【기하학】 정다면체는 다섯 개밖에 없음을 증명

정다면체는 다섯 개밖에 없음을 증명

 

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a. 축구공과 오일러 법칙 

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Q.

정다면체(platonic solids)는 다음과 같이 5개밖에 없음을 증명하여라: 정사면체, 정육면체, 정팔면체, 정십이면체, 정이십면체. 

 

 

 

Solution.

정다면체는 모든 면이 정다각형으로 돼 있고, 각 꼭짓점에 모여있는 면의 수가 모두 동일하다.

V, E, F, p, q를 다음과 같이 정의하자.

 

V : 꼭짓점의 수 

E : 변의 수

F : 면의 수

p : 각 면의 변의 수 = 각 면의 꼭짓점의 수 ≥ 3

q : 한 꼭짓점에 모이는 면의 수 ≥ 3  

 

이제 다음과 같은 조건식을 찾을 수 있음을 확인하자.

 

조건식 1. 오일러의 정리 : V - E + F = 2

조건식 2. 각 변은 두 면에 공유됨 : E = pF / 2

조건식 3. 각 꼭짓점은 q개의 면에 의해 공유됨 : pF = qV 

 

오일러의 정리에 대입하면 다음을 얻을 수 있다.

 

 

p / q - p / 2 + 1 > 0으로부터 정수 순서쌍 해 (p, q) = (3, 3), (3, 4), (3, 5), (4, 3), (5, 3)으로 다섯 개만 존재한다. 

이 경우 각각 정사면체, 정팔면체, 정이십면체, 정육면체, 정십이면체와 대응된다.

 

입력: 2025.01.06 23:28