jgex_ag_231 기하 문제 풀이 [81-100]
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81. examples/complete2/001/complete_016_ex-gao_gao_C_C100.gex
a c = segment a c; b = on_tline b c c a; e = on_circle e b c; d = on_circle d a c, on_circle d b c; f = on_line f c e, on_circle f a c; g = on_line g e b, on_circle g b e ? coll d f g
○ 번역
선분 AC가 주어져 있습니다. 점 B는 점 C를 지나고 선분CA에 수직인 직선 위에 있습니다. 점 E는 점 B를 중심으로 하고 점 C를 지나는 원 위에 있습니다. 점 D는 점 A를 중심으로 하고 점 C를 지나는 원 위에 있으며, 점 B를 중심으로 하고 점 C를 지나는 원 위에 있습니다. 점 F는 직선 CE와 직선 AC의 교점입니다. 점 G는 직선 EB 위에 있으며, 점 B를 중심으로 하고 점 E를 지나는 원 위에 있습니다. 점 D, F, G가 한 직선 위에 있음을 증명하시오.
○ 풀이 : AlphaGeometry를 사용한 풀이
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* From theorem premises:
A B C D E F G : Points
BC ⟂ AB [00]
CD = CB [01]
AE = AB [02]
CE = CB [03]
AF = AB [04]
F,B,D are collinear [05]
CG = CD [06]
G,C,D are collinear [07]
* Auxiliary Constructions:
: Points
* Proof steps:
001. AE = AB [02] & AF = AB [04] ⇒ A is the circumcenter of \Delta BEF [08]
002. A is the circumcenter of \Delta BEF [08] & BC ⟂ AB [00] ⇒ ∠CBE = ∠BFE [09]
003. CD = CB [01] ⇒ ∠DBC = ∠CDB [10]
004. CE = CB [03] & CD = CB [01] & CG = CD [06] ⇒ E,B,D,G are concyclic [11]
005. E,B,D,G are concyclic [11] ⇒ ∠EBD = ∠EGD [12]
006. ∠CBE = ∠BFE [09] & F,B,D are collinear [05] & ∠DBC = ∠CDB [10] & ∠EBD = ∠EGD [12] & G,C,D are collinear [07] ⇒ ∠GEB = ∠FEB [13]
007. ∠GEB = ∠FEB [13] ⇒ EG ∥ EF [14]
008. EG ∥ EF [14] ⇒ E,F,G are collinear
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82. examples/complete2/001/complete_016_ex-gao_gao_L_L182-6.gex
a b c = triangle a b c; e = midpoint e b c; d = on_line d a b; f = midpoint f d c; g = midpoint g b a; h = midpoint h g f; i = on_line i a b, on_line i e h ? cong a i i d
○ 번역
삼각형 ABC가 주어져 있습니다. E는 선분 BC의 중점입니다. D는 직선 AB 위에 있습니다. F는 선분 DC의 중점이고, G는 선분 BA의 중점입니다. H는 선분 GF의 중점입니다. 점 I는 직선 AB와 EH의 교점입니다. 선분 AI와 선분 ID의 길이가 같음을 증명하시오.
○ 풀이 : AlphaGeometry를 사용한 풀이
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* From theorem premises:
A B C D E F G H I : Points
C,D,B are collinear [00]
DB = DC [01]
E,A,B are collinear [02]
E,C,F are collinear [03]
FE = FC [04]
G,A,B are collinear [05]
GB = GA [06]
G,F,H are collinear [07]
HG = HF [08]
I,D,H are collinear [09]
A,I,B are collinear [10]
* Auxiliary Constructions:
: Points
* Proof steps:
001. G,F,H are collinear [07] & HG = HF [08] ⇒ H is midpoint of GF [11]
002. C,D,B are collinear [00] & DB = DC [01] ⇒ D is midpoint of CB [12]
003. E,C,F are collinear [03] & FE = FC [04] ⇒ F is midpoint of CE [13]
004. D is midpoint of CB [12] & F is midpoint of CE [13] ⇒ DF ∥ BE [14]
005. A,I,B are collinear [10] & G,A,B are collinear [05] & DF ∥ BE [14] & E,A,B are collinear [02] ⇒ FD ∥ GI [15]
006. FD ∥ GI [15] & G,F,H are collinear [07] & I,D,H are collinear [09] ⇒ HF:HG = HD:HI [16]
007. I,D,H are collinear [09] & HF:HG = HD:HI [16] & HG = HF [08] ⇒ H is midpoint of ID [17]
008. H is midpoint of GF [11] & H is midpoint of ID [17] ⇒ GD ∥ FI [18]
009. G,A,B are collinear [05] & GB = GA [06] ⇒ G is midpoint of BA [19]
010. D is midpoint of CB [12] & G is midpoint of BA [19] ⇒ DG ∥ CA [20]
011. DG ∥ FI [18] & DG ∥ AC [20] ⇒ AC ∥ IF [21]
012. E,A,B are collinear [02] & A,I,B are collinear [10] ⇒ E,A,I are collinear [22]
013. AC ∥ IF [21] & E,A,I are collinear [22] & E,C,F are collinear [03] ⇒ FE:FC = IE:IA [23]
014. FE:FC = IE:IA [23] & FE = FC [04] ⇒ IE = IA
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83. examples/complete2/001/complete_016_ex-gao_gao_C_C111.gex
a d c = triangle a d c; b = on_pline b a d c; e = on_line e a d; f = on_line f a c, on_pline f e a b; g = on_line g b d, on_line g e f; h = on_line h b c, on_line h e f ? cong e f g h
○ 번역
삼각형 ADC가 주어져 있습니다. 점 B는 A를 지나고 DC에 평행한 직선 위에 있습니다. 점 E는 직선 AD 위에 있습니다. 점 F는 직선 AC 위에 있으며, E를 지나고 AB에 평행한 직선 위에 있습니다. 점 G는 직선 BD와 EF의 교점이고, 점 H는 직선 BC와 EF의 교점입니다. 선분 EF와 선분 GH의 길이가 같음을 증명하시오.
○ 풀이 : AlphaGeometry를 사용한 풀이
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* From theorem premises:
A B C D E F G H : Points
BC:AC = BC:AC [00]
DA ∥ BC [01]
B,A,E are collinear [02]
FE ∥ AD [03]
F,A,C are collinear [04]
F,G,E are collinear [05]
B,G,D are collinear [06]
F,H,E are collinear [07]
H,C,D are collinear [08]
* Auxiliary Constructions:
: Points
* Proof steps:
001. AD ∥ BC [01] & EF ∥ AD [03] ⇒ FE ∥ CB [09]
002. FE ∥ CB [09] & B,A,E are collinear [02] & F,A,C are collinear [04] ⇒ AE:BA = FE:BC [10]
003. F,G,E are collinear [05] & EF ∥ AD [03] ⇒ GE ∥ DA [11]
004. GE ∥ DA [11] & B,G,D are collinear [06] & B,A,E are collinear [02] ⇒ GD:BD = AE:BA [12]
005. F,H,E are collinear [07] & F,G,E are collinear [05] & AD ∥ BC [01] & EF ∥ AD [03] ⇒ GH ∥ BC [13]
006. GH ∥ BC [13] & B,G,D are collinear [06] & H,C,D are collinear [08] ⇒ GD:BD = GH:BC [14]
007. AE:BA = FE:BC [10] & GD:BD = AE:BA [12] & GD:BD = GH:BC [14] ⇒ GH:BC = FE:BC [15]
008. GH:BC = FE:BC [15] & BC:AC = BC:AC [00] ⇒ GH = FE
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84. examples/complete2/001/complete_016_ex-gao_gao_L_L025-5.gex
a b = segment a b; c = on_bline c a b; d = on_line d a c; e = on_circle e c d, on_line e b c; f = on_line f b d, on_line f a e ? eqangle a c c f f c c b
○ 번역
선분 AB가 주어져 있습니다. 점 C는 선분 AB의 수직이등분선 위에 있습니다. 점 D는 선분 AC 위에 있습니다. 점 E는 C를 중심으로 하고 D를 지나는 원 위에 있으며, 선분 BC 위에 있습니다. 점 F는 직선 BD와 AE의 교점입니다. ∠ACF = ∠FCB임을 증명하시오.
○ 풀이 : AlphaGeometry를 사용한 풀이
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* From theorem premises:
A B C D E F : Points
CA = CB [00]
C,A,D are collinear [01]
CE = CD [02]
C,E,B are collinear [03]
E,A,F are collinear [04]
D,F,B are collinear [05]
* Auxiliary Constructions:
: Points
* Proof steps:
001. CA = CB [00] & CE = CD [02] ⇒ CA:CB = CE:CD [06]
002. CA = CB [00] & CE = CD [02] ⇒ CA:CB = CD:CE [07]
003. C,A,D are collinear [01] & C,E,B are collinear [03] ⇒ ∠ACB = ∠DCE [08]
004. CA:CB = CE:CD [06] & ∠ACB = ∠DCE [08] (Similar Triangles)⇒ AC:EC = AB:ED [09]
005. CA:CB = CD:CE [07] & ∠ACB = ∠DCE [08] (Similar Triangles)⇒ ∠CAB = ∠CDE [10]
006. ∠CAB = ∠CDE [10] & C,A,D are collinear [01] ⇒ AB ∥ DE [11]
007. AB ∥ DE [11] & E,A,F are collinear [04] & D,F,B are collinear [05] ⇒ EF:AF = DE:AB [12]
008. AB ∥ DE [11] & E,A,F are collinear [04] & D,F,B are collinear [05] ⇒ EF:AF = DF:FB [13]
009. AC:EC = AB:ED [09] & CA = CB [00] & CE = CD [02] & EF:AF = DE:AB [12] & EF:AF = DF:FB [13] ⇒ FD:FB = CD:CB [14]
010. FD:FB = CD:CB [14] & D,F,B are collinear [05] ⇒ ∠DCF = ∠FCB [15]
011. ∠DCF = ∠FCB [15] & C,A,D are collinear [01] ⇒ ∠ACF = ∠FCB
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85. examples/complete2/001/complete_017_ex-gao_gao_L_L189-2.gex
a b = segment a b; c = on_bline c a b; e = midpoint e c a; f = midpoint f b c; d = on_pline d b a c, on_pline d a b c; g = midpoint g d b; h = midpoint h a d ? perp h e e f
○ 번역
선분 AB가 주어져 있습니다. 점 C는 선분 AB의 수직이등분선 위에 있습니다. E는 선분 CA의 중점이고, F는 선분 BC의 중점입니다. 점 D는 B를 지나고 AC에 평행한 직선 위에 있고, A를 지나고 BC에 평행한 직선 위에 있습니다. G는 선분 DB의 중점이고, H는 선분 AD의 중점입니다. 선분 HE와 선분 EF가 서로 수직임을 증명하시오.
○ 풀이 : AlphaGeometry를 사용한 풀이
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* From theorem premises:
A B C D E F H : Points
∠CAB = ∠ABC [00]
C,D,A are collinear [01]
DC = DA [02]
E,C,B are collinear [03]
EB = EC [04]
FB ∥ AC [05]
FA ∥ BC [06]
F,A,H are collinear [07]
HA = HF [08]
* Auxiliary Constructions:
: Points
* Proof steps:
001. ∠CAB = ∠ABC [00] & AC ∥ BF [05] ⇒ ∠FBA = ∠ABC [09]
002. ∠CBA = ∠BAC [00] & BC ∥ AF [06] ⇒ ∠FAB = ∠BAC [10]
003. ∠FBA = ∠ABC [09] & ∠FAB = ∠BAC [10] (Similar Triangles)⇒ BF = BC [11]
004. ∠FBA = ∠ABC [09] & ∠FAB = ∠BAC [10] (Similar Triangles)⇒ AF = AC [12]
005. BF = BC [11] & AF = AC [12] ⇒ CF ⟂ AB [13]
006. C,D,A are collinear [01] & DC = DA [02] ⇒ D is midpoint of CA [14]
007. F,A,H are collinear [07] & HA = HF [08] ⇒ H is midpoint of AF [15]
008. D is midpoint of CA [14] & H is midpoint of AF [15] ⇒ DH ∥ CF [16]
009. E,C,B are collinear [03] & EB = EC [04] ⇒ E is midpoint of CB [17]
010. D is midpoint of CA [14] & E is midpoint of CB [17] ⇒ DE ∥ AB [18]
011. CF ⟂ AB [13] & CF ∥ DH [16] & AB ∥ DE [18] ⇒ HD ⟂ DE
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86. examples/complete2/001/complete_016_ex-gao_gao_L_L182-5.gex
c d a = triangle c d a; b = on_pline b c d a, on_pline b a d c; e = on_line e c d; f = on_line f a b, on_pline f c a e; g = on_line g b e, on_line g c f; h = on_line h d f, on_line h a e ? cong g e f h
○ 번역
삼각형 CDA가 주어져 있습니다. 점 B는 C를 지나고 DA에 평행한 직선 위에 있으며, A를 지나고 DC에 평행한 직선 위에 있습니다. 점 E는 직선 CD 위에 있습니다. 점 F는 직선 AB 위에 있으며, C를 지나고 AE에 평행한 직선 위에 있습니다. 점 G는 직선 BE와 CF의 교점입니다. 점 H는 직선 DF와 AE의 교점입니다. 선분 GE와 선분 FH의 길이가 같음을 증명하시오.
○ 풀이 : AlphaGeometry를 사용한 풀이
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* From theorem premises:
A B C D E F G H : Points
DC ∥ BA [00]
DA ∥ BC [01]
B,A,E are collinear [02]
F,C,D are collinear [03]
FA ∥ CE [04]
F,G,A are collinear [05]
G,D,E are collinear [06]
C,E,H are collinear [07]
B,H,F are collinear [08]
* Auxiliary Constructions:
: Points
* Proof steps:
001. F,C,D are collinear [03] & C,E,H are collinear [07] & AB ∥ CD [00] & AF ∥ CE [04] ⇒ ∠BAF = ∠FCH [09]
002. F,H,B are collinear [08] & C,H,E are collinear [07] & AF ∥ CE [04] ⇒ ∠BFA = ∠FHC [10]
003. ∠BAF = ∠FCH [09] & ∠BFA = ∠FHC [10] (Similar Triangles)⇒ AB:AF = CF:CH [11]
004. BC ∥ AD [01] & CD ∥ AB [00] ⇒ ∠BCD = ∠DAB [12]
005. CD ∥ AB [00] ⇒ ∠BDC = ∠DBA [13]
006. ∠BCD = ∠DAB [12] & ∠BDC = ∠DBA [13] (Similar Triangles)⇒ DC = BA [14]
007. F,C,D are collinear [03] & B,A,E are collinear [02] & CD ∥ AB [00] & AF ∥ CE [04] ⇒ ∠CFA = ∠AEC [15]
008. AF ∥ CE [04] ⇒ ∠CAF = ∠ACE [16]
009. ∠CFA = ∠AEC [15] & ∠CAF = ∠ACE [16] (Similar Triangles)⇒ AF = CE [17]
010. ∠CFA = ∠AEC [15] & ∠CAF = ∠ACE [16] (Similar Triangles)⇒ CF = AE [18]
011. B,A,E are collinear [02] & F,G,A are collinear [05] & AB ∥ CD [00] & AF ∥ CE [04] ⇒ ∠EAG = ∠DCE [19]
012. G,D,E are collinear [06] & F,G,A are collinear [05] & AF ∥ CE [04] ⇒ ∠EGA = ∠DEC [20]
013. ∠EAG = ∠DCE [19] & ∠EGA = ∠DEC [20] (Similar Triangles)⇒ AE:AG = CD:CE [21]
014. AB:AF = CF:CH [11] & DC = BA [14] & AF = CE [17] & GA:AE = CE:CD [21] ⇒ AG:AE = CH:CF [22]
015. F,G,A are collinear [05] & B,A,E are collinear [02] & C,E,H are collinear [07] & F,C,D are collinear [03] & AF ∥ CE [04] & AB ∥ CD [00] ⇒ ∠GAE = ∠HCF [23]
016. AG:AE = CH:CF [22] & ∠GAE = ∠HCF [23] (Similar Triangles)⇒ EA:FC = EG:FH [24]
017. EA:FC = EG:FH [24] & CF = AE [18] ⇒ EG = FH
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87. examples/complete2/001/complete_017_ex-gao_gao_L_L189-1.gex
a b = segment a b; c = on_tline c b a b; d = on_tline d c b c, on_tline d a a b; e = midpoint e c d; f = midpoint f b c; g = midpoint g a b; h = midpoint h a d ? cong h g h e
○ 번역
선분 AB가 주어져 있습니다. 선분 CB는 선분 AB와 수직합니다. 선분 DC는 선분 BC와 수직하고, 선분 DA는 선분 AB와 수직합니다. E는 선분 CD의 중점이고, F는 선분 BC의 중점입니다. G는 선분 AB의 중점이고, H는 선분 AD의 중점입니다. 선분 HG와 선분 HE의 길이가 같음을 증명하시오.
○ 풀이 : AlphaGeometry를 사용한 풀이
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* From theorem premises:
A B C D E G H : Points
BC ⟂ AB [00]
AB ⟂ DA [01]
BC ⟂ DC [02]
D,C,E are collinear [03]
EC = ED [04]
A,G,B are collinear [05]
GA = GB [06]
H,A,D are collinear [07]
HA = HD [08]
* Auxiliary Constructions:
: Points
* Proof steps:
001. A,G,B are collinear [05] & GA = GB [06] ⇒ G is midpoint of BA [09]
002. H,A,D are collinear [07] & HA = HD [08] ⇒ H is midpoint of AD [10]
003. G is midpoint of BA [09] & H is midpoint of AD [10] ⇒ GH ∥ BD [11]
004. GH ∥ BD [11] & H,A,D are collinear [07] & A,G,B are collinear [05] ⇒ AD:AH = DB:HG [12]
005. BC ⟂ AB [00] & AB ⟂ DA [01] & BC ⟂ DC [02] ⇒ ∠ADC = ∠ABC [13]
006. ∠ADC = ∠ABC [13] ⇒ A,D,C,B are concyclic [14]
007. AB ⟂ DA [01] & BC ⟂ AB [00] & BC ⟂ DC [02] ⇒ ∠ADC = ∠DAB [15]
008. A,D,C,B are concyclic [14] & ∠ADC = ∠DAB [15] ⇒ AC = DB [16]
009. D,C,E are collinear [03] & EC = ED [04] ⇒ E is midpoint of CD [17]
010. E is midpoint of CD [17] & H is midpoint of AD [10] ⇒ EH ∥ CA [18]
011. EH ∥ AC [18] & H,A,D are collinear [07] & D,C,E are collinear [03] ⇒ HD:AD = HE:AC [19]
012. AD:AH = DB:HG [12] & HA = HD [08] & AC = DB [16] & HD:AD = HE:AC [19] ⇒ HE:DB = HG:DB [20]
013. DB = AC [16] ⇒ DB:AD = DB:AD [21]
014. HE:DB = HG:DB [20] & DB:AD = DB:AD [21] ⇒ HE = HG
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88. examples/complete2/001/complete_016_ex-gao_gao_C_C109.gex
b d a = triangle b d a; c = on_pline c d a b; e = on_line e b d, on_line e a c; f = on_line f a d, on_pline f e a b; g = on_line g b c, on_line g e f ? cong f e e g
○ 번역
삼각형 BDA가 주어져 있습니다. 점 C는 D를 지나고 AB에 평행한 직선 위에 있습니다. 점 E는 직선 BD와 AC의 교점입니다. 점 F는 직선 AD 위에 있으며, E를 지나고 AB에 평행한 직선 위에 있습니다. 점 G는 직선 BC와 EF의 교점입니다. 선분 FE와 선분 EG의 길이가 같음을 증명하시오.
○ 풀이 : AlphaGeometry를 사용한 풀이
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* From theorem premises:
A B C D E F G : Points
DB ∥ CA [00]
D,C,E are collinear [01]
A,B,E are collinear [02]
AC:CE = AC:CE [03]
FE ∥ CA [04]
B,C,F are collinear [05]
G,E,F are collinear [06]
A,D,G are collinear [07]
* Auxiliary Constructions:
: Points
* Proof steps:
001. G,E,F are collinear [06] & EF ∥ AC [04] ⇒ AC ∥ GE [08]
002. AC ∥ GE [08] & D,C,E are collinear [01] & A,D,G are collinear [07] ⇒ DE:DC = GE:AC [09]
003. BD ∥ AC [00] & D,C,E are collinear [01] & A,B,E are collinear [02] ⇒ DE:DC = BE:AB [10]
004. EF ∥ AC [04] & A,B,E are collinear [02] & B,C,F are collinear [05] ⇒ BE:AB = EF:AC [11]
005. DE:DC = GE:AC [09] & DE:DC = BE:AB [10] & BE:AB = EF:AC [11] ⇒ EF:AC = GE:AC [12]
006. EF:AC = GE:AC [12] & AC:CE = AC:CE [03] ⇒ EF = GE
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89. examples/complete2/001/complete_016_ex-gao_gao_L_LL153-1.gex
c a d = triangle c a d; e = foot e c a d; b = free b; f = foot f b a d; g = midpoint g c b; h = midpoint h e f ? cong g e g f
○ 번역
삼각형 CAD가 주어져 있습니다. E는 C에서 AD로 내린 수선의 발입니다. B는 자유롭게 선택된 점입니다. F는 B에서 AD로 내린 수선의 발입니다. G는 선분 CB의 중점이고, H는 선분 EF의 중점입니다. 선분 GE와 선분 GF의 길이가 같음을 증명하시오.
○ 풀이 : AlphaGeometry를 사용한 풀이
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* From theorem premises:
A B C D E F G : Points
C,B,D are collinear [00]
AD ⟂ BC [01]
C,B,F are collinear [02]
BC ⟂ FE [03]
E,G,A are collinear [04]
GA = GE [05]
* Auxiliary Constructions:
H : Points
H,D,F are collinear [06]
HD = HF [07]
* Proof steps:
001. H,F,D are collinear [06] & HD = HF [07] ⇒ H is midpoint of FD [08]
002. BC ⟂ FE [03] & AD ⟂ BC [01] ⇒ FE ∥ AD [09]
003. GA = GE [05] & HD = HF [07] ⇒ GA:GE = HD:HF [10]
004. EF ∥ AD [09] & E,G,A are collinear [04] & H,D,F are collinear [06] & GA:GE = HD:HF [10] ⇒ GH ∥ AD [11]
005. C,B,F are collinear [02] & C,B,D are collinear [00] & AD ⟂ BC [01] & AD ∥ GH [11] ⇒ GH ⟂ FD [12]
006. H is midpoint of FD [08] & GH ⟂ FD [12] ⇒ GF = GD
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90. examples/complete2/001/complete_010_Other_gao_Y_yL182-4.gex
c d = segment c d; e = midpoint e c d; a = free a; b = on_pline b c d a, on_pline b a d c; f = midpoint f a b; g = on_line g a c, on_line g b e; h = on_line h d f, on_line h a c ? cong a h h g
○ 번역
선분 CD가 주어져 있습니다. E는 선분 CD의 중점입니다. A는 자유롭게 선택된 점입니다. 점 B는 C를 지나고 DA에 평행한 직선 위에 있고, A를 지나고 DC에 평행한 직선 위에 있습니다. F는 선분 AB의 중점입니다. 점 G는 직선 AC와 BE의 교점입니다. 점 H는 직선 DF와 AC의 교점입니다. 선분 AH와 선분 HG의 길이가 같음을 증명하시오.
○ 풀이 : AlphaGeometry를 사용한 풀이
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* From theorem premises:
A B C D E F G H : Points
A,B,C are collinear [00]
CA = CB [01]
EA ∥ BD [02]
ED ∥ BA [03]
E,F,D are collinear [04]
FD = FE [05]
E,G,C are collinear [06]
EG:ED = EG:ED [07]
A,G,D are collinear [08]
F,B,H are collinear [09]
A,H,D are collinear [10]
* Auxiliary Constructions:
: Points
* Proof steps:
001. A,B,C are collinear [00] & CA = CB [01] ⇒ C is midpoint of AB [11]
002. E,F,D are collinear [04] & FD = FE [05] ⇒ F is midpoint of ED [12]
003. C is midpoint of AB [11] & F is midpoint of ED [12] ⇒ CA:AB = FE:ED [13]
004. AE ∥ BD [02] & AB ∥ DE [03] ⇒ ∠EAB = ∠BDE [14]
005. AB ∥ DE [03] ⇒ ∠EBA = ∠BED [15]
006. ∠EAB = ∠BDE [14] & ∠EBA = ∠BED [15] (Similar Triangles)⇒ BA = ED [16]
007. ∠EAB = ∠BDE [14] & ∠EBA = ∠BED [15] (Similar Triangles)⇒ EA = BD [17]
008. CA:AB = FE:ED [13] & CA = CB [01] & FD = EF [05] & ED = AB [16] ⇒ ED:FD = ED:AC [18]
009. EG:ED = EG:ED [07] & ED:FD = ED:AC [18] ⇒ FD = AC [19]
010. F,E,D are collinear [04] & A,B,C are collinear [00] & DE ∥ AB [03] & BD ∥ AE [02] ⇒ ∠FDB = ∠CAE [20]
011. FD = AC [19] & EA = BD [17] & ∠FDB = ∠CAE [20] (SAS)⇒ ∠DFB = ∠ACE [21]
012. F,B,H are collinear [09] & E,G,C are collinear [06] & ∠DFB = ∠ACE [21] & E,F,D are collinear [04] & A,B,C are collinear [00] & DE ∥ AB [03] ⇒ FH ∥ EG [22]
013. A,H,D are collinear [10] & A,G,D are collinear [08] ⇒ D,H,G are collinear [23]
014. FH ∥ EG [22] & E,F,D are collinear [04] & D,H,G are collinear [23] ⇒ FD:FE = HD:HG [24]
015. FD:FE = HD:HG [24] & FD = FE [05] ⇒ HD = HG
==========================
91. examples/complete2/006/complete_012_7_Book_00EE_02_E028-3.gex
c a b = risos c a b; d = midpoint d b a; e = on_line e b c; f = circle f d b e; g = on_line g a e, on_circle g f b ? perp c g a e
○ 번역
삼각형 CAB가 주어져 있으며, AB = AC이고, AB와 AC가 수직합니다. D는 선분 BA의 중점입니다. E는 직선 BC 위에 있습니다. F는 삼각형 DBE의 외심입니다. 점 G는 직선 AE 위에 있으며, F를 중심으로 하고 B를 지나는 원 위에 있습니다. 선분 CG와 AE가 서로 수직임을 증명하시오.
○ 풀이 : AlphaGeometry를 사용한 풀이
==========================
* From theorem premises:
A B C D E F G : Points
AB ⟂ AC [00]
AB = AC [01]
B,D,C are collinear [02]
DC = DB [03]
A,C,E are collinear [04]
FC = FE [05]
FD = FC [06]
B,G,E are collinear [07]
FG = FC [08]
* Auxiliary Constructions:
: Points
* Proof steps:
001. AB = AC [01] & DC = DB [03] ⇒ BC ⟂ AD [09]
002. B,D,C are collinear [02] & AB ⟂ AC [00] & BC ⟂ AD [09] ⇒ ∠ADB = ∠BAC [10]
003. FC = FE [05] & FG = FC [08] & FD = FC [06] ⇒ D,G,C,E are concyclic [11]
004. D,G,C,E are concyclic [11] ⇒ ∠DGE = ∠DCE [12]
005. B,D,C are collinear [02] & B,G,E are collinear [07] & ∠DGE = ∠DCE [12] & A,C,E are collinear [04] ⇒ ∠BDG = ∠(AC-BG) [13]
006. ∠ADB = ∠BAC [10] & ∠BDG = ∠(AC-BG) [13] ⇒ ∠ADG = ∠ABG [14]
007. B,G,E are collinear [07] & ∠ADG = ∠ABG [14] ⇒ ∠BGD = ∠BAD [15]
008. ∠BGD = ∠BAD [15] ⇒ B,D,A,G are concyclic [16]
009. B,D,A,G are concyclic [16] ⇒ ∠BDA = ∠BGA [17]
010. ∠BDA = ∠BGA [17] & B,D,C are collinear [02] & B,G,E are collinear [07] & BC ⟂ AD [09] ⇒ AG ⟂ BE
==========================
92. examples/complete2/006/complete_003_6_GDD_FULL_more_E022-11.gex
a b c = triangle a b c; d = circumcenter d a b c; f = foot f d a b; e = on_tline e c c d, on_tline e b b d; g = on_line g d f, on_line g a c ? para g e a b
○ 번역
삼각형 ABC가 주어져 있습니다. D는 삼각형 ABC의 외심입니다. F는 D에서 선분 AB로 내린 수선의 발입니다. 선분 EC는 CD와 수직이고, 선분 EB는 BD와 수직입니다. 점 G는 직선 DF와 AC의 교점입니다. 선분 GE와 AB가 서로 평행임을 증명하시오.
○ 풀이 : AlphaGeometry를 사용한 풀이
==========================
* From theorem premises:
A B C D E F G : Points
DA = DB [00]
DB = DC [01]
E,B,A are collinear [02]
DE ⟂ AB [03]
BF ⟂ BD [04]
CF ⟂ CD [05]
D,G,E are collinear [06]
C,G,A are collinear [07]
* Auxiliary Constructions:
: Points
* Proof steps:
001. BF ⟂ BD [04] & CF ⟂ CD [05] ⇒ ∠FCD = ∠FBD [08]
002. BF ⟂ BD [04] & CF ⟂ CD [05] ⇒ ∠FCD = ∠DBF [09]
003. ∠FCD = ∠FBD [08] ⇒ D,C,F,B are concyclic [10]
004. E,B,A are collinear [02] & D,G,E are collinear [06] & AB ⟂ DE [03] ⇒ EB ⟂ DG [11]
005. BF ⟂ BD [04] & EB ⟂ DG [11] ⇒ ∠BDG = ∠FBE [12]
006. DA = DB [00] & DB = DC [01] ⇒ D is the circumcenter of \Delta BAC [13]
007. D is the circumcenter of \Delta BAC [13] & BF ⟂ BD [04] ⇒ ∠FBA = ∠BCA [14]
008. C,G,A are collinear [07] & D,G,E are collinear [06] & ∠BDG = ∠FBE [12] & E,B,A are collinear [02] & ∠FBA = ∠BCA [14] ⇒ ∠BCG = ∠BDG [15]
009. ∠BCG = ∠BDG [15] ⇒ D,C,B,G are concyclic [16]
010. D,C,F,B are concyclic [10] & D,C,B,G are concyclic [16] ⇒ D,G,B,F are concyclic [17]
011. F,D,G,B are concyclic [17] ⇒ ∠FGD = ∠FBD [18]
012. D,G,B,C are concyclic [16] & D,G,B,F are concyclic [17] ⇒ C,F,D,G are concyclic [19]
013. C,F,D,G are concyclic [19] ⇒ ∠CFG = ∠CDG [20]
014. D,G,E are collinear [06] & ∠FGD = ∠FBD [18] & ∠FCD = ∠DBF [09] & ∠CFG = ∠CDG [20] ⇒ GF ⟂ DG [21]
015. GF ⟂ DG [21] & EB ⟂ DG [11] ⇒ GF ∥ EB [22]
016. GF ∥ EB [22] & E,B,A are collinear [02] ⇒ FG ∥ AB
==========================
93. examples/complete2/006/complete_010_Other_Auxiliary_aux2_e04f.gex
a b c d = trapezoid a b c d; e = midpoint e c a; f = midpoint f d b; g = on_line g e f, on_line g a d ? midp g a d
○ 번역
AB와 CD가 평행한 사다리꼴 ABCD가 주어져 있습니다. E는 선분 CA의 중점이고, F는 선분 DB의 중점입니다. 점 G는 직선 EF와 AD의 교점입니다. 점 G가 선분 AD의 중점임을 증명하시오.
○ 풀이 : AlphaGeometry를 사용한 풀이
==========================
* From theorem premises:
A B C D E F G : Points
AB ∥ CD [00]
E,A,C are collinear [01]
EA = EC [02]
F,D,B are collinear [03]
FB = FD [04]
A,D,G are collinear [05]
E,F,G are collinear [06]
* Auxiliary Constructions:
: Points
* Proof steps:
001. EA = EC [02] & FB = FD [04] ⇒ EA:EC = FB:FD [07]
002. AB ∥ CD [00] & E,A,C are collinear [01] & F,D,B are collinear [03] & EA:EC = FB:FD [07] ⇒ EF ∥ AB [08]
003. E,F,G are collinear [06] & EF ∥ AB [08] ⇒ AB ∥ GF [09]
004. AB ∥ GF [09] & A,D,G are collinear [05] & F,D,B are collinear [03] ⇒ FD:FB = GD:GA [10]
005. A,D,G are collinear [05] & FD:FB = GD:GA [10] & FD = FB [04] ⇒ G is midpoint of AD
==========================
94. examples/complete2/006/complete_004_6_GDD_FULL_81-109_98.gex
a b c = triangle a b c; e = on_line e a b; d = circle d a b c; f = on_circle f d a, on_aline f c b a c e; g = on_circle g d c, on_line g c e ? para a b g f
○ 번역
삼각형 ABC가 주어져 있습니다. 점 E는 직선 AB 위에 있습니다. D는 삼각형 ABC의 외접원입니다. 점 F는 D를 중심으로 하고 A를 지나는 원 위에 있으며, ∠FCB = ∠ACE를 만족합니다. 점 G는 D를 중심으로 하고 C를 지나는 원 위에 있으며, 직선 CE 위에 있습니다. 선분 AB와 선분 GF가 서로 평행임을 증명하시오.
○ 풀이 : AlphaGeometry를 사용한 풀이
==========================
* From theorem premises:
A B C D E F G : Points
D,A,B are collinear [00]
EB = EC [01]
EA = EB [02]
EF = EA [03]
∠BCF = ∠DCA [04]
EG = EC [05]
D,C,G are collinear [06]
* Auxiliary Constructions:
: Points
* Proof steps:
001. EA = EB [02] & EF = EA [03] & EB = EC [01] ⇒ F,A,C,B are concyclic [07]
002. EB = EC [01] & EG = EC [05] & EF = EA [03] & EA = EB [02] & F,A,C,B are concyclic [07] ⇒ C,G,F,A are concyclic [08]
003. C,G,F,A are concyclic [08] ⇒ ∠CGF = ∠CAF [09]
004. F,A,C,B are concyclic [07] ⇒ ∠BCF = ∠BAF [10]
005. D,A,B are collinear [00] & ∠CGF = ∠CAF [09] & D,C,G are collinear [06] & ∠BCF = ∠DCA [04] & ∠BCF = ∠BAF [10] ⇒ ∠DAF = ∠GFA [11]
006. ∠DAF = ∠GFA [11] ⇒ DA ∥ GF [12]
007. DA ∥ GF [12] & D,A,B are collinear [00] ⇒ AB ∥ FG
==========================
95. examples/complete2/006/complete_001_6_GDD_FULL_61-80_72.gex
a b c = triangle a b c; d = circle d a b c; e = on_circle e d a; f = foot f e a c; g = foot g e a b ? simtri e f g e c b
○ 번역
삼각형 ABC가 주어져 있습니다. D는 삼각형 ABC의 외접원입니다. 점 E는 D를 중심으로 하고 A를 지나는 원 위에 있습니다. F는 E에서 AC로 내린 수선의 발이고, G는 E에서 AB로 내린 수선의 발입니다. ΔEFG가 ΔECB와 닮음임을 증명하시오.
○ 풀이 : AlphaGeometry를 사용한 풀이
==========================
* From theorem premises:
A B C D E F G : Points
DB = DC [00]
DA = DB [01]
DE = DA [02]
A,F,C are collinear [03]
EF ⟂ AC [04]
EG ⟂ AB [05]
B,A,G are collinear [06]
* Auxiliary Constructions:
: Points
* Proof steps:
001. A,F,C are collinear [03] & EF ⟂ AC [04] ⇒ EF ⟂ AF [07]
002. EF ⟂ AF [07] & EG ⟂ AB [05] ⇒ ∠FEG = ∠FAB [08]
003. A,F,C are collinear [03] & ∠FEG = ∠FAB [08] ⇒ ∠EFA = ∠(EG-BA) [09]
004. DB = DC [00] & DA = DB [01] & DE = DA [02] ⇒ E,B,A,C are concyclic [10]
005. E,B,A,C are concyclic [10] ⇒ ∠ABE = ∠ACE [11]
006. E,B,A,C are concyclic [10] ⇒ ∠EAB = ∠ECB [12]
007. A,F,C are collinear [03] & ∠ACE = ∠ABE [11] ⇒ ∠(AF-EC) = ∠ABE [13]
008. ∠EFA = ∠(EG-BA) [09] & ∠(AF-EC) = ∠ABE [13] ⇒ ∠FEG = ∠CEB [14]
009. B,A,G are collinear [06] & A,F,C are collinear [03] & ∠FEG = ∠FAB [08] ⇒ ∠EGA = ∠EFA [15]
010. ∠EGA = ∠EFA [15] ⇒ E,G,A,F are concyclic [16]
011. E,G,A,F are concyclic [16] ⇒ ∠EAG = ∠EFG [17]
012. ∠EAB = ∠ECB [12] & ∠EAG = ∠EFG [17] & B,A,G are collinear [06] ⇒ ∠EFG = ∠ECB [18]
013. ∠FEG = ∠CEB [14] & ∠EFG = ∠ECB [18] (Similar Triangles)⇒ ΔEFG is similar to ΔECB
==========================
96. examples/complete2/006/complete_013_7_Book_00EE_11_E075-26.gex
a b = segment a b; c = mirror c a b; d = mirror d b c; e = midpoint e c b; f = on_circle f e c, on_dia f a e; g = on_line g a f ? eqangle b f a f c f e f
○ 번역
선분 AB가 주어져 있습니다. B는 CA의 중점이고, DB의 중점입니다. E는 선분 CB의 중점입니다. F는 E를 중심으로 하고 C를 지나는 원 위에 있으며, AF와 EF가 수직입니다. 점 G는 직선 AF 위에 있습니다. ∠BFA = ∠CFE임을 증명하시오.
○ 풀이 : AlphaGeometry를 사용한 풀이
==========================
* From theorem premises:
A B C E F : Points
B,A,C are collinear [00]
B,E,C are collinear [01]
EC = EB [02]
EF = EC [03]
AF ⟂ EF [04]
* Auxiliary Constructions:
: Points
* Proof steps:
001. EF = EC [03] ⇒ ∠EFC = ∠FCE [05]
002. EF = EC [03] & EC = EB [02] ⇒ E is the circumcenter of \Delta FCB [06]
003. E is the circumcenter of \Delta FCB [06] & AF ⟂ EF [04] ⇒ ∠AFC = ∠FBC [07]
004. ∠EFC = ∠FCE [05] & B,E,C are collinear [01] & B,A,C are collinear [00] & ∠AFC = ∠FBC [07] ⇒ ∠BFA = ∠CFE
==========================
97. examples/complete2/006/complete_015_7_Book_00EE_06_E057-38.gex
c a b = r_triangle c a b; d = foot d c a b; e = angle_bisector e c a b, on_line e b c; g = foot g e a b; f = on_line f c d, on_line f a e ? cong c e c f
○ 번역
∠C가 직각인 직각삼각형 CAB가 주어져 있습니다. C에서 AB로 내린 수선의 발이 D입니다. E는 ∠CAB의 이등분선 위에 있으며, 직선 BC 위에 있습니다. G는 E에서 AB로 내린 수선의 발입니다. F는 직선 CD와 AE의 교점에 있습니다. 선분 CE와 선분 CF의 길이가 같음을 증명하시오.
○ 풀이 : AlphaGeometry를 사용한 풀이
==========================
* From theorem premises:
A B C D E G : Points
AB ⟂ AC [00]
B,D,C are collinear [01]
AD ⟂ BC [02]
A,C,E are collinear [03]
∠EBA = ∠CBE [04]
A,D,G are collinear [05]
G,B,E are collinear [06]
GD:GB = GD:GB [07]
* Auxiliary Constructions:
: Points
* Proof steps:
001. A,C,E are collinear [03] & B,D,C are collinear [01] & G,A,D are collinear [05] & AD ⟂ BC [02] & AB ⟂ AC [00] ⇒ ∠EAB = ∠BDG [08]
002. B,D,C are collinear [01] & G,B,E are collinear [06] & ∠EBA = ∠CBE [04] ⇒ ∠EBA = ∠DBG [09]
003. B,D,C are collinear [01] & G,B,E are collinear [06] & ∠EBA = ∠CBE [04] ⇒ ∠ABG = ∠GBD [10]
004. ∠EAB = ∠BDG [08] & ∠EBA = ∠DBG [09] (Similar Triangles)⇒ AE:GD = AB:BD [11]
005. ∠ABG = ∠GBD [10] & A,D,G are collinear [05] ⇒ AG:GD = AB:BD [12]
006. AE:GD = AB:BD [11] & AG:GD = AB:BD [12] ⇒ AG:GD = AE:GD [13]
007. AG:GD = AE:GD [13] & GD:GB = GD:GB [07] ⇒ AG = AE
==========================
98. examples/complete2/006/complete_014_7_Book_00EE_07_E059-47.gex
a b c d = rectangle a b c d; e = on_line e b d, on_line e a c; f = midpoint f e d; g = midpoint g e a ? cong f c g b
○ 번역
직사각형 ABCD가 주어져 있습니다. 점 E는 직선 BD와 AC의 교점에 있습니다. F는 선분 ED의 중점이고, G는 선분 EA의 중점입니다. 선분 FC와 선분 GB의 길이가 같음을 증명하시오.
○ 풀이 : AlphaGeometry를 사용한 풀이
==========================
* From theorem premises:
A B C D E F G : Points
AB ⟂ BC [00]
AD ∥ BC [01]
AB ∥ CD [02]
C,A,E are collinear [03]
B,D,E are collinear [04]
F,D,E are collinear [05]
FE = FD [06]
E,A,G are collinear [07]
GE = GA [08]
* Auxiliary Constructions:
: Points
* Proof steps:
001. AB ⟂ BC [00] & BC ∥ AD [01] & AB ∥ CD [02] ⇒ ∠BAD = ∠BCD [09]
002. ∠BAD = ∠BCD [09] ⇒ D,B,A,C are concyclic [10]
003. D,B,A,C are concyclic [10] ⇒ ∠DBC = ∠DAC [11]
004. F,E,D are collinear [05] & FE = FD [06] ⇒ F is midpoint of ED [12]
005. G,E,A are collinear [07] & GE = GA [08] ⇒ G is midpoint of EA [13]
006. F is midpoint of ED [12] & G is midpoint of EA [13] ⇒ FG ∥ DA [14]
007. E,A,G are collinear [07] & C,A,E are collinear [03] & F,D,E are collinear [05] & B,D,E are collinear [04] & ∠DBC = ∠DAC [11] & FG ∥ AD [14] & AD ∥ BC [01] ⇒ ∠BCG = ∠BFG [15]
008. ∠BCG = ∠BFG [15] ⇒ F,B,C,G are concyclic [16]
009. F,D,E are collinear [05] & B,D,E are collinear [04] & FG ∥ AD [14] & AD ∥ BC [01] ⇒ ∠FBC = ∠BFG [17]
010. F,B,C,G are concyclic [16] & ∠FBC = ∠BFG [17] ⇒ FC = BG
==========================
99. examples/complete2/006/complete_014_7_Book_00EE_07_E059-53.gex
a b c = triangle a b c; d = circle d c a b; e = circle e c d b; f = on_line f a b, on_circle f e b; g = on_line g a c, on_circle g e b ? cong g b g a
○ 번역
삼각형 ABC가 주어져 있습니다. D는 삼각형 CAB의 외심입니다. E는 삼각형 CDB의 외심입니다. 점 F는 직선 AB 위에 있으며, E를 중심으로 하고 B를 지나는 원 위에 있습니다. 점 G는 직선 AC 위에 있으며, E를 중심으로 하고 B를 지나는 원 위에 있습니다. 선분 GB와 선분 GA의 길이가 같음을 증명하시오.
○ 풀이 : AlphaGeometry를 사용한 풀이
==========================
* From theorem premises:
A B C D E G : Points
DA = DB [00]
DC = DA [01]
ED = EB [02]
EC = ED [03]
C,A,G are collinear [04]
EG = EB [05]
* Auxiliary Constructions:
F : Points
EF = EB [06]
* Proof steps:
001. EF = EB [06] & EG = EB [05] & ED = EB [02] & EC = ED [03] ⇒ C,G,B,D are concyclic [07]
002. C,G,B,D are concyclic [07] ⇒ ∠BGD = ∠BCD [08]
003. C,G,B,D are concyclic [07] ⇒ ∠GCB = ∠GDB [09]
004. C,G,B,D are concyclic [07] ⇒ ∠GBD = ∠GCD [10]
005. DA = DB [00] & DC = DA [01] ⇒ DC = DB [11]
006. DC = DB [11] ⇒ ∠BCD = ∠DBC [12]
007. G,C,A are collinear [04] & ∠BGD = ∠BCD [08] & ∠BCD = ∠DBC [12] & ∠GCB = ∠GDB [09] ⇒ ∠DGA = ∠BGD [13]
008. DC = DA [01] ⇒ ∠ACD = ∠DAC [14]
009. G,C,A are collinear [04] & ∠GBD = ∠GCD [10] & ∠ACD = ∠DAC [14] ⇒ ∠DAG = ∠GBD [15]
010. ∠DGA = ∠BGD [13] & ∠DAG = ∠GBD [15] (Similar Triangles)⇒ GA = GB
==========================
100. examples/complete2/006/complete_003_6_GDD_FULL_more_E023-15.gex
a b c d = quadrangle a b c d; e = on_line e a c; g = on_pline g e a b, on_line g b c; f = on_pline f e a d, on_line f c d ? para b d g f
○ 번역
사각형 ABCD가 주어져 있습니다. 점 E는 직선 AC 위에 있습니다. 점 G는 E를 지나고 AB에 평행한 직선 위에 있으며, 직선 BC 위에 있습니다. 점 F는 E를 지나고 AD에 평행한 직선 위에 있으며, 직선 CD 위에 있습니다. 선분 BD와 선분 GF가 서로 평행임을 증명하시오.
○ 풀이 : AlphaGeometry를 사용한 풀이
==========================
* From theorem premises:
A B C D E F G : Points
E,A,C are collinear [00]
FE ∥ AB [01]
F,B,C are collinear [02]
GE ∥ AD [03]
D,C,G are collinear [04]
* Auxiliary Constructions:
: Points
* Proof steps:
001. EG ∥ AD [03] & E,A,C are collinear [00] & D,C,G are collinear [04] ⇒ EC:EA = CG:DG [05]
002. EF ∥ AB [01] & F,B,C are collinear [02] & E,A,C are collinear [00] ⇒ FC:FB = EC:EA [06]
003. EC:EA = CG:DG [05] & FC:FB = EC:EA [06] ⇒ FC:FB = CG:DG [07]
004. FC:FB = CG:DG [07] & D,C,G are collinear [04] & F,B,C are collinear [02] ⇒ GF ∥ DB
==========================
입력: 2024.08.07 13:24
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