【AlphaGeometry】 jgex_ag_231 기하 문제 풀이 [101-120]

jgex_ag_231 기하 문제 풀이 [101-120]

 

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101. examples/complete2/011/complete_002_6_GDD_FULL_01-20_12.gex

a b c = triangle a b c; o = circle o a b c; d = on_tline d b a c, on_circle d o a; f = midpoint f b a; e = on_line e a c, on_line e b d ? perp f e c d

 

○ 번역 

 

삼각형 ABC가 주어져 있습니다. O는 삼각형 ABC의 외접원입니다. 점 D는 B를 지나고 AC에 수직인 직선 위에 있으며, O를 중심으로 하고 A를 지나는 원 위에 있습니다. F는 선분 BA의 중점입니다. 점 E는 직선 AC와 BD의 교점에 있습니다. 선분 FE와 선분 CD가 서로 수직임을 증명하시오.

 

○ 풀이 : AlphaGeometry를 사용한 풀이

 

==========================
 * From theorem premises:
A B C D E F G : Points
DB = DC [00]
DA = DB [01]
DE = DA [02]
BE ⟂ AC [03]
F,B,A are collinear [04]
FB = FA [05]
G,B,E are collinear [06]
C,A,G are collinear [07]

 * Auxiliary Constructions:
: Points


 * Proof steps:
001. DB = DC [00] & DA = DB [01] & DE = DA [02] ⇒  C,B,A,E are concyclic [08]
002. C,B,A,E are concyclic [08] ⇒  ∠BAC = ∠BEC [09]
003. C,A,G are collinear [07] & E,B,G are collinear [06] & AC ⟂ BE [03] ⇒  AG ⟂ GB [10]
004. F,B,A are collinear [04] & FB = FA [05] ⇒  F is midpoint of BA [11]
005. AG ⟂ GB [10] & F is midpoint of BA [11] ⇒  AF = GF [12]
006. AF = GF [12] ⇒  ∠FGA = ∠GAF [13]
007. E,B,G are collinear [06] & ∠BAC = ∠BEC [09] & ∠FGA = ∠GAF [13] & C,A,G are collinear [07] & F,B,A are collinear [04] ⇒  ∠(CA-FG) = ∠(GB-CE) [14]
008. E,B,G are collinear [06] & AC ⟂ BE [03] ⇒  CA ⟂ GB [15]
009. ∠(CA-FG) = ∠(GB-CE) [14] & CA ⟂ GB [15] ⇒  CE ⟂ FG
==========================

 

 

102. examples/complete2/011/complete_002_6_GDD_FULL_01-20_05.gex

a b c = triangle a b c; h = orthocenter h a b c; o = circumcenter o a b c; c1 = circumcenter c1 a b h; b1 = circumcenter b1 a h c; a1 = circumcenter a1 b h c ? perp a1 o b1 c1

 

○ 번역 

 

삼각형 ABC가 주어져 있습니다. H는 삼각형 ABC의 수심이고, O는 삼각형 ABC의 외심입니다. C1은 삼각형 ABH의 외심이고, B1은 삼각형 AHC의 외심입니다. A1은 삼각형 BHC의 외심입니다. 선분 A1O와 B1C1가 서로 수직임을 증명하시오.

 

○ 풀이 : AlphaGeometry를 사용한 풀이

 

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 * From theorem premises:
A B C D E F G H : Points
AD ⟂ BC [00]
EB = EC [01]
FB = FD [02]
FA = FB [03]
GA = GD [04]
HB = HD [05]
HD = HC [06]

 * Auxiliary Constructions:
: Points


 * Proof steps:
001. HB = HD [05] & HD = HC [06] ⇒  HC = HB [07]
002. EB = EC [01] & HC = HB [07] ⇒  BC ⟂ EH [08]
003. FB = FD [02] & FA = FB [03] ⇒  FA = FD [09]
004. FA = FD [09] & GA = GD [04] ⇒  AD ⟂ FG [10]
005. AD ⟂ BC [00] & BC ⟂ EH [08] & AD ⟂ FG [10] ⇒  HE ⟂ GF
==========================

 

 

103. examples/complete2/011/complete_003_6_GDD_FULL_21-40_34.gex

a b c = triangle a b c; h = orthocenter h a b c; o = circle o h b c; p = on_tline p h c h, on_circle p o b ? para a h b p

 

○ 번역 

 

삼각형 ABC가 주어져 있습니다. H는 삼각형 ABC의 수심입니다. O는 삼각형 HBC의 외심입니다. 점 P는 H를 지나고 CH에 수직인 선 위에 있으며, O를 중심으로 하고 B를 지나는 원 위에 있습니다. 선분 AH와 선분 BP가 서로 평행임을 증명하시오.

 

○ 풀이 : AlphaGeometry를 사용한 풀이

 

==========================
 * From theorem premises:
A B C D E F : Points
AD ⟂ BC [00]
ED = EB [01]
EB = EC [02]
EF = EB [03]
DF ⟂ CD [04]

 * Auxiliary Constructions:
: Points


 * Proof steps:
001. ED = EB [01] & EF = EB [03] & EB = EC [02] ⇒  C,D,B,F are concyclic [05]
002. C,D,B,F are concyclic [05] ⇒  ∠FDC = ∠FBC [06]
003. ∠FDC = ∠FBC [06] & DF ⟂ CD [04] ⇒  CB ⟂ FB [07]
004. AD ⟂ BC [00] & CB ⟂ FB [07] ⇒  DA ∥ FB
==========================

 

 

104. examples/complete2/011/complete_004_6_GDD_FULL_81-109_99.gex

a b c = triangle a b c; m = free m; n = on_aline n a c b a m; q = foot q m a b; p = foot p m a c ? perp a n p q

 

○ 번역 

 

삼각형 ABC가 주어져 있습니다. M은 자유롭게 선택된 점입니다. ∠NAC = ∠BAM을 만족하도록 점 N을 지정합니다. Q는 M에서 AB로 내린 수선의 발이고, P는 M에서 AC로 내린 수선의 발입니다. 선분 AN과 PQ가 서로 수직임을 증명하시오.

 

○ 풀이 : AlphaGeometry를 사용한 풀이

 

==========================
 * From theorem premises:
A B C D E F G : Points
∠BAE = ∠DAC [00]
A,B,F are collinear [01]
DF ⟂ AB [02]
C,A,G are collinear [03]
DG ⟂ AC [04]

 * Auxiliary Constructions:
: Points


 * Proof steps:
001. A,B,F are collinear [01] & C,A,G are collinear [03] & DG ⟂ AC [04] & DF ⟂ AB [02] ⇒  ∠AFD = ∠AGD [05]
002. ∠AFD = ∠AGD [05] ⇒  F,A,G,D are concyclic [06]
003. F,A,G,D are concyclic [06] ⇒  ∠FGA = ∠FDA [07]
004. ∠BAE = ∠DAC [00] & ∠FGA = ∠FDA [07] & C,A,G are collinear [03] ⇒  ∠DFG = ∠BAE [08]
005. ∠DFG = ∠BAE [08] & DF ⟂ AB [02] ⇒  AE ⟂ FG
==========================

 

 

105. examples/complete2/011/complete_003_6_GDD_FULL_21-40_35.gex

a b c = triangle a b c; d = foot d c a b; e = foot e b a c; o = circle o a b c; k = on_circle k o c, on_line k c d; h = on_line h c d, on_line h b e ? cong a k a h

 

○ 번역 

 

삼각형 ABC가 주어져 있습니다. D는 C에서 AB로 내린 수선의 발이고, E는 B에서 AC로 내린 수선의 발입니다. O는 삼각형 ABC의 외접원입니다. 점 K는 중심이 O이고 C를 지나는 원 위에 있으며, C를 중심으로 하고 D를 지나는 원 위에 있습니다. 점 H는 직선 CD와 BE의 교점에 있습니다. 선분 AK와 선분 AH의 길이가 같음을 증명하시오.

 

○ 풀이 : AlphaGeometry를 사용한 풀이

 

==========================
 * From theorem premises:
A B C D E F G H : Points
D,B,A are collinear [00]
CD ⟂ AB [01]
E,C,A are collinear [02]
BE ⟂ AC [03]
FA = FB [04]
FB = FC [05]
FG = FC [06]
D,C,G are collinear [07]
H,E,B are collinear [08]
D,C,H are collinear [09]

 * Auxiliary Constructions:
: Points


 * Proof steps:
001. FA = FB [04] & FB = FC [05] & FG = FC [06] ⇒  B,C,G,A are concyclic [10]
002. B,C,G,A are concyclic [10] ⇒  ∠BCG = ∠BAG [11]
003. B,C,G,A are concyclic [10] ⇒  ∠BGC = ∠BAC [12]
004. E,C,A are collinear [02] & D,B,A are collinear [00] & CD ⟂ AB [01] & BE ⟂ AC [03] ⇒  ∠CEB = ∠CDB [13]
005. ∠CEB = ∠CDB [13] ⇒  D,E,B,C are concyclic [14]
006. D,E,B,C are concyclic [14] ⇒  ∠BED = ∠BCD [15]
007. E,C,A are collinear [02] & H,E,B are collinear [08] & D,B,A are collinear [00] & D,C,H are collinear [09] & CD ⟂ AB [01] & BE ⟂ AC [03] ⇒  ∠AEH = ∠ADH [16]
008. ∠AEH = ∠ADH [16] ⇒  D,E,H,A are concyclic [17]
009. D,E,H,A are concyclic [17] ⇒  ∠DEH = ∠DAH [18]
010. D,B,A are collinear [00] & ∠BCG = ∠BAG [11] & D,C,G are collinear [07] & ∠BED = ∠BCD [15] & ∠DEH = ∠DAH [18] & H,E,B are collinear [08] ⇒  ∠HAD = ∠DAG [19]
011. D,C,H are collinear [09] & D,C,G are collinear [07] ⇒  D,H,G are collinear [20]
012. ∠HAD = ∠DAG [19] & D,H,G are collinear [20] ⇒  DH:DG = AH:AG [21]
013. D,B,A are collinear [00] & D,C,H are collinear [09] & D,C,G are collinear [07] & CD ⟂ AB [01] ⇒  ∠BDH = ∠GDB [22]
014. E,C,A are collinear [02] & H,E,B are collinear [08] & AC ⟂ BE [03] ⇒  EC ⟂ HE [23]
015. D,C,H are collinear [09] & D,B,A are collinear [00] & CD ⟂ AB [01] ⇒  DH ⟂ DB [24]
016. EC ⟂ HE [23] & DH ⟂ DB [24] ⇒  ∠(EC-DB) = ∠EHD [25]
017. H,E,B are collinear [08] & H,D,C are collinear [09] & D,C,G are collinear [07] & ∠BGC = ∠BAC [12] & ∠(EC-DB) = ∠EHD [25] & E,C,A are collinear [02] & D,B,A are collinear [00] ⇒  ∠BHD = ∠DGB [26]
018. ∠BDH = ∠GDB [22] & ∠BHD = ∠DGB [26] (Similar Triangles)⇒  DH = DG [27]
019. DH:DG = AH:AG [21] & DH = DG [27] ⇒  AH = AG
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106. examples/complete2/011/complete_003_6_GDD_FULL_21-40_31.gex

a b c = triangle a b c; c1 = midpoint c1 b a; b1 = midpoint b1 c a; o = circle o a b c; p = on_line p o c1, on_line p a c; q = on_line q o b1, on_line q a b ? cyclic q b c p

 

○ 번역 

 

삼각형 ABC가 주어져 있습니다. C1은 선분 BA의 중점이고, B1은 선분 CA의 중점입니다. O는 삼각형 ABC의 외심입니다. 점 P는 OC1​과 AC의 교점에 있고, 점 Q는 OB1과 AB의 교점에 있습니다. 점 Q, B, C, P가 한 원 위에 있음을 증명하시오.

 

○ 풀이 : AlphaGeometry를 사용한 풀이

 

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 * From theorem premises:
A B C D E F G H : Points
D,A,B are collinear [00]
DB = DA [01]
A,E,C are collinear [02]
EC = EA [03]
FA = FB [04]
FB = FC [05]
D,G,F are collinear [06]
G,A,C are collinear [07]
A,B,H are collinear [08]
E,F,H are collinear [09]

 * Auxiliary Constructions:
: Points


 * Proof steps:
001. FA = FB [04] & FB = FC [05] ⇒  F is the circumcenter of \Delta BAC [10]
002. A,E,C are collinear [02] & EC = EA [03] ⇒  E is midpoint of AC [11]
003. F is the circumcenter of \Delta BAC [10] & E is midpoint of AC [11] ⇒  ∠BCF = ∠(AB-EF) [12]
004. A,B,H are collinear [08] & E,F,H are collinear [09] & ∠BCF = ∠(AB-EF) [12] ⇒  ∠BCF = ∠BHF [13]
005. ∠BCF = ∠BHF [13] ⇒  C,F,B,H are concyclic [14]
006. D,A,B are collinear [00] & DB = DA [01] ⇒  D is midpoint of AB [15]
007. F is the circumcenter of \Delta BAC [10] & D is midpoint of AB [15] ⇒  ∠FBC = ∠(DF-AC) [16]
008. D,G,F are collinear [06] & G,C,A are collinear [07] & ∠FBC = ∠(DF-AC) [16] ⇒  ∠FBC = ∠FGC [17]
009. ∠FBC = ∠FGC [17] ⇒  F,G,C,B are concyclic [18]
010. C,F,B,H are concyclic [14] & F,G,C,B are concyclic [18] ⇒  H,B,C,G are concyclic
==========================

 

 

107. examples/complete2/011/complete_002_6_GDD_FULL_41-60_41.gex

a b c = triangle a b c; i = incenter i a b c; y = foot y i a c; l = foot l i b c; x = foot x b a i ? coll x y l

 

○ 번역 

 

삼각형 ABC가 주어져 있습니다. I는 삼각형 ABC의 내심입니다. Y는 I에서 AC로 내린 수선의 발이고, L은 I에서 BC로 내린 수선의 발입니다. X는 B에서 AI로 내린 수선의 발입니다. 점 X, Y, L이 한 직선 위에 있음을 증명하시오.

 

○ 풀이 : AlphaGeometry를 사용한 풀이

 

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 * From theorem premises:
A B C D E F G : Points
∠DAB = ∠CAD [00]
∠ACD = ∠DCB [01]
E,C,A are collinear [02]
DE ⟂ AC [03]
B,F,C are collinear [04]
DF ⟂ BC [05]
D,G,A are collinear [06]
BG ⟂ AD [07]

 * Auxiliary Constructions:
H : Points
B,H,A are collinear [08]
DH ⟂ AB [09]

 * Proof steps:
001. B,H,A are collinear [08] & B,F,C are collinear [04] & DF ⟂ BC [05] & DH ⟂ AB [09] ⇒  ∠DHB = ∠DFB [10]
002. ∠DHB = ∠DFB [10] ⇒  H,B,D,F are concyclic [11]
003. B,H,A are collinear [08] & D,G,A are collinear [06] & BG ⟂ AD [07] & DH ⟂ AB [09] ⇒  ∠DHB = ∠DGB [12]
004. ∠DHB = ∠DGB [12] ⇒  H,B,D,G are concyclic [13]
005. H,B,D,F are concyclic [11] & H,B,D,G are concyclic [13] ⇒  D,F,H,G are concyclic [14]
006. D,F,H,G are concyclic [14] ⇒  ∠DHF = ∠DGF [15]
007. D,F,H,G are concyclic [14] ⇒  ∠DFH = ∠DGH [16]
008. B,H,A are collinear [08] & A,C,E are collinear [02] & DE ⟂ AC [03] & DH ⟂ AB [09] ⇒  ∠DHA = ∠AED [17]
009. B,H,A are collinear [08] & E,C,A are collinear [02] & ∠DAB = ∠CAD [00] ⇒  ∠DAH = ∠EAD [18]
010. ∠DHA = ∠AED [17] & ∠DAH = ∠EAD [18] (Similar Triangles)⇒  DH = DE [19]
011. ∠DHA = ∠AED [17] & ∠DAH = ∠EAD [18] (Similar Triangles)⇒  ∠HDA = ∠ADE [20]
012. B,F,C are collinear [04] & A,C,E are collinear [02] & DE ⟂ AC [03] & DF ⟂ BC [05] ⇒  ∠DFC = ∠CED [21]
013. B,F,C are collinear [04] & E,A,C are collinear [02] & ∠DCB = ∠ACD [01] ⇒  ∠DCF = ∠ECD [22]
014. ∠DFC = ∠CED [21] & ∠DCF = ∠ECD [22] (Similar Triangles)⇒  DF = DE [23]
015. DH = DE [19] & DF = DE [23] ⇒  DF = DH [24]
016. DF = DH [24] ⇒  ∠DFH = ∠FHD [25]
017. D,G,A are collinear [06] & ∠ADE = ∠HDA [20] ⇒  ∠GDE = ∠HDG [26]
018. DH = DE [19] & ∠GDE = ∠HDG [26] (SAS)⇒  ∠EGD = ∠DGH [27]
019. D,G,A are collinear [06] & ∠DHF = ∠DGF [15] & ∠DFH = ∠FHD [25] & ∠DFH = ∠DGH [16] & ∠EGD = ∠DGH [27] ⇒  ∠EGD = ∠FGD [28]
020. ∠EGD = ∠FGD [28] ⇒  GE ∥ GF [29]
021. EG ∥ FG [29] ⇒  G,F,E are collinear
==========================

 

 

108. examples/complete2/011/complete_002_6_GDD_FULL_41-60_43.gex

c a b = r_triangle c a b; f e = square a b f e; p = on_line p b e, on_line p a f ? eqangle c a c p c p c b

 

○ 번역 

 

∠C가 직각인 직각삼각형 CAB가 주어져 있습니다. ABFE는 AB를 한 변으로 하는 정사각형입니다. 점 P는 직선 BE와 AF의 교점입니다. ∠ACP = ∠PCB임을 증명하시오.

 

○ 풀이 : AlphaGeometry를 사용한 풀이

 

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 * From theorem premises:
A B C D E F : Points
AB ⟂ AC [00]
BC = CD [01]
BC ⟂ CD [02]
BC ∥ DE [03]
BE ∥ CD [04]
D,F,B are collinear [05]
F,E,C are collinear [06]

 * Auxiliary Constructions:
: Points


 * Proof steps:
001. BC ∥ DE [03] & CD ∥ BE [04] ⇒  ∠EDC = ∠CBE [07]
002. CD ∥ BE [04] ⇒  ∠ECD = ∠CEB [08]
003. ∠EDC = ∠CBE [07] & ∠ECD = ∠CEB [08] (Similar Triangles)⇒  CD = EB [09]
004. ∠EDC = ∠CBE [07] & ∠ECD = ∠CEB [08] (Similar Triangles)⇒  ED = CB [10]
005. CD = EB [09] & BC = CD [01] ⇒  BC = BE [11]
006. ED = CB [10] & BC = CD [01] ⇒  DC = DE [12]
007. BC = BE [11] & DC = DE [12] ⇒  CE ⟂ BD [13]
008. D,F,B are collinear [05] & F,E,C are collinear [06] & AB ⟂ AC [00] & CE ⟂ BD [13] ⇒  ∠BFC = ∠BAC [14]
009. ∠BFC = ∠BAC [14] ⇒  C,B,F,A are concyclic [15]
010. C,B,F,A are concyclic [15] ⇒  ∠CBF = ∠CAF [16]
011. C,B,F,A are concyclic [15] ⇒  ∠CBA = ∠CFA [17]
012. BC ⟂ CD [02] & BC ∥ DE [03] & CD ∥ BE [04] ⇒  ∠EDC = ∠EBC [18]
013. ∠EDC = ∠EBC [18] ⇒  C,D,E,B are concyclic [19]
014. C,D,E,B are concyclic [19] ⇒  ∠CED = ∠CBD [20]
015. ∠CBF = ∠CAF [16] & D,F,B are collinear [05] & ∠CED = ∠CBD [20] & BC ∥ DE [03] & ∠CBA = ∠CFA [17] & F,E,C are collinear [06] ⇒  ∠BAF = ∠FAC
==========================

 

 

109. examples/complete2/011/complete_002_6_GDD_FULL_41-60_51.gex

a b c = triangle a b c; o = circle o a b c; d = on_tline d b a c, on_circle d o a; e = on_circle e o d, on_line e d o ? para b e a c

 

○ 번역 

 

삼각형 ABC가 주어져 있습니다. O는 삼각형 ABC의 외심입니다. 점 D는 B를 지나고 AC에 수직인 직선 위에 있으며, O를 중심으로 하고 A를 지나는 원 위에 있습니다. 점 E는 O를 중심으로 하고 D를 지나는 원 위에 있으며, 직선 DO 위에 있습니다. 선분 BE와 AC가 서로 평행임을 증명하시오.

 

○ 풀이 : AlphaGeometry를 사용한 풀이

 

==========================
 * From theorem premises:
A B C D E F : Points
DA = DB [00]
DE = DA [01]
BE ⟂ AC [02]
DF = DE [03]
F,E,D are collinear [04]

 * Auxiliary Constructions:
: Points


 * Proof steps:
001. DA = DB [00] & DE = DA [01] & DF = DE [03] ⇒  D is the circumcenter of \Delta FBE [05]
002. D is the circumcenter of \Delta FBE [05] & F,E,D are collinear [04] ⇒  BE ⟂ FB [06]
003. BE ⟂ FB [06] & BE ⟂ AC [02] ⇒  FB ∥ AC
==========================

 

 

110. examples/complete2/011/complete_002_6_GDD_FULL_41-60_44.gex

a b c = triangle a b c; o = circle o a b c; d = on_circle d o a; a1 = on_tline a1 a a b, on_line a1 c d; c1 = on_tline c1 c c d, on_line c1 a b ? para d b a1 c1

 

○ 번역 

 

삼각형 ABC가 주어져 있습니다. O는 삼각형 ABC의 외심입니다. 점 D는 O를 중심으로 하고 A를 지나는 원 위에 있습니다. A1은 A를 지나고 AB에 수직인 직선 위에 있으며, 직선 CD 위에 있습니다. C1은 C를 지나고 CD에 수직인 직선 위에 있으며, 직선 AB 위에 있습니다. 선분 DB와 선분 A1C1이 서로 평행임을 증명하시오.

 

○ 풀이 : AlphaGeometry를 사용한 풀이

 

==========================
 * From theorem premises:
A B C D E F G : Points
DA = DB [00]
DB = DC [01]
DE = DA [02]
F,E,C are collinear [03]
AF ⟂ AB [04]
B,A,G are collinear [05]
CG ⟂ CE [06]

 * Auxiliary Constructions:
: Points


 * Proof steps:
001. F,E,C are collinear [03] & B,A,G are collinear [05] & AF ⟂ AB [04] & CG ⟂ CE [06] ⇒  ∠FCG = ∠FAG [07]
002. ∠FCG = ∠FAG [07] ⇒  F,A,C,G are concyclic [08]
003. F,A,C,G are concyclic [08] ⇒  ∠FCA = ∠FGA [09]
004. DA = DB [00] & DE = DA [02] & DB = DC [01] ⇒  B,A,E,C are concyclic [10]
005. B,A,E,C are concyclic [10] ⇒  ∠BAC = ∠BEC [11]
006. F,C,E are collinear [03] & ∠FCA = ∠FGA [09] & B,A,G are collinear [05] & ∠BAC = ∠BEC [11] ⇒  ∠BEF = ∠GFE [12]
007. ∠BEF = ∠GFE [12] ⇒  BE ∥ FG
==========================

 

 

111. examples/complete2/010/complete_004_6_GDD_FULL_21-40_29.gex

a b c = triangle a b c; d = foot d a b c; q = foot q d a b; p = foot p d a c ? cyclic b q p c

 

○ 번역 

 

삼각형 ABC가 주어져 있습니다. D는 A에서 BC로 내린 수선의 발입니다. Q는 D에서 AB로 내린 수선의 발이고, P는 D에서 AC로 내린 수선의 발입니다. 점 B, Q, P, C가 한 원 위에 있음을 증명하시오.

 

○ 풀이 : AlphaGeometry를 사용한 풀이

 

==========================
 * From theorem premises:
A B C D E F : Points
AD ⟂ BC [00]
A,B,E are collinear [01]
DE ⟂ AB [02]
A,C,F are collinear [03]
DF ⟂ AC [04]

 * Auxiliary Constructions:
: Points


 * Proof steps:
001. AD ⟂ BC [00] & DE ⟂ AB [02] ⇒  ∠CBA = ∠ADE [05]
002. A,C,F are collinear [03] & A,B,E are collinear [01] & DE ⟂ AB [02] & DF ⟂ AC [04] ⇒  ∠DFA = ∠DEA [06]
003. ∠DFA = ∠DEA [06] ⇒  A,F,E,D are concyclic [07]
004. A,F,E,D are concyclic [07] ⇒  ∠AFE = ∠ADE [08]
005. C,A,F are collinear [03] & A,B,E are collinear [01] & ∠CBA = ∠ADE [05] & ∠AFE = ∠ADE [08] ⇒  ∠CFE = ∠CBE [09]
006. ∠CFE = ∠CBE [09] ⇒  C,B,F,E are concyclic
==========================

 

 

112. examples/complete2/010/complete_002_6_GDD_FULL_01-20_10.gex

a b c d = quadrangle a b c d; e = on_line e b c, on_line e a d; o1 = circle o1 c d e; o = circle o e b a; p = on_line p c d, on_line p a b; q = on_circle q o1 c, on_circle q o a ? cyclic p d q a

 

○ 번역 

 

사각형 ABCD가 주어져 있습니다. 점 E는 직선 BC와 AD의 교점에 있습니다. O1​은 삼각형 CDE의 원심이고, O는 삼각형 EBA의 외심입니다. 점 P는 직선 CD와 AB의 교점입니다. 점 Q는 O1을 중심으로 하고 C를 지나는 원 위에 있고, O를 중심으로 하고 A를 지나는 원 위에 있습니다. 점 P, D, Q, A가 한 원 위에 있음을 증명하시오.

 

○ 풀이 : AlphaGeometry를 사용한 풀이

 

==========================
 * From theorem premises:
A B C D E F G H I : Points
E,B,C are collinear [00]
FC = FD [01]
FD = FE [02]
GB = GA [03]
GE = GB [04]
D,C,H are collinear [05]
A,B,H are collinear [06]
GI = GA [07]
FI = FC [08]

 * Auxiliary Constructions:
: Points


 * Proof steps:
001. GB = GA [03] & GI = GA [07] & GE = GB [04] ⇒  A,E,B,I are concyclic [09]
002. A,E,B,I are concyclic [09] ⇒  ∠ABE = ∠AIE [10]
003. FC = FD [01] & FI = FC [08] & FD = FE [02] ⇒  E,D,C,I are concyclic [11]
004. E,D,C,I are concyclic [11] ⇒  ∠ECD = ∠EID [12]
005. D,C,H are collinear [05] & A,B,H are collinear [06] & ∠ABE = ∠AIE [10] & E,B,C are collinear [00] & ∠ECD = ∠EID [12] ⇒  ∠HDI = ∠HAI [13]
006. ∠HDI = ∠HAI [13] ⇒  A,D,I,H are concyclic
==========================

 

 

113. examples/complete2/010/complete_013_7_Book_00EE_10_E072-15.gex

b c a = triangle b c a; d = lc_tangent d c a, lc_tangent d b a; e = on_circle e a c, on_dia e a d ? eqangle b e b a b a b c

 

○ 번역 : 추후 업데이트 

○ 풀이 : AlphaGeometry를 사용한 풀이

 

==========================
 * From theorem premises:
A B C D E : Points
BD ⟂ BC [00]
AD ⟂ AC [01]
CE ⟂ DE [02]
CE = CB [03]

 * Auxiliary Constructions:
: Points


 * Proof steps:
001. BD ⟂ BC [00] & CE ⟂ DE [02] ⇒  ∠DEC = ∠DBC [04]
002. ∠DEC = ∠DBC [04] ⇒  C,B,D,E are concyclic [05]
003. AD ⟂ AC [01] & CE ⟂ DE [02] ⇒  ∠DEC = ∠DAC [06]
004. ∠DEC = ∠DAC [06] ⇒  C,A,D,E are concyclic [07]
005. C,B,D,E are concyclic [05] & C,A,D,E are concyclic [07] ⇒  B,E,C,A are concyclic [08]
006. B,E,C,A are concyclic [08] ⇒  ∠CEB = ∠CAB [09]
007. B,E,C,A are concyclic [08] ⇒  ∠EBC = ∠EAC [10]
008. CE = CB [03] ⇒  ∠CEB = ∠EBC [11]
009. ∠CEB = ∠CAB [09] & ∠CEB = ∠EBC [11] & ∠EBC = ∠EAC [10] ⇒  ∠EAC = ∠CAB
==========================

 

 

114. examples/complete2/010/complete_011_7_Book_00EE_04_E051-6.gex

a b c = triangle a b c; d = eq_triangle d c a; e = eq_triangle e b a ? cong d e c b

 

○ 번역 

 

삼각형 ABC가 주어져 있습니다. 삼각형 DCA와 삼각형 EBA는 정삼각형을 구성합니다. 선분 DE와 선분 CB의 길이가 같음을 증명하시오.

 

○ 풀이 : AlphaGeometry를 사용한 풀이

 

==========================
 * From theorem premises:
A B C D E : Points
CA = AD [00]
DC = CA [01]
BA = AE [02]
EB = BA [03]

 * Auxiliary Constructions:
: Points


 * Proof steps:
001. DC = CA [01] & CA = AD [00] & EB = BA [03] & BA = AE [02] ⇒  DA:DC = EA:EB [04]
002. CA = CD [01] & BA = BE [03] ⇒  CA:CD = BA:BE [05]
003. DA:DC = EA:EB [04] & CA:CD = BA:BE [05] (Similar Triangles)⇒  ∠DAE = ∠CAB [06]
004. CA = AD [00] & BA = AE [02] & ∠DAE = ∠CAB [06] (SAS)⇒  ED = BC
==========================

 

 

115. examples/complete2/010/complete_012_7_Book_00EE_05_E051-20.gex

a b = segment a b; d = midpoint d a b; c = on_tline c b a b; e = on_line e a c, on_circle e d b; f = lc_tangent f e d, on_line f b c ? cong f c f b

 

○ 번역 : 추후 업데이트 

○ 풀이 : AlphaGeometry를 사용한 풀이

 

==========================
 * From theorem premises:
A B C D E F : Points
CA = CB [00]
C,B,A are collinear [01]
BD ⟂ AB [02]
CE = CB [03]
D,A,E are collinear [04]
F,D,B are collinear [05]
EF ⟂ CE [06]

 * Auxiliary Constructions:
: Points


 * Proof steps:
001. CA = CB [00] & CE = CB [03] ⇒  C is the circumcenter of \Delta EAB [07]
002. C is the circumcenter of \Delta EAB [07] & EF ⟂ CE [06] ⇒  ∠FEA = ∠EBA [08]
003. C,B,A are collinear [01] & F,D,B are collinear [05] & AB ⟂ BD [02] ⇒  CB ⟂ BF [09]
004. C is the circumcenter of \Delta EAB [07] & CB ⟂ BF [09] ⇒  ∠FBE = ∠BAE [10]
005. F,D,B are collinear [05] & ∠FEA = ∠EBA [08] & D,A,E are collinear [04] & ∠FBE = ∠BAE [10] ⇒  ∠FBE = ∠BEF [11]
006. ∠FBE = ∠BEF [11] ⇒  FB = FE [12]
007. F,D,B are collinear [05] & C,B,A are collinear [01] & BD ⟂ AB [02] ⇒  FD ⟂ CB [13]
008. FD ⟂ CB [13] & EF ⟂ CE [06] ⇒  ∠DFE = ∠BCE [14]
009. CE = CB [03] ⇒  ∠CEB = ∠EBC [15]
010. D,A,E are collinear [04] & ∠CEB = ∠EBC [15] & C,B,A are collinear [01] & ∠FEA = ∠EBA [08] ⇒  ∠DEF = ∠BEC [16]
011. ∠BCE = ∠DFE [14] & ∠DEF = ∠BEC [16] (Similar Triangles)⇒  CB:CE = FD:FE [17]
012. FB = FE [12] & CB:CE = FD:FE [17] & CE = CB [03] ⇒  FD = FB
==========================

 

 

116. examples/complete2/010/complete_011_7_Book_00EE_03_E037-20.gex

a b = segment a b; c = midpoint c a b; d = on_circle d c a; e = lc_tangent e d c, angle_mirror e b a d ? perp a e e d

 

○ 번역 : 추후 업데이트 

○ 풀이 : AlphaGeometry를 사용한 풀이

 

==========================
 * From theorem premises:
A B C D E : Points
A,B,C are collinear [00]
CD = CA [01]
DE ⟂ CD [02]
∠DAB = ∠EAD [03]

 * Auxiliary Constructions:
: Points


 * Proof steps:
001. CD = CA [01] ⇒  ∠CDA = ∠DAC [04]
002. ∠DAB = ∠EAD [03] & ∠CDA = ∠DAC [04] & A,B,C are collinear [00] ⇒  ∠CDA = ∠EAD [05]
003. ∠CDA = ∠EAD [05] ⇒  DC ∥ AE [06]
004. DE ⟂ CD [02] & CD ∥ AE [06] ⇒  AE ⟂ ED
==========================

 

 

117. examples/complete2/010/complete_012_7_Book_00EE_11_E076-32.gex

c a b = r_triangle c a b; d = midpoint d b c; e = foot e c a d ? eqangle a b b c d e e b

 

○ 번역 

 

∠C가 직각인 직각삼각형 CAB가 주어져 있습니다. D는 선분 BC의 중점이고, E는 C에서AD에 내린 수선의 발입니다. ∠ABC = ∠DEB임을 증명하시오.

 

○ 풀이 : AlphaGeometry를 사용한 풀이

 

==========================
 * From theorem premises:
A B C D E : Points
AB ⟂ AC [00]
A,D,C are collinear [01]
DC = DA [02]
∠(AC-BD) = ∠(AC-BD) [03]
D,E,B are collinear [04]
AE ⟂ BD [05]

 * Auxiliary Constructions:
: Points


 * Proof steps:
001. A,D,C are collinear [01] & D,E,B are collinear [04] & AE ⟂ BD [05] & AB ⟂ AC [00] ⇒  ∠DAB = ∠AED [06]
002. A,D,C are collinear [01] & AB ⟂ AC [00] ⇒  AB ⟂ AD [07]
003. D,E,B are collinear [04] & AE ⟂ BD [05] ⇒  AE ⟂ DE [08]
004. AB ⟂ AD [07] & AE ⟂ DE [08] ⇒  ∠(AB-DE) = ∠DAE [09]
005. A,D,C are collinear [01] & ∠(AB-DE) = ∠DAE [09] & D,E,B are collinear [04] ⇒  ∠DBA = ∠EAD [10]
006. ∠DAB = ∠AED [06] & ∠DBA = ∠EAD [10] (Similar Triangles)⇒  AD:DB = DE:AD [11]
007. AD:DB = DE:AD [11] & DC = AD [02] ⇒  DC:DB = DE:DC [12]
008. A,D,C are collinear [01] & D,E,B are collinear [04] & ∠(AC-BD) = ∠(AC-BD) [03] ⇒  ∠CDB = ∠CDE [13]
009. DC:DB = DE:DC [12] & ∠CDB = ∠CDE [13] (Similar Triangles)⇒  ∠DCB = ∠CED [14]
010. D,E,B are collinear [04] & ∠DCB = ∠CED [14] & A,D,C are collinear [01] ⇒  ∠BCA = ∠DEC
==========================

 

 

118. examples/complete2/010/complete_000_3_JAR_JAR02-new_fig214.gex

a b c = triangle a b c; d = intersection_pp d a b c c a b; e = intersection_ll e a c b d ? cong a e e c

 

○ 번역 : 추후 업데이트 

○ 풀이 : AlphaGeometry를 사용한 풀이

 

==========================
 * From theorem premises:
A B C D E : Points
DA ∥ BC [00]
DC ∥ AB [01]
C,E,A are collinear [02]
B,E,D are collinear [03]

 * Auxiliary Constructions:
: Points


 * Proof steps:
001. AD ∥ BC [00] & C,E,A are collinear [02] & B,E,D are collinear [03] ⇒  AD:CB = EA:EC [04]
002. AD ∥ BC [00] & AB ∥ CD [01] ⇒  ∠DAB = ∠BCD [05]
003. AB ∥ CD [01] ⇒  ∠DBA = ∠BDC [06]
004. ∠DAB = ∠BCD [05] & ∠DBA = ∠BDC [06] (Similar Triangles)⇒  DA = BC [07]
005. AD:CB = EA:EC [04] & DA = BC [07] ⇒  EA = EC
==========================

 

 

119. examples/complete2/010/complete_003_6_GDD_FULL_more_E021-3.gex

a b = segment a b; c = on_circle c a b; e = intersection_lc e a a c; d = on_tline d c a c, on_tline d b a b ? para a d b e

 

○ 번역 : 추후 업데이트 

○ 풀이 : AlphaGeometry를 사용한 풀이

 

==========================
 * From theorem premises:
A B C D E : Points
AC = AB [00]
AC = AD [01]
A,C,D are collinear [02]
BE ⟂ AB [03]
CE ⟂ AC [04]

 * Auxiliary Constructions:
: Points


 * Proof steps:
001. AC = AD [01] & AC = AB [00] ⇒  A is the circumcenter of \Delta CDB [05]
002. A is the circumcenter of \Delta CDB [05] & BE ⟂ AB [03] ⇒  ∠EBD = ∠BCD [06]
003. BE ⟂ AB [03] & CE ⟂ AC [04] ⇒  ∠ACE = ∠ABE [07]
004. ∠ACE = ∠ABE [07] ⇒  A,E,C,B are concyclic [08]
005. A,E,C,B are concyclic [08] ⇒  ∠EAC = ∠EBC [09]
006. ∠EBD = ∠BCD [06] & A,C,D are collinear [02] & ∠EAC = ∠EBC [09] ⇒  ∠EAC = ∠(BD-AC) [10]
007. ∠EAC = ∠(BD-AC) [10] ⇒  AE ∥ BD
==========================

 

 

120. examples/complete2/010/complete_013_7_Book_00EE_10_E074-22.gex

a b = segment a b; c = on_circle c a b; d = on_line d a c; e = on_line e a b, on_circle e a d; f = on_line f b d, on_line f c e ? eqangle a b a f a f a c

 

○ 번역 

 

선분 AB가 주어져 있습니다. 점 C는 A를 중심으로 하고 B를 지나는 원 위에 있습니다. 점 D는 직선 AC 위에 있습니다. 점 E는 직선 AB 위에 있고, A를 중심으로 하고 D를 지나는 원 위에 있습니다. 점 F는 직선 BD와 CE의 교점입니다. ∠BAF = ∠FAC임을 증명하시오.

 

○ 풀이 : AlphaGeometry를 사용한 풀이

 

==========================
 * From theorem premises:
A B C D E F : Points
AC = AB [00]
A,D,C are collinear [01]
AD = AE [02]
A,B,E are collinear [03]
B,F,D are collinear [04]
F,E,C are collinear [05]

 * Auxiliary Constructions:
: Points


 * Proof steps:
001. AC = AB [00] & AD = AE [02] ⇒  AC:AB = AD:AE [06]
002. A,D,C are collinear [01] & A,B,E are collinear [03] ⇒  ∠CAB = ∠DAE [07]
003. AC:AB = AD:AE [06] & ∠CAB = ∠DAE [07] (Similar Triangles)⇒  CA:DA = CB:DE [08]
004. AC:AB = AD:AE [06] & ∠CAB = ∠DAE [07] (Similar Triangles)⇒  ∠ACB = ∠ADE [09]
005. ∠ACB = ∠ADE [09] & A,D,C are collinear [01] ⇒  BC ∥ DE [10]
006. BC ∥ DE [10] & B,F,D are collinear [04] & F,E,C are collinear [05] ⇒  BF:DF = BC:DE [11]
007. CA:DA = CB:DE [08] & AC = AB [00] & BF:DF = BC:DE [11] ⇒  FB:FD = AB:AD [12]
008. FB:FD = AB:AD [12] & B,F,D are collinear [04] ⇒  ∠BAF = ∠FAD [13]
009. ∠BAF = ∠FAD [13] & A,D,C are collinear [01] ⇒  ∠BAF = ∠FAC
==========================

 

입력: 2024.08.07 13:24