【통신이론】 2026 국가공무원 5급(기술) 제3문

2026 국가공무원 5급(기술) 제3문^]

 

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a. 기하분포 

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Q. 이산 랜덤 변수 X는 성공 확률이 p인 베르누이(Bernoulli) 시행을 독립적으로 반복할 때, 첫 번째 성공이 일어날 때까지 걸리는 시행 횟수이다. 다음 물음에 답하시오.

 

Q1. X의 평균 E[X]를 구하시오. 

  

A1.

P(X = x) = p · (1 - p)^x-1

E[X] = p · (1 + 2 · (1 - p) + 3 · (1 - p)² + ···)
E[X] = p × d/dx (x + x² + x³ + ···) |_x=1-p

E[X] = p × (x / (1-x))' |_x=1-p

E[X] = p / (1-x)²  |_x=1-p

E[X] = 1 / p (사실은 암기사항)

 

Q2. X의 엔트로피 H[X]를 구하시오.

  

A2.

H[X] = -∑_x P(X=x) log P(X=x) 

H[X] = -∑_x p(1 - p)^x-1 · (log p + (x-1) log(1 - p))

H[X] = -(p log p) ∑_x (1 - p)^x-1 - (p log (1 - p)) ∑_x (1 - p)^x-1 (x-1)

H[X] = -log p - (1-p) log (1-p) / p

 

Q3. 임의의 자연수 j, k에 대하여 조건부 확률 P(X = k + j | X > k)를 구하시오.

  

A3.

(준식) = P(X = k + j | X > k)

(준식) = P(X = j | X > 0) (∵ 이미 k번 실패했을 때 그 이후에 몇 번 안에 성공할지는 사실 원점과 다를 이유가 없음)

(준식) = p · (1 - p)^j-1 

 

Q4. Q3의 결과를 이용하여 조건부 엔트로피 H[X | X > k]를 구한 후 H[X]와 비교하고, 랜덤 변수 X의 특성을 설명하시오.

  

A4.

H[X | X > k] = H[X] (∵ 확률밀도함수가 동일하므로)

이렇게 기하 분포를 따르는 랜덤 변수 X는 이미 실패한 횟수 k를 기억하지 못하므로 무기억성(memoryless)이라 한다.

 

입력: 2026.07.13 16:54