jgex_ag_231 기하 문제 풀이 [41-60]
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41. examples/complete2/000/complete_007_7_Book_LLL_L054-2-1.gex
a b = segment a b; c = on_bline c a b; d = on_line d a c; e = eqdistance e b a d, on_line e b c; f = on_line f a b, on_line f d e; g = on_line g b c, on_pline g d a b ? cong d f f e
○ 번역
선분 AB가 주어져 있습니다. 점 C는 선분 AB의 수직이등분선 위에 있습니다. 점 D는 선분 AC 위에 있습니다. 점 E는 EB = AD를 만족하고, 선 BC 위에 위치합니다. 점 F는 선분 AB와 DE의 교점입니다. 점 G는 선분 BC 위에 있으며, 선분 GD와 AB는 서로 평행합니다. 선분 DF와 선분 FE의 길이가 같음을 증명하시오.
○ 풀이 : AlphaGeometry를 사용한 풀이
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* From theorem premises:
A B C D E F : Points
CA = CB [00]
C,D,A are collinear [01]
E,B,C are collinear [02]
EB = AD [03]
B,F,A are collinear [04]
E,F,D are collinear [05]
* Auxiliary Constructions:
G : Points
GD ∥ AB [06]
B,G,C are collinear [07]
* Proof steps:
001. B,F,A are collinear [04] & DG ∥ AB [06] ⇒ GD ∥ BF [08]
002. E,B,C are collinear [02] & B,G,C are collinear [07] ⇒ B,G,E are collinear [09]
003. GD ∥ BF [08] & E,G,B are collinear [09] & E,F,D are collinear [05] ⇒ BE:BG = FE:FD [10]
004. DG ∥ AB [06] & B,G,C are collinear [07] & C,D,A are collinear [01] ⇒ BC:AC = BG:AD [11]
005. BE:BG = FE:FD [10] & BC:AC = BG:AD [11] & CA = CB [00] & EB = AD [03] ⇒ FE = FD
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42. examples/complete2/000/complete_007_7_Book_LLL_L057-1-1.gex
a b = segment a b; m = midpoint m a b; c = on_circle c m a; d = angle_mirror d a b c; e = midpoint e a d; f = on_line f b d, on_line f a c ? para c e b d
○ 번역
선분 AB가 주어져 있습니다. M은 선분 AB의 중점입니다. 점 C는 M을 중심으로 하고 A를 지나는 원 위에 있습니다. 점 D는 ∠DBC = ∠ABC를 만족합니다. E는 선분 AD의 중점입니다. 점 F는 직선 BD와 AC의 교점입니다. 선분 CE와 선분 BD가 서로 평행임을 증명하시오.
○ 풀이 : AlphaGeometry를 사용한 풀이
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* From theorem premises:
A B C D E F : Points
CA = CB [00]
B,A,C are collinear [01]
CD = CA [02]
∠ABD = ∠DBE [03]
E,A,F are collinear [04]
FA = FE [05]
* Auxiliary Constructions:
G : Points
A,G,D are collinear [06]
B,E,G are collinear [07]
* Proof steps:
001. E,A,F are collinear [04] & FA = FE [05] ⇒ F is midpoint of AE [08]
002. CD = CA [02] & CA = CB [00] ⇒ C is the circumcenter of \Delta ADB [09]
003. C is the circumcenter of \Delta ADB [09] & B,A,C are collinear [01] ⇒ AD ⟂ BD [10]
004. A,G,D are collinear [06] & AD ⟂ BD [10] ⇒ ∠ADB = ∠BDG [11]
005. B,E,G are collinear [07] & ∠ABD = ∠DBE [03] ⇒ ∠ABD = ∠DBG [12]
006. ∠ADB = ∠BDG [11] & ∠ABD = ∠DBG [12] (Similar Triangles)⇒ DA = DG [13]
007. A,G,D are collinear [06] & DA = DG [13] ⇒ D is midpoint of AG [14]
008. F is midpoint of AE [08] & D is midpoint of AG [14] ⇒ FD ∥ EG [15]
009. FD ∥ EG [15] & B,E,G are collinear [07] ⇒ DF ∥ BE
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43. examples/complete2/000/complete_016_ex-gao_gao_M_M021-64.gex
a b = segment a b; d = midpoint d b a; c = on_circle c b a, on_circle c a b; e = on_line e a c, on_circle e d a; f = on_circle f d a, on_line f b c ? cong a e e f
○ 번역
선분 AB가 주어져 있습니다. D는 선분 AB의 중점입니다. 점 C는 B를 중심으로 하고 A를 지나는 원과 A를 중심으로 하고 B를 지나는 원 위에 있습니다. 점 E는 직선 AC 위에 있으며, D를 중심으로 하고 A를 지나는 원 위에 있습니다. 점 F는 D를 중심으로 하고 A를 지나는 원 위에 있으며, 직선 BC 위에 있습니다. 선분 AE와 선분 EF의 길이가 같음을 증명하시오.
○ 풀이 : AlphaGeometry를 사용한 풀이
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* From theorem premises:
A B C D E F : Points
CB = CA [00]
B,C,A are collinear [01]
AD = AB [02]
BD = BA [03]
E,A,D are collinear [04]
CE = CA [05]
B,F,D are collinear [06]
CF = CA [07]
* Auxiliary Constructions:
: Points
* Proof steps:
001. CB = CA [00] & CF = CA [07] & CE = CA [05] ⇒ B,F,E,A are concyclic [08]
002. B,F,E,A are concyclic [08] ⇒ ∠BFE = ∠BAE [09]
003. AD = AB [02] ⇒ ∠BDA = ∠ABD [10]
004. B,F,D are collinear [06] & E,A,D are collinear [04] & ∠BFE = ∠BAE [09] & ∠BDA = ∠ABD [10] ⇒ ∠FDE = ∠DEF [11]
005. ∠FDE = ∠DEF [11] ⇒ FD = FE [12]
006. CE = CA [05] & CB = CA [00] ⇒ C is the circumcenter of \Delta AEB [13]
007. C is the circumcenter of \Delta AEB [13] & B,C,A are collinear [01] ⇒ AE ⟂ EB [14]
008. CF = CA [07] & CB = CA [00] ⇒ C is the circumcenter of \Delta AFB [15]
009. C is the circumcenter of \Delta AFB [15] & B,C,A are collinear [01] ⇒ AF ⟂ FB [16]
010. B,F,D are collinear [06] & E,A,D are collinear [04] & AE ⟂ EB [14] & AF ⟂ FB [16] ⇒ ∠AFD = ∠BEA [17]
011. BD = BA [03] ⇒ ∠ADB = ∠BAD [18]
012. B,F,D are collinear [06] & E,A,D are collinear [04] & ∠ADB = ∠BAD [18] ⇒ ∠ADF = ∠BAE [19]
013. ∠AFD = ∠BEA [17] & ∠ADF = ∠BAE [19] (Similar Triangles)⇒ DA:AB = DF:AE [20]
014. FD = FE [12] & DA:AB = DF:AE [20] & AD = AB [02] ⇒ AE = EF
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44. examples/complete2/000/complete_007_7_Book_LLL_L057-3-2.gex
a b = segment a b; c = on_bline c a b; e = midpoint e a c; d = on_circle d a c, on_line d a c; f = midpoint f b d ? cong b e b f
○ 번역
선분 AB가 주어져 있습니다. 점 C는 선분 AB의 수직이등분선 위에 있습니다. E는 선분 AC의 중점입니다. 점 D는 A를 중심으로 하고 C를 지나은 원 위에 있으며, 직선 AC 위에 있습니다. F는 선분 BD의 중점입니다. 선분 BE와 선분 BF의 길이가 같음을 증명하시오.
○ 풀이 : AlphaGeometry를 사용한 풀이
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* From theorem premises:
A B C D E F : Points
CA = CB [00]
C,D,A are collinear [01]
DA = DC [02]
AE = AC [03]
C,E,A are collinear [04]
FB = FE [05]
B,E,F are collinear [06]
* Auxiliary Constructions:
: Points
* Proof steps:
001. C,D,A are collinear [01] & DA = DC [02] ⇒ D is midpoint of CA [07]
002. B,E,F are collinear [06] & FB = FE [05] ⇒ F is midpoint of EB [08]
003. D is midpoint of CA [07] & F is midpoint of EB [08] ⇒ DC:CA = FB:BE [09]
004. C,E,A are collinear [04] & AE = AC [03] ⇒ A is midpoint of EC [10]
005. A is midpoint of EC [10] & F is midpoint of EB [08] ⇒ AF ∥ CB [11]
006. AF ∥ BC [11] & B,E,F are collinear [06] & C,E,A are collinear [04] ⇒ EB:EF = BC:FA [12]
007. DC:CA = FB:BE [09] & AE = AC [03] & FB = FE [05] & EB:EF = BC:FA [12] & CA = CB [00] ⇒ AF:AE = CD:CB [13]
008. C,E,A are collinear [04] & C,A,D are collinear [01] & AF ∥ BC [11] ⇒ ∠FAE = ∠BCD [14]
009. AF:AE = CD:CB [13] & ∠FAE = ∠BCD [14] (Similar Triangles)⇒ EA:BC = EF:BD [15]
010. FB = FE [05] & EA:BC = EF:BD [15] & AE = AC [03] & CA = CB [00] ⇒ BD = BF
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45. examples/complete2/000/complete_004_6_GDD_FULL_81-109_95.gex
a b c = triangle a b c; a1 = midpoint a1 c b; f = circle f a b c; s = on_aline s a b c a a1, on_line s b c; p = on_circle p f a, on_line p a a1; q = on_circle q f a, on_line q a s ? para b c p q
○ 번역
삼각형 ABC가 주어져 있습니다. A1은 선분 CB의 중점입니다. F는 삼각형 ABC의 외심입니다. 점 S는 ∠SAB = ∠CAA1을 만족하며, 선분 BC 위에 있습니다. 점 P는 F를 중심으로 하고 A를 지나는 원 위과 직선 AA1의 교점입니다. 점 Q는 F를 중심으로 하고 A를 지나는 원과 직선 AS의 교점입니다. 선분 BC와 선분 PQ가 서로 평행임을 증명하시오.
○ 풀이 : AlphaGeometry를 사용한 풀이
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* From theorem premises:
A B C D E F G H : Points
C,D,B are collinear [00]
EB = EC [01]
EA = EB [02]
∠BAF = ∠DAC [03]
EG = EA [04]
A,G,D are collinear [05]
EH = EA [06]
A,H,F are collinear [07]
* Auxiliary Constructions:
: Points
* Proof steps:
001. EB = EC [01] & EA = EB [02] & EH = EA [06] ⇒ A,C,H,B are concyclic [08]
002. A,C,H,B are concyclic [08] ⇒ ∠ABC = ∠AHC [09]
003. A,C,H,B are concyclic [08] & EB = EC [01] & EA = EB [02] & EG = EA [04] ⇒ A,C,H,G are concyclic [10]
004. A,C,G,H are concyclic [10] ⇒ ∠ACH = ∠AGH [11]
005. B,C,D are collinear [00] & ∠ABC = ∠AHC [09] & A,H,F are collinear [07] & ∠BAF = ∠DAC [03] & ∠ACH = ∠AGH [11] & A,G,D are collinear [05] ⇒ ∠GHC = ∠DCH [12]
006. ∠GHC = ∠DCH [12] ⇒ HG ∥ CD [13]
007. HG ∥ CD [13] & C,D,B are collinear [00] ⇒ GH ∥ BC
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46. examples/complete2/000/complete_001_6_GDD_FULL_01-20_02.gex
a b c = triangle a b c; a1 = midpoint a1 c b; b1 = midpoint b1 c a; c1 = midpoint c1 b a; o = circle o a b c ? perp o a1 b1 c1
○ 번역
삼각형 ABC가 주어져 있습니다. A1은 선분 CB의 중점입니다. B1은 선분 CA의 중점입니다. C1은 선분 BA의 중점입니다. O는 삼각형 ABC의 외심입니다. 선분 OA1과 선분 B1C1이 수직임을 증명하시오.
○ 풀이 : AlphaGeometry를 사용한 풀이
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* From theorem premises:
A B C D E F G : Points
DC = DB [00]
E,A,C are collinear [01]
EC = EA [02]
B,F,A are collinear [03]
FB = FA [04]
GB = GC [05]
* Auxiliary Constructions:
: Points
* Proof steps:
001. DC = DB [00] & GB = GC [05] ⇒ BC ⟂ DG [06]
002. E,A,C are collinear [01] & EC = EA [02] ⇒ E is midpoint of CA [07]
003. B,F,A are collinear [03] & FB = FA [04] ⇒ F is midpoint of BA [08]
004. E is midpoint of CA [07] & F is midpoint of BA [08] ⇒ EF ∥ CB [09]
005. BC ⟂ DG [06] & BC ∥ EF [09] ⇒ GD ⟂ EF
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47. examples/complete2/000/complete_004_6_GDD_FULL_81-109_96.gex
a b c = triangle a b c; a1 = midpoint a1 c b; n = on_line n a a1; g = foot g n a b; h = foot h n a c; s = on_aline s a b c a a1, on_line s b c ? perp g h a s
○ 번역
삼각형 ABC가 주어져 있습니다. A1은 선분 CB의 중점입니다. 점 N은 직선 AA1 위에 있습니다. 점 G는 N에서 AB로 내린 수선의 발이고, 점 H는 N에서 AC로 내린 수선의 발입니다. 점 S는 ∠SAB = ∠CAA1을 만족하며, 선분 BC 위에 있습니다. 선분 GH와 선분 AS가 서로 수직임을 증명하시오.
○ 풀이 : AlphaGeometry를 사용한 풀이
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* From theorem premises:
A B C D E F G H : Points
E,D,A are collinear [00]
B,F,A are collinear [01]
EF ⟂ AB [02]
C,G,A are collinear [03]
EG ⟂ AC [04]
∠CAH = ∠DAB [05]
* Auxiliary Constructions:
: Points
* Proof steps:
001. B,F,A are collinear [01] & C,G,A are collinear [03] & EG ⟂ AC [04] & EF ⟂ AB [02] ⇒ ∠AFE = ∠AGE [06]
002. ∠AFE = ∠AGE [06] ⇒ E,G,F,A are concyclic [07]
003. E,G,F,A are concyclic [07] ⇒ ∠EGF = ∠EAF [08]
004. C,G,A are collinear [03] & ∠CAH = ∠DAB [05] & ∠EGF = ∠EAF [08] & E,D,A are collinear [00] & B,F,A are collinear [01] ⇒ ∠EGF = ∠(CG-HA) [09]
005. C,G,A are collinear [03] & AC ⟂ EG [04] ⇒ CG ⟂ EG [10]
006. ∠EGF = ∠(CG-HA) [09] & CG ⟂ EG [10] ⇒ AH ⟂ FG
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48. examples/complete2/000/complete_007_7_Book_LLL_L194-2.gex
a b = segment a b; c = on_bline c a b; d = on_bline d a b; e = on_line e c d, on_line e a b ? cong a e e b
○ 번역
선분 AB가 주어져 있습니다. 점 C와 점 D는 선분 AB의 수직이등분선 위에 있습니다. 점 E는 직선 CD와 AB의 교점입니다. 선분 AE와 선분 EB의 길이가 같음을 증명하시오.
○ 풀이 : AlphaGeometry를 사용한 풀이
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* From theorem premises:
A B C D E : Points
CA = CB [00]
DA = DB [01]
C,D,E are collinear [02]
A,B,E are collinear [03]
* Auxiliary Constructions:
: Points
* Proof steps:
001. CA = CB [00] & DA = DB [01] (SSS)⇒ ∠DCB = ∠ACD [04]
002. C,D,E are collinear [02] & ∠ACD = ∠DCB [04] ⇒ ∠ACE = ∠ECB [05]
003. ∠ACE = ∠ECB [05] & A,B,E are collinear [03] ⇒ CA:CB = EA:EB [06]
004. CA:CB = EA:EB [06] & CA = CB [00] ⇒ EA = EB
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49. examples/complete2/000/complete_017_ex-gao_gao_L_L022-1.gex
a b = segment a b; c = on_bline c a b; d = on_line d a c; e = on_circle e c d, on_line e b c ? cong a e b d
○ 번역
선분 AB가 주어져 있습니다. 점 C는 선분 AB의 수직이등분선 위에 있습니다. 점 D는 선분 AC 위에 있습니다. 점 E는 C를 중심으로 하고 D를 지나는 원 위에 있으며, 선분 BC 위에 있습니다. 선분 AE와 선분 BD의 길이가 같음을 증명하시오.
○ 풀이 : AlphaGeometry를 사용한 풀이
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* From theorem premises:
A B C D E : Points
CA = CB [00]
C,A,D are collinear [01]
CE = CD [02]
B,C,E are collinear [03]
* Auxiliary Constructions:
: Points
* Proof steps:
001. C,A,D are collinear [01] & B,C,E are collinear [03] ⇒ ∠BCD = ∠ECA [04]
002. CA = CB [00] & CE = CD [02] & ∠BCD = ∠ECA [04] (SAS)⇒ DB = EA
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50. examples/complete2/000/complete_016_ex-gao_gao_M_M09-14.gex
c b = segment c b; d = midpoint d c b; a = free a; e = midpoint e b a; f = midpoint f c a; g = on_line g a d, on_line g e f ? cong e g g f
○ 번역
선분 CB가 주어져 있습니다. D는 선분 CB의 중점입니다. A는 임의의 점입니다. E는 선분 BA의 중점입니다. F는 선분 CA의 중점입니다. 점 G는 직선 AD와 EF의 교점입니다. 선분 EG와 선분 GF의 길이가 같음을 증명하시오.
○ 풀이 : AlphaGeometry를 사용한 풀이
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* From theorem premises:
A B C D E F G : Points
B,C,A are collinear [00]
CA = CB [01]
E,D,B are collinear [02]
EB = ED [03]
F,D,A are collinear [04]
FA = FD [05]
E,G,F are collinear [06]
G,C,D are collinear [07]
* Auxiliary Constructions:
: Points
* Proof steps:
001. B,C,A are collinear [00] & CA = CB [01] ⇒ C is midpoint of BA [08]
002. E,D,B are collinear [02] & EB = ED [03] ⇒ E is midpoint of BD [09]
003. C is midpoint of BA [08] & E is midpoint of BD [09] ⇒ CE ∥ AD [10]
004. F,A,D are collinear [04] & CE ∥ AD [10] ⇒ FD ∥ EC [11]
005. FD ∥ EC [11] & E,G,F are collinear [06] & G,C,D are collinear [07] ⇒ GD:GC = GF:GE [12]
006. F,D,A are collinear [04] & FA = FD [05] ⇒ F is midpoint of AD [13]
007. E is midpoint of BD [09] & F is midpoint of AD [13] ⇒ EF ∥ BA [14]
008. A,C,B are collinear [00] & E,F,G are collinear [06] & EF ∥ AB [14] ⇒ BC ∥ EG [15]
009. BC ∥ EG [15] & E,D,B are collinear [02] & G,C,D are collinear [07] ⇒ ED:EB = GD:GC [16]
010. GD:GC = GF:GE [12] & ED:EB = GD:GC [16] & EB = ED [03] ⇒ GF = GE
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51. examples/complete2/009/complete_014_7_Book_00EE_09_E071-4.gex
a b = segment a b; c = midpoint c b a; d = on_circle d c a; e = lc_tangent e d c, on_line e a b; f = foot f a d e ? eqangle a f a d a d a b
○ 번역 : 추후 업데이트
○ 풀이 : AlphaGeometry를 사용한 풀이
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* From theorem premises:
A B C D E F : Points
C,B,A are collinear [00]
CD = CA [01]
DE ⟂ CD [02]
DE ⟂ FA [03]
* Auxiliary Constructions:
: Points
* Proof steps:
001. CD = CA [01] ⇒ ∠CDA = ∠DAC [04]
002. ∠CDA = ∠DAC [04] & C,B,A are collinear [00] & DE ⟂ FA [03] & DE ⟂ CD [02] ⇒ ∠FAD = ∠DAB
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52. examples/complete2/009/complete_013_7_Book_00EE_10_E072-13.gex
a b c = triangle a b c; d = foot d b a c; e = foot e a b c; f = foot f b d e ? eqangle b a b d b c b f
○ 번역
삼각형 ABC가 주어져 있습니다. D는 B에서 AC로 내린 수선의 발입니다. E는 A에서 BC로 내린 수선의 발입니다. F는 B에서 DE로 내린 수선의 발입니다. ∠ABD = ∠CBF임을 증명하시오.
○ 풀이 : AlphaGeometry를 사용한 풀이
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* From theorem premises:
A B C D E F : Points
C,A,D are collinear [00]
BD ⟂ AC [01]
AE ⟂ BC [02]
C,B,E are collinear [03]
D,F,E are collinear [04]
BF ⟂ DE [05]
* Auxiliary Constructions:
: Points
* Proof steps:
001. D,F,E are collinear [04] & BF ⟂ DE [05] ⇒ FB ⟂ DF [06]
002. AE ⟂ BC [02] & FB ⟂ DF [06] ⇒ ∠CBF = ∠(AE-DF) [07]
003. C,B,E are collinear [03] & D,A,C are collinear [00] & BD ⟂ AC [01] & AE ⟂ BC [02] ⇒ ∠AEB = ∠ADB [08]
004. ∠AEB = ∠ADB [08] ⇒ D,A,B,E are concyclic [09]
005. D,A,B,E are concyclic [09] ⇒ ∠ABD = ∠AED [10]
006. ∠CBF = ∠(AE-DF) [07] & D,F,E are collinear [04] & ∠ABD = ∠AED [10] ⇒ ∠ABD = ∠CBF
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53. examples/complete2/009/complete_014_7_Book_00EE_09_E071-2.gex
a b c = triangle a b c; d = midpoint d c b; e = foot e b a c; f = foot f c a b ? eqangle a b a c e f e d
○ 번역
삼각형 ABC가 주어져 있습니다. D는 선분 CB의 중점입니다. E는 B에서 AC로 내린 수선의 발입니다. F는 C에서 AB로 내린 수선의 발입니다. ∠BAC = ∠FED임을 증명하시오.
○ 풀이 : AlphaGeometry를 사용한 풀이
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* From theorem premises:
A B C D E F : Points
B,C,D are collinear [00]
DC = DB [01]
A,E,C are collinear [02]
BE ⟂ AC [03]
A,B,F are collinear [04]
CF ⟂ AB [05]
* Auxiliary Constructions:
: Points
* Proof steps:
001. A,E,C are collinear [02] & BE ⟂ AC [03] ⇒ BE ⟂ EC [06]
002. B,C,D are collinear [00] & DC = DB [01] ⇒ D is midpoint of CB [07]
003. BE ⟂ EC [06] & D is midpoint of CB [07] ⇒ CD = ED [08]
004. CD = ED [08] ⇒ ∠DCE = ∠CED [09]
005. A,E,C are collinear [02] & ∠DCE = ∠CED [09] & B,C,D are collinear [00] ⇒ ∠(AE-BC) = ∠DEA [10]
006. A,E,C are collinear [02] & A,B,F are collinear [04] & CF ⟂ AB [05] & BE ⟂ AC [03] ⇒ ∠CEB = ∠CFB [11]
007. ∠CEB = ∠CFB [11] ⇒ E,B,C,F are concyclic [12]
008. E,B,C,F are concyclic [12] ⇒ ∠ECB = ∠EFB [13]
009. A,E,C are collinear [02] & ∠ECB = ∠EFB [13] & A,B,F are collinear [04] ⇒ ∠CBA = ∠AEF [14]
010. ∠(AE-BC) = ∠DEA [10] & ∠CBA = ∠AEF [14] ⇒ ∠EAB = ∠DEF [15]
011. ∠EAB = ∠DEF [15] & A,E,C are collinear [02] ⇒ ∠CAB = ∠DEF
==========================
54. examples/complete2/009/complete_014_7_Book_00EE_09_E071-1.gex
a b c = triangle a b c; e = on_line e a b, on_circle e a c; d = angle_bisector d b a c, on_line d b c; f = on_pline f e b c, on_line f a c ? eqangle e d e c e c e f
○ 번역
삼각형 ABC가 주어져 있습니다. 점 E는 선 AB 위에 있으며, A를 중심으로 하고 C를 지나는 원 위에 있습니다. 점 D는 ∠BAC의 이등분선 위에 있으며, 선분 BC 위에 있습니다. 점 F는 E를 지나고 BC에 평행한 직선 위에 있으며, 선분 AC 위에 있습니다.∠DEC = ∠CEF임을 증명하시오.
○ 풀이 : AlphaGeometry를 사용한 풀이
==========================
* From theorem premises:
A B C D E F : Points
AD = AC [00]
B,A,D are collinear [01]
∠EAB = ∠CAE [02]
B,E,C are collinear [03]
FD ∥ BC [04]
* Auxiliary Constructions:
: Points
* Proof steps:
001. B,A,D are collinear [01] & ∠CAE = ∠EAB [02] ⇒ ∠CAE = ∠EAD [05]
002. AD = AC [00] & ∠CAE = ∠EAD [05] (SAS)⇒ EC = ED [06]
003. EC = ED [06] ⇒ ∠EDC = ∠DCE [07]
004. ∠EDC = ∠DCE [07] & B,E,C are collinear [03] & BC ∥ DF [04] ⇒ ∠EDC = ∠CDF
==========================
55. examples/complete2/009/complete_017_ex-gao_ex160_4_e10.gex
a b c d = isquare a b c d; e = on_line e b d, on_circle e b c; f = on_tline f e b d, on_line f d c ? cong e d c f
○ 번역 : 추후 업데이트
○ 풀이 : AlphaGeometry를 사용한 풀이
==========================
* From theorem premises:
A B C D E F : Points
AB = BC [00]
AB ⟂ BC [01]
AB ∥ CD [02]
AD ∥ BC [03]
BE = BC [04]
D,B,E are collinear [05]
C,F,D are collinear [06]
EF ⟂ BD [07]
FD:DB = FD:DB [08]
* Auxiliary Constructions:
: Points
* Proof steps:
001. BE = BC [04] & AB = BC [00] ⇒ B is the circumcenter of \Delta CEA [09]
002. D,B,E are collinear [05] & BD ⟂ EF [07] ⇒ BE ⟂ EF [10]
003. B is the circumcenter of \Delta CEA [09] & BE ⟂ EF [10] ⇒ ∠CEF = ∠CAE [11]
004. C,F,D are collinear [06] & AB ⟂ BC [01] & AB ∥ CD [02] ⇒ BC ⟂ CF [12]
005. B is the circumcenter of \Delta CEA [09] & BC ⟂ CF [12] ⇒ ∠FCE = ∠CAE [13]
006. C,F,D are collinear [06] & ∠CEF = ∠CAE [11] & ∠FCE = ∠CAE [13] & AB ∥ CD [02] ⇒ ∠FCE = ∠CEF [14]
007. ∠FCE = ∠CEF [14] ⇒ FC = FE [15]
008. D,B,E are collinear [05] & EF ⟂ BD [07] & AB ⟂ BC [01] & AB ∥ CD [02] ⇒ ∠BCD = ∠DEF [16]
009. D,B,E are collinear [05] & C,F,D are collinear [06] ⇒ ∠BDC = ∠EDF [17]
010. ∠BCD = ∠DEF [16] & ∠BDC = ∠EDF [17] (Similar Triangles)⇒ CD:DB = DE:FD [18]
011. ∠BCD = ∠DEF [16] & ∠BDC = ∠EDF [17] (Similar Triangles)⇒ BC:BD = FE:FD [19]
012. AB ∥ CD [02] & BC ∥ AD [03] ⇒ ∠BCD = ∠DAB [20]
013. CD ∥ AB [02] ⇒ ∠BDC = ∠DBA [21]
014. ∠BCD = ∠DAB [20] & ∠BDC = ∠DBA [21] (Similar Triangles)⇒ DC = BA [22]
015. CD:DB = DE:FD [18] & BC:BD = FE:FD [19] & DC = BA [22] & AB = BC [00] ⇒ FE:FD = DE:FD [23]
016. FE:FD = DE:FD [23] & FD:DB = FD:DB [08] ⇒ FE = DE [24]
017. FC = FE [15] & FE = DE [24] ⇒ ED = CF
==========================
56. examples/complete2/009/complete_003_6_GDD_FULL_more_E022-12.gex
a b c = triangle a b c; e = circumcenter e a b c; d = on_line d a b, angle_bisector d a c b; f = on_tline f c c e, on_pline f d a c ? cong c f d b
○ 번역 : 삼각형 ABC가 주어져 있습니다. E는 삼각형 ABC의 외심입니다. 점 D는 ∠ACB의 이등분선 위에 있으며, 직선 AB 위에 있습니다. 점 F는 점 C를 지나고 선분 CE에 수직인 선 위에 있으며, 점 D를 지나고 선분 AC에 평행한 직선 위에 있습니다. 선분 CF와 선분 DB의 길이가 같음을 증명하시오.
○ 풀이 : AlphaGeometry를 사용한 풀이
==========================
* From theorem premises:
A B C D E F : Points
DA = DB [00]
DB = DC [01]
∠ACE = ∠ECB [02]
E,B,A are collinear [03]
FE ∥ AC [04]
CF ⟂ CD [05]
* Auxiliary Constructions:
: Points
* Proof steps:
001. ∠ECB = ∠ACE [02] & AC ∥ EF [04] ⇒ ∠ECB = ∠FEC [06]
002. DA = DB [00] & DB = DC [01] ⇒ D is the circumcenter of \Delta CAB [07]
003. D is the circumcenter of \Delta CAB [07] & CF ⟂ CD [05] ⇒ ∠FCA = ∠CBA [08]
004. E,B,A are collinear [03] & ∠FCA = ∠CBA [08] & AC ∥ EF [04] ⇒ ∠CFE = ∠CBE [09]
005. ∠ECB = ∠FEC [06] & ∠CFE = ∠CBE [09] (Similar Triangles)⇒ EB = CF
==========================
57. examples/complete2/009/complete_001_6_GDD_FULL_61-80_69.gex
d a b = r_triangle d a b; c = midpoint c b a; e = circle e a c d; f = circle f b d c ? perp e d d f
○ 번역 : ∠D가 직각인 직각삼각형 DAB가 주어져 있습니다. C는 선분 BA의 중점입니다. E는 삼각형 ACD의 외심입니다. F는 삼각형 BDC의 외심입니다. 선분 ED와 DF가 서로 수직임을 증명하시오.
○ 풀이 : AlphaGeometry를 사용한 풀이
==========================
* From theorem premises:
A B C D E F : Points
AB ⟂ AC [00]
D,B,C are collinear [01]
DC = DB [02]
ED = EA [03]
EB = ED [04]
FA = FD [05]
FC = FA [06]
* Auxiliary Constructions:
: Points
* Proof steps:
001. ED = EA [03] & FA = FD [05] (SSS)⇒ ∠EAF = ∠FDE [07]
002. D,B,C are collinear [01] & DC = DB [02] ⇒ D is midpoint of BC [08]
003. AB ⟂ AC [00] & D is midpoint of BC [08] ⇒ CD = AD [09]
004. AB ⟂ AC [00] & D is midpoint of BC [08] ⇒ BD = AD [10]
005. CD = AD [09] & FC = FA [06] ⇒ AC ⟂ DF [11]
006. ED = EA [03] & EB = ED [04] ⇒ EB = EA [12]
007. BD = AD [10] & EB = EA [12] ⇒ BA ⟂ DE [13]
008. ∠EAF = ∠FDE [07] & AC ⟂ DF [11] & DE ⟂ AB [13] & AB ⟂ AC [00] ⇒ EA ⟂ AF
==========================
58. examples/complete2/009/complete_012_7_Book_00EE_05_E051-19.gex
a b c = triangle a b c; d = circumcenter d a c b; e = on_line e b c; f = on_circle f d a, angle_bisector f a c e ? cong a f f b
○ 번역 : 삼각형 ABC가 주어져 있습니다. D는 삼각형 ACB의 외심입니다. 점 E는 선분 BC 위에 있습니다. 점 F는 점 D를 중심으로 하고 점 A를 지나는 원 위에 있으며, ∠ACE의 이등분선 위에 있습니다. 선분 AF와 선분 FB의 길이가 같음을 증명하시오.
○ 풀이 : AlphaGeometry를 사용한 풀이
==========================
* From theorem premises:
A B C D E F : Points
DA = DC [00]
DC = DB [01]
C,B,E are collinear [02]
DF = DA [03]
∠ACF = ∠FCE [04]
* Auxiliary Constructions:
: Points
* Proof steps:
001. DA = DC [00] & DF = DA [03] & DC = DB [01] ⇒ A,B,F,C are concyclic [05]
002. ∠ACF = ∠FCE [04] & C,B,E are collinear [02] ⇒ ∠ACF = ∠FCB [06]
003. A,B,F,C are concyclic [05] & ∠ACF = ∠FCB [06] ⇒ AF = FB
==========================
59. examples/complete2/009/complete_016_7_Book_00EE_06_E051-32.gex
a b c = triangle a b c; d = eq_triangle d a b; e = eq_triangle e a c; f = eq_triangle f c b ? para e d c f
○ 번역 : 삼각형 ABC가 주어져 있습니다. DAB, EAC, FCB는 각각 정삼각형입니다. 선분 ED와 선분 CF가 서로 평행임을 증명하시오.
○ 풀이 : AlphaGeometry를 사용한 풀이
==========================
* From theorem premises:
A B C D E F : Points
AD = AB [00]
BD = BA [01]
EA = AC [02]
AC = CE [03]
CF = CB [04]
BF = BC [05]
* Auxiliary Constructions:
: Points
* Proof steps:
001. AD = AB [00] & CF = CB [04] ⇒ AD:AB = CF:CB [06]
002. BD = BA [01] & BF = BC [05] ⇒ BD:BA = BF:BC [07]
003. AD:AB = CF:CB [06] & BD:BA = BF:BC [07] (Similar Triangles)⇒ ∠DAB = ∠FCB [08]
004. AD = AB [00] & AC = AE [02] ⇒ AD:AB = AC:AE [09]
005. BD = BA [01] & EA = AC [02] & AC = CE [03] ⇒ BD:BA = EC:EA [10]
006. AD:AB = AC:AE [09] & BD:BA = EC:EA [10] (Similar Triangles)⇒ ∠DAE = ∠BAC [11]
007. DA = AB [00] & EA = AC [02] & ∠DAE = ∠BAC [11] (SAS)⇒ ∠DAB = ∠(DE-BC) [12]
008. ∠DAB = ∠FCB [08] & ∠DAB = ∠(DE-BC) [12] ⇒ ∠(DE-BC) = ∠FCB [13]
009. ∠(DE-BC) = ∠FCB [13] ⇒ DE ∥ CF
==========================
60. examples/complete2/009/complete_013_7_Book_00EE_10_E074-23.gex
a b c = triangle a b c; d = foot d a b c; e = circumcenter e b a c; f = angle_bisector f b a c, on_circle f e a ? eqangle e a a f f a a d
○ 번역 : 삼각형 ABC가 주어져 있습니다. D는 A에서 BC로 내린 수선의 발입니다. E는 삼각형 BAC의 외심입니다. 점 F는 ∠BAC의 이등분선 위에 있으며, E를 중심으로 하고 A를 지나는 원 위에 있습니다. ∠EAF = ∠FAD임을 증명하시오.
○ 풀이 : AlphaGeometry를 사용한 풀이
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* From theorem premises:
A B C D E F : Points
AD ⟂ BC [00]
EA = EC [01]
EB = EA [02]
EF = EA [03]
∠BAF = ∠FAC [04]
* Auxiliary Constructions:
: Points
* Proof steps:
001. EF = EA [03] ⇒ ∠AFE = ∠EAF [05]
002. EA = EC [01] & EB = EA [02] ⇒ EB = EC [06]
003. EA = EC [01] & EF = EA [03] & EB = EA [02] ⇒ F,A,B,C are concyclic [07]
004. F,A,B,C are concyclic [07] & ∠BAF = ∠FAC [04] ⇒ FB = CF [08]
005. EB = EC [06] & FB = CF [08] ⇒ BC ⟂ EF [09]
006. ∠EAF = ∠AFE [05] & BC ⟂ EF [09] & AD ⟂ BC [00] ⇒ ∠EAF = ∠FAD
==========================
입력: 2024.08.07 13:24
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