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【AlphaGeometry】 jgex_ag_231 기하 문제 풀이 [141-160]

초록E 2024. 8. 16. 16:15

jgex_ag_231 기하 문제 풀이 [141-160]

추천글 : 【AlphaGeometry】 jgex_ag_231 문제 재구성 및 풀이

141. examples/complete2/004/complete_004_6_GDD_FULL_81-109_86.gex

a b c = triangle a b c; d = midpoint d c a; e = midpoint e b c; f = midpoint f a b; g = angle_bisector g a b c, on_line g d f; h = on_line h b g, on_line h d e ? cong d g d h

삼각형 ABC가 주어져 있습니다. D는 선분 CA의 중점이고, E는 선분 BC의 중점, F는 선분 AB의 중점입니다. G는 ∠ABC의 이등분선 위에 있으며, 직선 DF 위에 있습니다. H는 직선 BG와 DE의 교점입니다. 선분 DG와 선분 DH의 길이가 같음을 증명하시오.

○ 풀이 : AlphaGeometry를 사용한 풀이

==========================
 * From theorem premises:
A B C D E F G H : Points
A,C,D are collinear [00]
DC = DA [01]
B,C,E are collinear [02]
EB = EC [03]
B,A,F are collinear [04]
FA = FB [05]
F,G,D are collinear [06]
∠GBA = ∠CBG [07]
B,H,G are collinear [08]
E,H,D are collinear [09]

 * Auxiliary Constructions:
: Points


 * Proof steps:
001. A,C,D are collinear [00] & DC = DA [01] ⇒  D is midpoint of AC [10]
002. B,A,F are collinear [04] & FA = FB [05] ⇒  F is midpoint of AB [11]
003. D is midpoint of AC [10] & F is midpoint of AB [11] ⇒  DF ∥ CB [12]
004. B,C,E are collinear [02] & EB = EC [03] ⇒  E is midpoint of CB [13]
005. D is midpoint of AC [10] & E is midpoint of CB [13] ⇒  DE ∥ AB [14]
006. F,D,G are collinear [06] & B,H,G are collinear [08] & E,H,D are collinear [09] & ∠CBG = ∠GBA [07] & BC ∥ DF [12] & AB ∥ DE [14] ⇒  ∠DGH = ∠GHD [15]
007. ∠DGH = ∠GHD [15] ⇒  DG = DH
==========================

142. examples/complete2/004/complete_011_7_Book_00EE_03_E037-26.gex

a b c d = isquare a b c d; e = on_line e b c; g = on_line g d c, on_line g a e; f = on_line f b d, on_line f a e; h = circle h g e c ? perp f c c h

정사각형 ABCD가 주어져 있습니다. E는 직선 BC 위에 있습니다. G는 직선 DC와 AE의 교점이고, F는 직선 BD와 AE의 교점입니다. H는 점 G, E, C를 지나는 원의 중심입니다. 선분 FC와 선분 CH가 서로 수직임을 증명하시오.

○ 풀이 : AlphaGeometry를 사용한 풀이

==========================
 * From theorem premises:
A B C D E F G H : Points
AB = BC [00]
AD ∥ BC [01]
AB ∥ CD [02]
B,E,C are collinear [03]
F,C,D are collinear [04]
E,F,A are collinear [05]
B,G,D are collinear [06]
E,G,A are collinear [07]
HE = HC [08]
HF = HE [09]

 * Auxiliary Constructions:
: Points


 * Proof steps:
001. HE = HC [08] & HF = HE [09] ⇒  H is the circumcenter of \Delta CEF [10]
002. E,C,B are collinear [03] & E,G,A are collinear [07] & BC ∥ AD [01] ⇒  ∠BEG = ∠DAG [11]
003. B,G,D are collinear [06] & E,G,A are collinear [07] ⇒  ∠BGE = ∠DGA [12]
004. ∠BEG = ∠DAG [11] & ∠BGE = ∠DGA [12] (Similar Triangles)⇒  EB:AD = EG:AG [13]
005. BC ∥ AD [01] & AB ∥ CD [02] ⇒  ∠ADC = ∠CBA [14]
006. CD ∥ AB [02] ⇒  ∠ACD = ∠CAB [15]
007. ∠ADC = ∠CBA [14] & ∠ACD = ∠CAB [15] (Similar Triangles)⇒  AD = CB [16]
008. EB:AD = EG:AG [13] & AD = CB [16] & BA = BC [00] ⇒  GE:GA = BE:BA [17]
009. GE:GA = BE:BA [17] & E,G,A are collinear [07] ⇒  ∠EBG = ∠GBA [18]
010. B,G,D are collinear [06] & ∠EBG = ∠GBA [18] & B,E,C are collinear [03] ⇒  ∠CBG = ∠GBA [19]
011. AB = BC [00] & ∠CBG = ∠GBA [19] (SAS)⇒  ∠BCG = ∠GAB [20]
012. E,B,C are collinear [03] & F,C,D are collinear [04] & E,F,A are collinear [05] & ∠BCG = ∠GAB [20] & E,G,A are collinear [07] & AB ∥ CD [02] ⇒  ∠GCE = ∠CFE [21]
013. H is the circumcenter of \Delta CEF [10] & ∠GCE = ∠CFE [21] ⇒  CH ⟂ CG
==========================

143. examples/complete2/004/complete_016_7_Book_00EE_06_E051-27.gex

a b = segment a b; c = midpoint c b a; d = on_circle d c a; e = angle_bisector e d c a, on_circle e c a; f = foot f e a b; g = intersection_ll g a d e f; h = intersection_ll h a d b e ? cong a g g e

○ 번역 : 추후 업데이트

○ 풀이 : AlphaGeometry를 사용한 풀이

==========================
 * From theorem premises:
A B C D E F G : Points
CB = CA [00]
A,B,C are collinear [01]
CD = CA [02]
CE = CA [03]
∠DCE = ∠ECA [04]
A,F,B are collinear [05]
EF ⟂ AB [06]
A,D,G are collinear [07]
F,E,G are collinear [08]

 * Auxiliary Constructions:
H : Points
H,B,E are collinear [09]

 * Proof steps:
001. CE = CA [03] & CB = CA [00] ⇒  C is the circumcenter of \Delta BEA [10]
002. CE = CA [03] & CB = CA [00] ⇒  CE = CB [11]
003. C is the circumcenter of \Delta BEA [10] & A,B,C are collinear [01] ⇒  BE ⟂ AE [12]
004. H,B,E are collinear [09] & A,F,B are collinear [05] & EF ⟂ AB [06] & BE ⟂ AE [12] ⇒  ∠(AE-HB) = ∠EFA [13]
005. CE = CB [11] ⇒  ∠CEB = ∠EBC [14]
006. H,B,E are collinear [09] & A,F,B are collinear [05] & ∠CEB = ∠EBC [14] & A,B,C are collinear [01] ⇒  ∠(HB-CE) = ∠(AF-HB) [15]
007. ∠(AE-HB) = ∠EFA [13] & ∠(HB-CE) = ∠(AF-HB) [15] ⇒  ∠AEC = ∠(FE-HB) [16]
008. CD = CA [02] & CB = CA [00] ⇒  CB = CD [17]
009. CB = CD [17] ⇒  ∠CBD = ∠BDC [18]
010. CB = CA [00] & CE = CA [03] & CD = CA [02] ⇒  A,E,B,D are concyclic [19]
011. A,E,B,D are concyclic [19] ⇒  ∠AED = ∠ABD [20]
012. A,E,B,D are concyclic [19] ⇒  ∠DAE = ∠DBE [21]
013. CD = CA [02] & CE = CA [03] ⇒  CE = CD [22]
014. CE = CA [03] & CE = CD [22] & ∠ECD = ∠ACE [04] (SAS)⇒  ∠AED = ∠ECD [23]
015. ∠CBD = ∠BDC [18] & A,B,C are collinear [01] & ∠AED = ∠ABD [20] & ∠AED = ∠ECD [23] ⇒  ∠ECD = ∠BDC [24]
016. ∠ECD = ∠BDC [24] ⇒  CE ∥ BD [25]
017. A,D,G are collinear [07] & F,E,G are collinear [08] & ∠AEC = ∠(FE-HB) [16] & H,B,E are collinear [09] & CE ∥ BD [25] & ∠DAE = ∠DBE [21] ⇒  ∠GAE = ∠AEG [26]
018. ∠GAE = ∠AEG [26] ⇒  GA = GE
==========================

144. examples/complete2/004/complete_001_6_GDD_FULL_61-80_73.gex

a b c = triangle a b c; d = circle d a b c; e = on_circle e d a; f = foot f e a c; g = foot g e a b; h = on_circle h d e, on_line h e g ? para g f h c

삼각형 ABC가 주어져 있습니다. D는 삼각형 ABC의 외심입니다. 점 E는 D를 중심으로 하고 A를 지나는 원 위에 있습니다. F는 E에서 AC로 내린 수선의 발이고, G는 E에서 AB로 내린 수선의 발입니다. 점 H는 D를 중심으로 하고 E를 지나는 원 위에 있으며, 직선 EG 위에 있습니다. 선분 GF와 선분 HC가 서로 평행임을 증명하시오.

○ 풀이 : AlphaGeometry를 사용한 풀이

==========================
 * From theorem premises:
A B C D E F G H : Points
DA = DB [00]
DB = DC [01]
DE = DA [02]
A,F,C are collinear [03]
EF ⟂ AC [04]
EG ⟂ AB [05]
A,B,G are collinear [06]
H,G,E are collinear [07]
DH = DE [08]

 * Auxiliary Constructions:
: Points


 * Proof steps:
001. DA = DB [00] & DE = DA [02] & DH = DE [08] & DB = DC [01] ⇒  A,B,H,C are concyclic [09]
002. DA = DB [00] & DE = DA [02] & DH = DE [08] & DB = DC [01] & A,B,H,C are concyclic [09] ⇒  B,E,A,H are concyclic [10]
003. B,E,A,H are concyclic [10] ⇒  ∠BAE = ∠BHE [11]
004. H,G,E are collinear [07] & ∠BAE = ∠BHE [11] ⇒  ∠ABH = ∠(AE-HG) [12]
005. A,F,C are collinear [03] & AC ⟂ EF [04] ⇒  AF ⟂ FE [13]
006. H,G,E are collinear [07] & EG ⟂ AB [05] ⇒  HG ⟂ AB [14]
007. AF ⟂ FE [13] & HG ⟂ AB [14] ⇒  ∠FAB = ∠(FE-HG) [15]
008. A,B,H,C are concyclic [09] ⇒  ∠BAC = ∠BHC [16]
009. H,G,E are collinear [07] & ∠FAB = ∠(FE-HG) [15] & A,F,C are collinear [03] & ∠BAC = ∠BHC [16] ⇒  ∠BHC = ∠(HG-FE) [17]
010. ∠ABH = ∠(AE-HG) [12] & ∠BHC = ∠(HG-FE) [17] ⇒  ∠BAE = ∠(CH-EF) [18]
011. A,B,G are collinear [06] & A,F,C are collinear [03] & EF ⟂ AC [04] & EG ⟂ AB [05] ⇒  ∠EGA = ∠EFA [19]
012. ∠EGA = ∠EFA [19] ⇒  A,F,G,E are concyclic [20]
013. A,F,G,E are concyclic [20] ⇒  ∠AGF = ∠AEF [21]
014. ∠BAE = ∠(CH-EF) [18] & ∠AGF = ∠AEF [21] & A,B,G are collinear [06] ⇒  ∠GFE = ∠(HC-FE) [22]
015. ∠GFE = ∠(HC-FE) [22] ⇒  FG ∥ HC
==========================

145. examples/complete2/004/complete_014_7_Book_00EE_07_E057-42.gex

a b c = triangle a b c; d = midpoint d a c; e = midpoint e b a; f = midpoint f c b; g = on_line g a b; h = on_pline h d f g, on_line h a b ? cong h a g e

삼각형 ABC가 주어져 있습니다. D는 선분 AC의 중점이고, E는 선분 BA의 중점, F는 선분 CB의 중점입니다. G는 직선 AB 위에 있습니다. H는 D를 지나고 FG와 평행한 직선 위에 있으며, 직선 AB 위에 있습니다. 선분 HA와 선분 GE의 길이가 같음을 증명하시오.

○ 풀이 : AlphaGeometry를 사용한 풀이

==========================
 * From theorem premises:
A B C D E F G H : Points
C,D,A are collinear [00]
DA = DC [01]
E,B,A are collinear [02]
EB = EA [03]
FC = FB [04]
C,F,B are collinear [05]
G,B,A are collinear [06]
H,B,A are collinear [07]
HD ∥ FG [08]

 * Auxiliary Constructions:
: Points


 * Proof steps:
001. CF = FB [04] ⇒  CD:CF = CD:CF [09]
002. A,B,H are collinear [07] & G,B,A are collinear [06] & E,B,A are collinear [02] & DH ∥ FG [08] ⇒  ∠DHA = ∠FGE [10]
003. E,B,A are collinear [02] & EB = EA [03] ⇒  E is midpoint of AB [11]
004. C,F,B are collinear [05] & FC = FB [04] ⇒  F is midpoint of CB [12]
005. E is midpoint of AB [11] & F is midpoint of CB [12] ⇒  EF ∥ AC [13]
006. C,D,A are collinear [00] & H,B,A are collinear [07] & G,B,A are collinear [06] & E,B,A are collinear [02] & AC ∥ EF [13] ⇒  ∠DAH = ∠FEG [14]
007. ∠DHA = ∠FGE [10] & ∠DAH = ∠FEG [14] (Similar Triangles)⇒  AD:AH = EF:EG [15]
008. C,D,A are collinear [00] & DA = DC [01] ⇒  D is midpoint of CA [16]
009. D is midpoint of CA [16] & F is midpoint of CB [12] ⇒  DF ∥ AB [17]
010. E,B,A are collinear [02] & AB ∥ DF [17] ⇒  ∠AED = ∠FDE [18]
011. C,D,A are collinear [00] & AC ∥ EF [13] ⇒  ∠ADE = ∠FED [19]
012. ∠AED = ∠FDE [18] & ∠ADE = ∠FED [19] (Similar Triangles)⇒  DA = EF [20]
013. AD:AH = EF:EG [15] & DA = DC [01] & DA = EF [20] ⇒  CD:HA = CD:GE [21]
014. CD:CF = CD:CF [09] & CD:HA = CD:GE [21] ⇒  HA = GE
==========================

146. examples/complete2/005/complete_005_Other_ndgs_03.gex

b a c = triangle b a c; d = foot d b a c; e = foot e c a b; f = midpoint f c b; g = foot g f d e ? cong g e g d

삼각형 BAC가 주어져 있습니다. D는 B에서 AC로 내린 수선의 발이고, E는 C에서 AB로 내린 수선의 발입니다. F는 선분 CB의 중점이고, G는 F에서 선분 DE로 내린 수선의 발입니다. 선분 GE와 선분 GD의 길이가 같음을 증명하시오.

○ 풀이 : AlphaGeometry를 사용한 풀이

==========================
 * From theorem premises:
A B C D E F G : Points
C,B,D are collinear [00]
AD ⟂ BC [01]
A,B,E are collinear [02]
CE ⟂ AB [03]
A,C,F are collinear [04]
FC = FA [05]
E,D,G are collinear [06]
FG ⟂ DE [07]

 * Auxiliary Constructions:
: Points


 * Proof steps:
001. E,D,G are collinear [06] & FG ⟂ DE [07] ⇒  ∠FGE = ∠DGF [08]
002. A,B,E are collinear [02] & AB ⟂ CE [03] ⇒  AE ⟂ EC [09]
003. A,C,F are collinear [04] & FC = FA [05] ⇒  F is midpoint of AC [10]
004. AE ⟂ EC [09] & F is midpoint of AC [10] ⇒  CF = EF [11]
005. C,B,D are collinear [00] & BC ⟂ AD [01] ⇒  CD ⟂ DA [12]
006. CD ⟂ DA [12] & F is midpoint of AC [10] ⇒  CF = DF [13]
007. CF = EF [11] & CF = DF [13] ⇒  FD = FE [14]
008. FD = FE [14] ⇒  ∠EDF = ∠FED [15]
009. E,D,G are collinear [06] & ∠FED = ∠EDF [15] ⇒  ∠FEG = ∠GDF [16]
010. ∠FGE = ∠DGF [08] & ∠FEG = ∠GDF [16] (Similar Triangles)⇒  GE = GD
==========================

147. examples/complete2/005/complete_000_rebuilt_example_9point.gex

a b c = triangle a b c; d = foot d a b c; e = midpoint e b a; f = midpoint f c b; g = midpoint g a c; o = circumcenter o e f g ? cyclic d g e f

삼각형 ABC가 주어져 있습니다. D는 A에서 BC로 내린 수선의 발입니다. E는 선분 BA의 중점이고, F는 선분 CB의 중점, G는 선분 AC의 중점입니다. O는 삼각형 EFG의 외심입니다. 점 D, G, E, F가 한 원 위에 있음을 증명하시오.

○ 풀이 : AlphaGeometry를 사용한 풀이

==========================
 * From theorem premises:
A B C D E F G : Points
B,C,D are collinear [00]
AD ⟂ BC [01]
A,B,E are collinear [02]
EB = EA [03]
F,B,C are collinear [04]
FC = FB [05]
A,G,C are collinear [06]
GA = GC [07]

 * Auxiliary Constructions:
: Points


 * Proof steps:
001. B,C,D are collinear [00] & AD ⟂ BC [01] ⇒  AD ⟂ DB [08]
002. A,B,E are collinear [02] & EB = EA [03] ⇒  E is midpoint of BA [09]
003. AD ⟂ DB [08] & E is midpoint of BA [09] ⇒  BE = DE [10]
004. BE = DE [10] ⇒  ∠EDB = ∠DBE [11]
005. A,G,C are collinear [06] & GA = GC [07] ⇒  G is midpoint of CA [12]
006. E is midpoint of BA [09] & G is midpoint of CA [12] ⇒  EG ∥ BC [13]
007. F,B,C are collinear [04] & FC = FB [05] ⇒  F is midpoint of BC [14]
008. F is midpoint of BC [14] & G is midpoint of CA [12] ⇒  FG ∥ BA [15]
009. F,B,C are collinear [04] & B,C,D are collinear [00] & ∠EDB = ∠DBE [11] & A,B,E are collinear [02] & BC ∥ EG [13] & AB ∥ FG [15] ⇒  ∠DEG = ∠DFG [16]
010. ∠DEG = ∠DFG [16] ⇒  F,G,E,D are concyclic
==========================

148. examples/complete2/005/complete_013_7_Book_00EE_11_E081-2.gex

a b = segment a b; d = on_circle d a b; c = on_circle c a b, on_circle c b d; e = foot e d b c; f = intersection_lc f e a d; g = on_line g d e, on_circle g e f ? cong f c g d

○ 번역 : 추후 업데이트

○ 풀이 : AlphaGeometry를 사용한 풀이

==========================
 * From theorem premises:
A B C D E F G : Points
AC = AB [00]
AD = AB [01]
BD = BC [02]
D,B,E are collinear [03]
CE ⟂ BD [04]
AC = AF [05]
F,C,E are collinear [06]
G,C,E are collinear [07]
EG = EF [08]

 * Auxiliary Constructions:
: Points


 * Proof steps:
001. AD = AB [01] & AC = AB [00] & AC = AF [05] ⇒  D,B,C,F are concyclic [09]
002. D,B,C,F are concyclic [09] ⇒  ∠BCD = ∠BFD [10]
003. D,B,C,F are concyclic [09] ⇒  ∠DBF = ∠DCF [11]
004. D,B,C,F are concyclic [09] ⇒  ∠DBC = ∠DFC [12]
005. BD = BC [02] ⇒  ∠CDB = ∠BCD [13]
006. F,C,E are collinear [06] & D,B,E are collinear [03] & G,C,E are collinear [07] & CE ⟂ BD [04] ⇒  ∠FEB = ∠BEG [14]
007. EG = EF [08] & ∠FEB = ∠BEG [14] (SAS)⇒  ∠EFB = ∠BGE [15]
008. G,C,E are collinear [07] & ∠BCD = ∠BFD [10] & ∠CDB = ∠BCD [13] & ∠DBF = ∠DCF [11] & F,C,E are collinear [06] & ∠EFB = ∠BGE [15] ⇒  ∠BGC = ∠BFD [16]
009. G,C,E are collinear [07] & ∠DBC = ∠DFC [12] & F,C,E are collinear [06] ⇒  ∠BCG = ∠BDF [17]
010. ∠BGC = ∠BFD [16] & ∠BCG = ∠BDF [17] (Similar Triangles)⇒  GB:FB = GC:FD [18]
011. G,C,E are collinear [07] & F,C,E are collinear [06] & EG = EF [08] ⇒  E is midpoint of FG [19]
012. D,B,E are collinear [03] & G,C,E are collinear [07] & F,C,E are collinear [06] & BD ⟂ CE [04] ⇒  BE ⟂ FG [20]
013. E is midpoint of FG [19] & BE ⟂ FG [20] ⇒  BF = BG [21]
014. GB:FB = GC:FD [18] & BF = BG [21] ⇒  GC = FD
==========================

149. examples/complete2/005/complete_002_6_GDD_FULL_41-60_58.gex

a b c = triangle a b c; d = circle d a b c; e = on_circle e d a; f = on_line f a b, on_line f c e; g = on_pline g f a e, on_line g b c ? eqangle f g f b c f c b

삼각형 가 주어져 있습니다. D는 삼각형 ABC의 외심입니다. E는 D를 중심으로 하고 A를 지나는 원 위에 있습니다. F는 직선 A와 CE의 교점입니다. G는 F를 지나고 AE와 평행한 직선 위에 있으며, 직선 BC 위에 있습니다. ∠GFB = ∠FCB임을 증명하시오.

○ 풀이 : AlphaGeometry를 사용한 풀이

==========================
 * From theorem premises:
A B C D E F G : Points
DB = DC [00]
DA = DB [01]
DE = DA [02]
B,F,A are collinear [03]
E,F,C are collinear [04]
GF ∥ AE [05]

 * Auxiliary Constructions:
: Points


 * Proof steps:
001. DB = DC [00] & DA = DB [01] & DE = DA [02] ⇒  B,E,C,A are concyclic [06]
002. B,E,C,A are concyclic [06] ⇒  ∠ECB = ∠EAB [07]
003. B,F,A are collinear [03] & E,F,C are collinear [04] & ∠EAB = ∠ECB [07] & AE ∥ FG [05] ⇒  ∠GFB = ∠FCB
==========================

150. examples/complete2/005/complete_016_7_Book_00EE_06_E051-26.gex

a b = segment a b; c = on_circle c a b; e = on_line e b c; d = lc_tangent d b a, lc_tangent d c a; f = on_tline f e a e, on_line f c d; g = on_line g e f, on_line g b d ? cong g e e f

○ 번역 : 추후 업데이트

○ 풀이 : AlphaGeometry를 사용한 풀이

==========================
 * From theorem premises:
A B C D E F G : Points
AC = AB [00]
C,B,D are collinear [01]
CE ⟂ AC [02]
BE ⟂ AB [03]
DF ⟂ AD [04]
C,E,F are collinear [05]
D,G,F are collinear [06]
E,B,G are collinear [07]

 * Auxiliary Constructions:
: Points


 * Proof steps:
001. F,D,G are collinear [06] & DF ⟂ AD [04] ⇒  ∠ADG = ∠FDA [08]
002. C,E,F are collinear [05] & CE ⟂ AC [02] & DF ⟂ AD [04] ⇒  ∠ADF = ∠ACF [09]
003. ∠ADF = ∠ACF [09] ⇒  C,F,D,A are concyclic [10]
004. C,F,D,A are concyclic [10] ⇒  ∠CDF = ∠CAF [11]
005. AC = AB [00] ⇒  ∠ABC = ∠BCA [12]
006. F,D,G are collinear [06] & E,B,G are collinear [07] & BE ⟂ AB [03] & DF ⟂ AD [04] ⇒  ∠ADG = ∠ABG [13]
007. ∠ADG = ∠ABG [13] ⇒  B,D,G,A are concyclic [14]
008. B,D,G,A are concyclic [14] ⇒  ∠BDG = ∠BAG [15]
009. F,D,G are collinear [06] & ∠CDF = ∠CAF [11] & C,B,D are collinear [01] & ∠ABC = ∠BCA [12] & ∠BDG = ∠BAG [15] ⇒  ∠AGD = ∠DFA [16]
010. ∠ADG = ∠FDA [08] & ∠AGD = ∠DFA [16] (Similar Triangles)⇒  DG = DF
==========================

151. examples/complete2/005/complete_001_6_GDD_FULL_61-80_61.gex

a b c = triangle a b c; e = midpoint e b a; d = circle d a b c; f = on_line f d e; g = on_line g b c, on_circle g f a ? simtri a d f a c g

삼각형 ABC가 주어져 있습니다. E는 선분 BA의 중점이고, D는 삼각형 ABC의 외심입니다. F는 직선 DE 위에 있습니다. G는 직선 BC 위에 있고, F를 중심으로 하고 A를 지나는 원 위에 있습니다. 삼각형 ADF와 삼각형 ACG가 닮음임을 증명하시오.

○ 풀이 : AlphaGeometry를 사용한 풀이

==========================
 * From theorem premises:
A B C D E F G : Points
D,A,B are collinear [00]
DB = DA [01]
EA = EB [02]
EB = EC [03]
E,D,F are collinear [04]
C,G,B are collinear [05]
FG = FA [06]

 * Auxiliary Constructions:
: Points


 * Proof steps:
001. EA = EB [02] & EB = EC [03] ⇒  E is the circumcenter of \Delta CAB [07]
002. D,A,B are collinear [00] & DB = DA [01] ⇒  D is midpoint of AB [08]
003. E is the circumcenter of \Delta CAB [07] & D is midpoint of AB [08] ⇒  ∠ACB = ∠AED [09]
004. C,G,B are collinear [05] & ∠AED = ∠ACB [09] ⇒  ∠AED = ∠ACG [10]
005. DB = DA [01] & EA = EB [02] ⇒  AB ⟂ DE [11]
006. F,E,D are collinear [04] & DE ⟂ AB [11] ⇒  FD ⟂ AB [12]
007. D is midpoint of AB [08] & FD ⟂ AB [12] ⇒  FA = FB [13]
008. FG = FA [06] & FA = FB [13] ⇒  F is the circumcenter of \Delta GAB [14]
009. F is the circumcenter of \Delta GAB [14] & D is midpoint of AB [08] ⇒  ∠AGB = ∠AFD [15]
010. C,G,B are collinear [05] & ∠AGB = ∠AFD [15] & E,D,F are collinear [04] ⇒  ∠AGC = ∠(FA-ED) [16]
011. ∠AED = ∠ACG [10] & ∠AGC = ∠(FA-ED) [16] ⇒  ∠EAF = ∠CAG [17]
012. C,G,B are collinear [05] & F,D,E are collinear [04] & ∠ACB = ∠AED [09] ⇒  ∠AEF = ∠ACG [18]
013. ∠EAF = ∠CAG [17] & ∠AEF = ∠ACG [18] (Similar Triangles)⇒  ΔAEF is similar to ΔACG
==========================

152. examples/complete2/005/complete_017_ex-gao_ex160_4_e03a_lratio.gex

c a b = iso_triangle c a b; e = midpoint e b c; f = on_line f a b, on_circle f e b; d x = trisegment d x c b; g = on_line g c f, on_line g a d ? cong c g g f

○ 번역 : 추후 업데이트

○ 풀이 : AlphaGeometry를 사용한 풀이

==========================
 * From theorem premises:
A B C D E G F H : Points
∠ABC = ∠BCA [00]
DC = DA [01]
A,C,D are collinear [02]
B,C,E are collinear [03]
DE = DC [04]
A,G,C are collinear [05]
A,F,C are collinear [06]
GF = GC [07]
FA = FG [08]
B,F,H are collinear [09]
A,H,E are collinear [10]

 * Auxiliary Constructions:
: Points


 * Proof steps:
001. DE = DC [04] & DC = DA [01] ⇒  D is the circumcenter of \Delta AEC [11]
002. D is the circumcenter of \Delta AEC [11] & A,C,D are collinear [02] ⇒  AE ⟂ EC [12]
003. B,C,E are collinear [03] & AE ⟂ EC [12] ⇒  ∠AEB = ∠CEA [13]
004. B,C,E are collinear [03] & ∠ABC = ∠BCA [00] ⇒  ∠ABE = ∠ECA [14]
005. ∠AEB = ∠CEA [13] & ∠ABE = ∠ECA [14] (Similar Triangles)⇒  EB = EC [15]
006. B,C,E are collinear [03] & EB = EC [15] ⇒  E is midpoint of CB [16]
007. A,G,C are collinear [05] & A,F,C are collinear [06] ⇒  A,G,F are collinear [17]
008. A,G,C are collinear [05] & A,F,C are collinear [06] & GF = GC [07] ⇒  G is midpoint of CF [18]
009. E is midpoint of CB [16] & G is midpoint of CF [18] ⇒  EG ∥ BF [19]
010. B,F,H are collinear [09] & EG ∥ BF [19] ⇒  GE ∥ FH [20]
011. GE ∥ FH [20] & A,G,F are collinear [17] & A,H,E are collinear [10] ⇒  FA:FG = HA:HE [21]
012. FA:FG = HA:HE [21] & FA = FG [08] ⇒  HA = HE
==========================

153. examples/complete2/005/complete_008_ex-gao_ex160_e122.gex

a b = segment a b; c = on_circle c a b; d = on_circle d a b; e = on_circle e a b, on_pline e d b c; f = on_circle f a b; g = on_circle g a b, on_pline g d c f ? para g b e f

선분 AB가 주어져 있습니다. 점 C, D, E, F, G는 모두 A를 중심으로 하고 B를 지나는 원 위에 있습니다. E는 D를 지나고 BC에 평행한 직선 위에 있고, G는 D를 지나고 CF에 평행한 직선 위에 있습니다. 선분 GB와 선분 EF가 서로 평행임을 증명하시오.

○ 풀이 : AlphaGeometry를 사용한 풀이

==========================
 * From theorem premises:
A B C D E F G : Points
AC = AB [00]
AD = AB [01]
AE = AB [02]
ED ∥ BC [03]
AF = AB [04]
AG = AB [05]
GD ∥ CF [06]

 * Auxiliary Constructions:
: Points


 * Proof steps:
001. AF = AB [04] & AG = AB [05] & AC = AB [00] & AE = AB [02] & AD = AB [01] ⇒  D,G,B,C are concyclic [07]
002. D,G,B,C are concyclic [07] ⇒  ∠DGB = ∠DCB [08]
003. AE = AB [02] & AF = AB [04] & AC = AB [00] & AD = AB [01] ⇒  D,C,E,F are concyclic [09]
004. D,C,E,F are concyclic [09] ⇒  ∠CDE = ∠CFE [10]
005. ∠DGB = ∠DCB [08] & DG ∥ CF [06] & ∠CDE = ∠CFE [10] & DE ∥ BC [03] ⇒  ∠(EF-GD) = ∠BGD [11]
006. ∠(EF-GD) = ∠BGD [11] ⇒  EF ∥ GB
==========================

154. examples/complete2/002/complete_007_7_Book_LLL_yL251-1.gex

a d b = triangle a d b; c = free c; e = on_line e a d; f = on_line f a b; g = on_line g a c; h = on_line h a d; i = on_line i a c, on_pline i h e g; j = on_line j a b, on_pline j i f g ? para e f h j

삼각형 ADB가 주어져 있습니다. 점 C는 임의의 점입니다. 점 E와 H는 직선 AD 위에 있으며, 점 F는 직선 AB 위에, 점 G는 직선 AC 위에 있습니다. 점 I는 직선 AC 위에 있고, H를 지나고 EG와 평행한 직선 위에 있습니다. 점 J는 직선 AB 위에 있고, I를 지나고 FG와 평행한 직선 위에 있습니다. 선분 EF와 선분 HJ가 서로 평행임을 증명하시오.

○ 풀이 : AlphaGeometry를 사용한 풀이

==========================
 * From theorem premises:
A B C D E F G H I J : Points
A,B,E are collinear [00]
C,A,F are collinear [01]
G,A,D are collinear [02]
A,H,B are collinear [03]
I,D,A are collinear [04]
IH ∥ EG [05]
JI ∥ FG [06]
J,C,A are collinear [07]

 * Auxiliary Constructions:
: Points


 * Proof steps:
001. J,C,A are collinear [07] & C,A,F are collinear [01] ⇒  A,J,F are collinear [08]
002. I,D,A are collinear [04] & G,A,D are collinear [02] ⇒  A,G,I are collinear [09]
003. IJ ∥ FG [06] & A,J,F are collinear [08] & A,G,I are collinear [09] ⇒  AF:JF = GA:GI [10]
004. A,B,E are collinear [00] & A,H,B are collinear [03] ⇒  A,E,H are collinear [11]
005. HI ∥ EG [05] & A,G,I are collinear [09] & A,E,H are collinear [11] ⇒  GA:GI = AE:HE [12]
006. AF:JF = GA:GI [10] & GA:GI = AE:HE [12] ⇒  AE:HE = AF:JF [13]
007. AE:HE = AF:JF [13] & A,E,H are collinear [11] & A,J,F are collinear [08] ⇒  EF ∥ HJ
==========================

155. examples/complete2/002/complete_017_ex-gao_ex160_4_e12.gex

a b c d = quadrangle a b c d; e = midpoint e c b; f = midpoint f d c; g = midpoint g a d; h = midpoint h b a; i = on_line i e g, on_line i f h ? midp i h f

사각형 ABCD가 주어져 있습니다. E는 선분 CB의 중점이고, F는 선분 DC의 중점입니다. G는 선분 AD의 중점이고, H는 선분 BA의 중점입니다. I는 직선 EG와 FH의 교점입니다. 점 I가 선분 HF의 중점임을 증명하시오.

○ 풀이 : AlphaGeometry를 사용한 풀이

==========================
 * From theorem premises:
A B C D E F G H I : Points
B,C,E are collinear [00]
EC = EB [01]
D,C,F are collinear [02]
FD = FC [03]
A,D,G are collinear [04]
GA = GD [05]
A,B,H are collinear [06]
HB = HA [07]
I,F,H are collinear [08]
I,G,E are collinear [09]

 * Auxiliary Constructions:
: Points


 * Proof steps:
001. B,C,E are collinear [00] & EC = EB [01] ⇒  E is midpoint of BC [10]
002. A,B,H are collinear [06] & HB = HA [07] ⇒  H is midpoint of BA [11]
003. E is midpoint of BC [10] & H is midpoint of BA [11] ⇒  EH ∥ CA [12]
004. D,C,F are collinear [02] & FD = FC [03] ⇒  F is midpoint of CD [13]
005. A,D,G are collinear [04] & GA = GD [05] ⇒  G is midpoint of DA [14]
006. F is midpoint of CD [13] & G is midpoint of DA [14] ⇒  FG ∥ CA [15]
007. EH ∥ AC [12] & FG ∥ AC [15] ⇒  FG ∥ HE [16]
008. FG ∥ HE [16] & I,F,H are collinear [08] & I,G,E are collinear [09] ⇒  FG:HE = IF:IH [17]
009. E is midpoint of BC [10] & F is midpoint of CD [13] ⇒  EF ∥ BD [18]
010. G is midpoint of DA [14] & H is midpoint of BA [11] ⇒  GH ∥ DB [19]
011. EH ∥ FG [16] & EF ∥ BD [18] & GH ∥ BD [19] ⇒  ∠HEF = ∠FGH [20]
012. EF ∥ BD [18] & GH ∥ BD [19] ⇒  ∠HFE = ∠FHG [21]
013. ∠HEF = ∠FGH [20] & ∠HFE = ∠FHG [21] (Similar Triangles)⇒  HE = FG [22]
014. I,F,H are collinear [08] & FG:HE = IF:IH [17] & HE = FG [22] ⇒  I is midpoint of HF
==========================

156. examples/complete2/002/complete_013_7_Book_00EE_10_E073-18.gex

a b c = triangle a b c; d = parallelogram a b c d; e = on_line e b d; f = foot f e a b; g = foot g e b c; h = on_line h e f, on_line h c d; i = on_line i e g, on_line i a d ? para h i g f

삼각형 ABC와 평행사변형 ABCD가 주어져 있습니다. E는 직선 BD 위에 있습니다. F는 E에서 AB로 내린 수선의 발이고, G는 E에서 BC로 내린 수선의 발입니다. 점 H는 직선 EF와 CD의 교점이고, 점 I는 직선 EG와 AD의 교점입니다. 선분 HI와 선분 GF가 서로 평행임을 증명하시오.

○ 풀이 : AlphaGeometry를 사용한 풀이

==========================
 * From theorem premises:
A B C D E F G H I : Points
AD ∥ BC [00]
AB ∥ CD [01]
E,B,D are collinear [02]
F,B,A are collinear [03]
B,C,G are collinear [04]
H,C,D are collinear [05]
F,H,E are collinear [06]
I,A,D are collinear [07]
E,G,I are collinear [08]

 * Auxiliary Constructions:
: Points


 * Proof steps:
001. B,G,C are collinear [04] & I,A,D are collinear [07] & AD ∥ BC [00] ⇒  BG ∥ DI [09]
002. BG ∥ DI [09] & E,B,D are collinear [02] & E,G,I are collinear [08] ⇒  ED:BD = EI:GI [10]
003. H,C,D are collinear [05] & F,B,A are collinear [03] & AB ∥ CD [01] ⇒  HD ∥ FB [11]
004. HD ∥ FB [11] & F,H,E are collinear [06] & E,B,D are collinear [02] ⇒  HE:FH = ED:BD [12]
005. ED:BD = EI:GI [10] & HE:FH = ED:BD [12] ⇒  HE:FH = EI:GI [13]
006. HE:FH = EI:GI [13] & F,H,E are collinear [06] & E,G,I are collinear [08] ⇒  HI ∥ FG
==========================

157. examples/complete2/002/complete_011_7_Book_00EE_03_E043-3.gex

a b = segment a b; c = on_circle c a b; f = on_circle f a b; e = on_line e b c, on_dia e f a; g = intersection_lc g e a f; d = lc_tangent d b a, lc_tangent d c a; h = on_line h c d, on_line h e f; i = on_line i e f, on_line i b d ? cong c h b i

○ 번역 : 추후 업데이트

○ 풀이 : AlphaGeometry를 사용한 풀이

==========================
 * From theorem premises:
A B C D E G H I : Points
AC = AB [00]
DE ⟂ AE [01]
E,B,C are collinear [02]
BG ⟂ AB [03]
CG ⟂ AC [04]
G,C,H are collinear [05]
D,E,H are collinear [06]
G,B,I are collinear [07]
D,E,I are collinear [08]

 * Auxiliary Constructions:
: Points


 * Proof steps:
001. BG ⟂ AB [03] & CG ⟂ AC [04] ⇒  ∠GBA = ∠GCA [09]
002. G,C,H are collinear [05] & G,B,I are collinear [07] & ∠GCA = ∠GBA [09] ⇒  ∠HCA = ∠IBA [10]
003. D,E,I are collinear [08] & G,B,I are collinear [07] & BG ⟂ AB [03] & DE ⟂ AE [01] ⇒  ∠IEA = ∠IBA [11]
004. ∠IEA = ∠IBA [11] ⇒  E,B,I,A are concyclic [12]
005. E,B,I,A are concyclic [12] ⇒  ∠EBA = ∠EIA [13]
006. D,E,H are collinear [06] & G,C,H are collinear [05] & CG ⟂ AC [04] & DE ⟂ AE [01] ⇒  ∠HEA = ∠HCA [14]
007. ∠HEA = ∠HCA [14] ⇒  E,C,H,A are concyclic [15]
008. E,C,H,A are concyclic [15] ⇒  ∠ECA = ∠EHA [16]
009. ∠EBA = ∠EIA [13] & E,B,C are collinear [02] & D,E,I are collinear [08] & ∠ECA = ∠EHA [16] & D,E,H are collinear [06] ⇒  ∠CAH = ∠BAI [17]
010. ∠HCA = ∠IBA [10] & ∠CAH = ∠BAI [17] (Similar Triangles)⇒  CA:BA = CH:BI [18]
011. CA:BA = CH:BI [18] & AC = AB [00] ⇒  CH = BI
==========================

158. examples/complete2/002/complete_012_7_Book_00EE_02_E028-2-1.gex

a b c = triangle a b c; e d = square a c e d; f g = square c b f g; h = midpoint h a e; i = midpoint i b g; j = midpoint j a b ? perp h j j i

삼각형 ABC가 주어져 있습니다. ACED는 AC를 한 변으로 하는 정사각형이고, CBFG는 CB를 한 변으로 하는 정사각형입니다. H는 선분 AE의 중점이고, I는 선분 BG의 중점입니다. J는 선분 AB의 중점입니다. 선분 HJ와 선분 JI가 서로 수직임을 증명하시오.

○ 풀이 : AlphaGeometry를 사용한 풀이

==========================
 * From theorem premises:
A B C D F G H I J : Points
AC = CD [00]
AC ⟂ CD [01]
CB = BF [02]
BC ⟂ BF [03]
CG ∥ BF [04]
CB ∥ FG [05]
D,H,A are collinear [06]
HA = HD [07]
G,I,B are collinear [08]
IB = IG [09]
J,A,B are collinear [10]
JA = JB [11]

 * Auxiliary Constructions:
E : Points
AE ∥ CD [12]
AC ∥ DE [13]

 * Proof steps:
001. BF ∥ CG [04] & BC ∥ FG [05] ⇒  ∠FBC = ∠CGF [14]
002. BC ∥ FG [05] ⇒  ∠FCB = ∠CFG [15]
003. ∠FBC = ∠CGF [14] & ∠FCB = ∠CFG [15] (Similar Triangles)⇒  FB = CG [16]
004. FB = CG [16] & CB = BF [02] ⇒  CB = CG [17]
005. AC ⟂ CD [01] & CD ∥ AE [12] & AC ∥ DE [13] ⇒  EA ⟂ DE [18]
006. EA ⟂ DE [18] & BC ⟂ BF [03] ⇒  ∠(AE-BC) = ∠(DE-BF) [19]
007. EA ⟂ DE [18] & BC ⟂ BF [03] ⇒  ∠AED = ∠FBC [20]
008. ∠(AE-BC) = ∠(DE-BF) [19] & AE ∥ CD [12] & AC ∥ DE [13] & BF ∥ CG [04] ⇒  ∠DCB = ∠ACG [21]
009. AC = CD [00] & CB = CG [17] & ∠DCB = ∠ACG [21] (SAS)⇒  ∠(BD-AG) = ∠BCG [22]
010. AC = CD [00] & CB = CG [17] & ∠DCB = ∠ACG [21] (SAS)⇒  ∠DCA = ∠(BD-AG) [23]
011. D,H,A are collinear [06] & HA = HD [07] ⇒  H is midpoint of AD [24]
012. J,A,B are collinear [10] & JA = JB [11] ⇒  J is midpoint of AB [25]
013. H is midpoint of AD [24] & J is midpoint of AB [25] ⇒  HJ ∥ DB [26]
014. G,I,B are collinear [08] & IB = IG [09] ⇒  I is midpoint of BG [27]
015. I is midpoint of BG [27] & J is midpoint of AB [25] ⇒  IJ ∥ GA [28]
016. ∠(BD-AG) = ∠BCG [22] & CG ∥ BF [04] & ∠AED = ∠FBC [20] & AE ∥ CD [12] & AC ∥ DE [13] & ∠DCA = ∠(BD-AG) [23] & BD ∥ HJ [26] & AG ∥ IJ [28] ⇒  HJ ⟂ JI
==========================

159. examples/complete2/002/complete_008_ex-gao_ex160_e124.gex

b a c = triangle b a c; e = on_circle e a b; d = on_circle d a b, on_circle d c b; h = on_tline h e a e, on_circle h c b; g = on_circle g c d, on_line g d e; f = on_circle f c b, on_line f b e; i = on_circle i c h, on_line i h e ? para g f h i

삼각형 BAC가 주어져 있습니다. E는 A를 중심으로 하고 B를 지나는 원 위에 있습니다. D는 A를 중심으로 하고 B를 지나는 원 위에 있고, C를 중심으로 하고 B를 지나는 원 위에 있습니다. H는 E를 지나고 AE와 수직인 직선 위에 있고, C를 중심으로 하고 B를 지나는 원 위에 있습니다. G는 C를 중심으로 하고 D를 지나는 원 위에 있고, 직선 DE 위에 있습니다. F는 C를 중심으로 하고 B를 지나는 원 위에 있고, 직선 BE 위에 있습니다. I는 C를 중심으로 하고 H를 지나는 원 위에 있고, 직선 HE 위에 있습니다. 선분 GF와 선분 HI가 서로 평행임을 증명하시오.

○ 풀이 : AlphaGeometry를 사용한 풀이

==========================
 * From theorem premises:
A B C D E F G H I : Points
BD = BA [00]
CE = CA [01]
BE = BA [02]
DF ⟂ BD [03]
CG = CE [04]
G,D,E are collinear [05]
CH = CA [06]
D,A,H are collinear [07]
I,D,F are collinear [08]

 * Auxiliary Constructions:
: Points


 * Proof steps:
001. CE = CA [01] & CH = CA [06] & CG = CE [04] ⇒  G,E,A,H are concyclic [09]
002. E,A,H,G are concyclic [09] ⇒  ∠EAH = ∠EGH [10]
003. BD = BA [00] & BE = BA [02] ⇒  B is the circumcenter of \Delta DAE [11]
004. I,D,F are collinear [08] & BD ⟂ DF [03] ⇒  BD ⟂ DI [12]
005. B is the circumcenter of \Delta DAE [11] & BD ⟂ DI [12] ⇒  ∠IDA = ∠DEA [13]
006. I,D,F are collinear [08] & ∠EAH = ∠EGH [10] & D,A,H are collinear [07] & G,D,E are collinear [05] & ∠IDA = ∠DEA [13] ⇒  ∠IDA = ∠(GH-DA) [14]
007. ∠IDA = ∠(GH-DA) [14] ⇒  ID ∥ GH [15]
008. I,D,F are collinear [08] & ID ∥ GH [15] ⇒  GH ∥ FI
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160. examples/complete2/000/complete_004_6_GDD_FULL_81-109_106.gex

q4 q1 q3 q0 q2 = pentagon q4 q1 q3 q0 q2; p0 = on_line p0 q4 q1, on_line p0 q0 q2; p4 = on_line p4 q4 q1, on_line p4 q3 q0; p3 = on_line p3 q3 q0, on_line p3 q4 q2; p2 = on_line p2 q1 q3, on_line p2 q4 q2; p1 = on_line p1 q1 q3, on_line p1 q0 q2; o0 = circle o0 q0 p0 p4; o1 = circle o1 p1 q1 p0; o4 = circle o4 p4 p3 q4; o3 = circle o3 p3 p2 q3; o2 = circle o2 p1 p2 q2; m0 = on_circle m0 o0 q0, on_circle m0 o1 q1; m4 = on_circle m4 o0 q0, on_circle m4 o4 q4; m3 = on_circle m3 o4 q4, on_circle m3 o3 q3; m2 = on_circle m2 o3 q3, on_circle m2 o2 q2; m1 = on_circle m1 o2 q2, on_circle m1 o1 q1 ? cyclic m4 m3 m2 m1

오각형 Q4Q1Q3Q0Q2가 주어져 있습니다. P0는 직선 Q4Q1과 Q0Q2의 교점에 있고, P4는 직선 Q4Q1과 Q3Q0의 교점에 있으며, P3은 직선 Q3Q0와 Q4Q2의 교점에 있습니다. P2는 직선 Q1Q3와 Q4Q2의 교점에 있으며, P1은 직선 Q1Q3와 Q0Q2의 교점에 있습니다. O0는 점 Q0, P0, P4를 지나는 원의 중심이고, O1은 점 P1, Q1, P0를 지나는 원의 중심이며, O4는 점 P4, P3, Q4를 지나는 원의 중심입니다. O3는 점 P3, P2, Q3를 지나는 원의 중심이고, O2는 점 P1, P2, Q2를 지나는 원의 중심입니다. M0는 O0를 중심으로 하고 Q0를 지나는 원 위에 있으며, O1을 중심으로 하고 Q1을 지나는 원 위에 있습니다. M4는 O0를 중심으로 하고 Q0를 지나는 원 위에 있으며, O4를 중심으로 하고 Q4를 지나는 위에 있습니다. M3는 O4를 중심으로 하고 Q4를 지나는 원 위에 있으며, O3를 중심으로 하고 Q3를 지나는 원 위에 있습니다. M2는 O3를 중심으로 하고 Q3를 지나는 원 위에 있으며, O2를 중심으로 하고 Q2를 지나는 원 위에 있습니다. M1은 O2를 중심으로 하고 Q2를 지나는 원 위에 있으며, O1을 중심으로 하고 Q1을 지나는 원 위에 있습니다. 점 M4, M3, M2, M1이 한 원 위에 있음을 증명하시오.

○ 풀이 : AlphaGeometry를 사용한 풀이

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 * From theorem premises:
A B C D E F G H I J K L M N O Q R S T : Points
A,F,B are collinear [00]
D,F,E are collinear [01]
G,D,C are collinear [02]
H,A,E are collinear [03]
H,D,C are collinear [04]
I,B,C are collinear [05]
I,A,E are collinear [06]
J,B,C are collinear [07]
KF = KG [08]
KD = KF [09]
LB = LF [10]
LJ = LB [11]
MH = MA [12]
MG = MH [13]
NI = NC [14]
NH = NI [15]
OI = OE [16]
OJ = OI [17]
MQ = MA [18]
KQ = KD [19]
MR = MA [20]
NR = NC [21]
OS = OE [22]
NS = NC [23]
LT = LB [24]
OT = OE [25]

 * Auxiliary Constructions:
P : Points
LP = LB [26]

 * Proof steps:
001. MH = MA [12] & MR = MA [20] & MQ = MA [18] ⇒  H,A,Q,R are concyclic [27]
002. H,A,R,Q are concyclic [27] ⇒  ∠HAQ = ∠HRQ [28]
003. LB = LF [10] & LT = LB [24] & LP = LB [26] & LJ = LB [11] ⇒  J,B,T,F are concyclic [29]
004. J,B,T,F are concyclic [29] ⇒  ∠JBF = ∠JTF [30]
005. OS = OE [22] & OT = OE [25] & OI = OE [16] ⇒  I,T,E,S are concyclic [31]
006. I,T,E,S are concyclic [31] & OJ = OI [17] & OI = OE [16] & OS = OE [22] ⇒  I,J,T,E are concyclic [32]
007. I,J,T,E are concyclic [32] ⇒  ∠IJT = ∠IET [33]
008. A,F,B are collinear [00] & ∠JBF = ∠JTF [30] & J,B,C are collinear [07] & ∠IJT = ∠IET [33] & I,B,C are collinear [05] & I,A,E are collinear [06] ⇒  ∠AET = ∠AFT [34]
009. ∠AET = ∠AFT [34] ⇒  T,A,F,E are concyclic [35]
010. KF = KG [08] & KD = KF [09] & KQ = KD [19] ⇒  G,D,F,Q are concyclic [36]
011. G,D,F,Q are concyclic [36] ⇒  ∠DFQ = ∠DGQ [37]
012. MH = MA [12] & MQ = MA [18] & MG = MH [13] ⇒  H,G,A,Q are concyclic [38]
013. H,G,A,Q are concyclic [38] ⇒  ∠HAQ = ∠HGQ [39]
014. D,F,E are collinear [01] & ∠DFQ = ∠DGQ [37] & G,D,C are collinear [02] & ∠HAQ = ∠HGQ [39] & H,A,E are collinear [03] & H,D,C are collinear [04] ⇒  ∠EAQ = ∠EFQ [40]
015. ∠EAQ = ∠EFQ [40] ⇒  A,F,E,Q are concyclic [41]
016. T,A,F,E are concyclic [35] & A,F,E,Q are concyclic [41] ⇒  A,E,Q,T are concyclic [42]
017. A,E,Q,T are concyclic [42] ⇒  ∠EAQ = ∠ETQ [43]
018. ∠HAQ = ∠HRQ [28] & H,A,E are collinear [03] & ∠EAQ = ∠ETQ [43] ⇒  ∠ETQ = ∠HRQ [44]
019. I,E,S,T are concyclic [31] ⇒  ∠IET = ∠IST [45]
020. NR = NC [21] & NS = NC [23] & NI = NC [14] & NH = NI [15] ⇒  H,I,R,S are concyclic [46]
021. H,I,R,S are concyclic [46] ⇒  ∠HIS = ∠HRS [47]
022. ∠IET = ∠IST [45] & I,A,E are collinear [06] & ∠HIS = ∠HRS [47] & H,A,E are collinear [03] ⇒  ∠SRH = ∠STE [48]
023. ∠ETQ = ∠HRQ [44] & ∠SRH = ∠STE [48] ⇒  ∠QTS = ∠QRS [49]
024. ∠QTS = ∠QRS [49] ⇒  T,R,S,Q are concyclic
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입력: 2024.08.07 13:24

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