdω_z/dt

  －Ω_z(－I_yxω_x + I_yyω_y－I_yzω_z) 

   + Ω_y(－I_zxω_x－I_zyω_y + I_zzω_z)

(11)    Σ M_Oy =－I_yxdω_x/dt + I_yydω_y/dt－I_yzdω_z/dt

   + Ω_z(I_xxω_x－I_xyω_y－I_xzω_z) 

  －Ω_x(－I_zxω_x－I_zyω_y + I_zzω_z)

(11)    Σ M_Oz =－I_zxdω_x/dt－I_zydω_y/dt－I_zzdω_z/dt

  －Ω_y(I_xxω_x－I_xyω_y－I_xzω_z) 

   + Ω_x(－I_yxω_x－I_yyω_y－I_yzω_z)

(15)    Matrix

(12)    | Σ M_Ox |    =    |  + I_xx    －I_xy    －I_xz | | dω_x/dt |    +    | －0 _y    －Ω_z     + Ω_y | |  + I_xx    －I_xy    －I_xz | | ω_x |

(12)    | Σ M_Oy |    =    | －I_yx     + I_xy    －I_xz | | dω_y/dt |    +    |  + Ω_z    －0 _y    －Ω_x | | －I_yx     + I_yy   －I_yz | | ω_y |

(12)    | Σ M_Oz |    =    | －I_xx    －I_xy     + I_xz | | dω_z/dt |    +    | －Ω_y     + Ω_x    －0 _z | | －I_zx    －I_zy     + I_zz | | ω_z |

(16)    Inertia Matrix, | I |

(13)    |  + I_xx    －I_xy    －I_xz |

(13)    | －I_yx     + I_xy    －I_xz |

 (13)   | －I_xx    －I_xy     + I_xz |

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