jgex_ag_231 기하 문제 풀이 [01-20]
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1. examples/complete2/012/complete_004_6_GDD_FULL_81-109_101.gex
a b c = triangle a b c; o = circle o a b c; h = midpoint h c b; d = on_line d o h, on_line d a b; e = on_tline e c c o, on_tline e a a o ? cyclic a o e d
○ 번역
삼각형 ABC가 주어져 있습니다. O는 삼각형 ABC의 외심입니다. H는 선분 CB의 중점입니다. 점 D는 O와 H를 지나는 선 위에 있으며, 선분 AB 위에도 있습니다. 점 E는 점 C에서 원에 접하는 접선 위에 있고, 점 A에서 원에 접하는 접선 위에도 있습니다. 점 A, O, E, D가 한 원 위에 있음을 증명하시오.
○ 풀이 : AlphaGeometry를 사용한 풀이
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* From theorem premises:
A B C D E F G : Points
DA = DB [00]
DB = DC [01]
B,E,C are collinear [02]
EC = EB [03]
B,A,F are collinear [04]
D,E,F are collinear [05]
CG ⟂ CD [06]
AG ⟂ AD [07]
* Auxiliary Constructions:
: Points
* Proof steps:
001. DA = DB [00] & DB = DC [01] ⇒ D is the circumcenter of \Delta ABC [08]
002. B,E,C are collinear [02] & EC = EB [03] ⇒ E is midpoint of BC [09]
003. D is the circumcenter of \Delta ABC [08] & E is midpoint of BC [09] ⇒ ∠ACD = ∠(AB-DE) [10]
004. B,A,F are collinear [04] & D,E,F are collinear [05] & ∠(AB-DE) = ∠ACD [10] ⇒ ∠AFD = ∠ACD [11]
005. ∠AFD = ∠ACD [11] ⇒ D,A,C,F are concyclic [12]
006. CG ⟂ CD [06] & AG ⟂ AD [07] ⇒ ∠GAD = ∠GCD [13]
007. ∠GAD = ∠GCD [13] ⇒ D,G,A,C are concyclic [14]
008. D,A,C,F are concyclic [12] & D,G,A,C are concyclic [14] ⇒ A,D,G,F are concyclic
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2. examples/complete2/012/complete_002_6_GDD_FULL_41-60_59.gex
a b c = triangle a b c; m = midpoint m b a; o = circle o a b c; n = on_line n o m, on_circle n o a ? eqangle c a c n c n c b
○ 번역
삼각형 ABC가 주어져 있습니다. M은 선분 BA의 중점입니다. O는 삼각형 ABC의 외심입니다. 점 N은 O와 M을 잇는 선 위에 있으며, 또한 O를 중심으로 하고 A를 지나는 원 위에 있습니다. ∠ACN=∠NCB임을 증명하시오.
○ 풀이 : AlphaGeometry를 사용한 풀이
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* From theorem premises:
A B C D E F : Points
DB = DA [00]
B,A,D are collinear [01]
EA = EB [02]
EB = EC [03]
EF = EA [04]
D,E,F are collinear [05]
* Auxiliary Constructions:
: Points
* Proof steps:
001. EA = EB [02] & EF = EA [04] & EB = EC [03] ⇒ B,A,F,C are concyclic [06]
002. B,A,F,C are concyclic [06] ⇒ ∠FAB = ∠FCB [07]
003. B,A,F,C are concyclic [06] ⇒ ∠ABF = ∠ACF [08]
004. DB = DA [00] & EA = EB [02] ⇒ AB ⟂ DE [09]
005. B,D,A are collinear [01] & D,F,E are collinear [05] & AB ⟂ DE [09] ⇒ ∠BDF = ∠FDA [10]
006. DB = DA [00] & ∠BDF = ∠FDA [10] (SAS)⇒ ∠DBF = ∠FAD [11]
007. ∠FAB = ∠FCB [07] & ∠DBF = ∠FAD [11] & B,A,D are collinear [01] & ∠ABF = ∠ACF [08] ⇒ ∠ACF = ∠FCB
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3. examples/complete2/012/complete_002_6_GDD_FULL_01-20_04.gex
a b c = triangle a b c; o = circle o a b c; d = on_circle d o a; q = midpoint q c b; s = midpoint s a d; j = midpoint j s q; m = mirror m o j; i = on_line i a d, on_line i b c ? perp s m b c
○ 번역
삼각형 ABC가 주어져 있습니다. O는 삼각형 ABC의 외심입니다. 점 D는 O를 중심으로 하고 A를 지나는 원 위에 있습니다. Q는 선분 CB의 중점입니다. S는 선분 AD의 중점입니다. J는 선분 SQ의 중점입니다. M은 점 O에 대한 J의 대칭점입니다. 점 I는 선분 AD와 BC의 교점입니다. 선분 SM이 선분 BC와 수직임을 증명하시오.
○ 풀이 : AlphaGeometry를 사용한 풀이
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* From theorem premises:
B C D F G H I : Points
DB = DC [00]
FC = FB [01]
H,G,F are collinear [02]
HG = HF [03]
H,D,I are collinear [04]
HD = HI [05]
* Auxiliary Constructions:
: Points
* Proof steps:
001. DB = DC [00] & FC = FB [01] ⇒ BC ⟂ DF [06]
002. H,G,F are collinear [02] & HG = HF [03] ⇒ H is midpoint of GF [07]
003. H,D,I are collinear [04] & HD = HI [05] ⇒ H is midpoint of DI [08]
004. H is midpoint of GF [07] & H is midpoint of DI [08] ⇒ GI ∥ FD [09]
005. BC ⟂ DF [06] & DF ∥ GI [09] ⇒ GI ⟂ BC
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4. examples/complete2/012/complete_004_6_GDD_FULL_81-109_90.gex
a b c = triangle a b c; o = circle o a b c; d = on_circle d o a; g = foot g d a b; f = foot f d a c; c1 = on_circle c1 o d, on_line c1 d g; b1 = on_circle b1 o d, on_line b1 d f ? para c1 c b1 b
○ 번역
삼각형 ABC가 주어져 있습니다. O는 삼각형 ABC의 외심입니다. 점 D는 O를 중심으로 하고 A를 지나는 원 위에 있습니다. 점 G는 D에서 AB에 내린 수선의 발입니다. 점 F는 D에서 AC에 내린 수선의 발입니다. 점 C1은 점 D를 지나고 중심이 O인 원 위에 있고, 선분 DG 위에 있습니다. 점 B1은 점 D를 지나고 중심이 O인 원 위에 있고, 선분 DF 위에 있습니다. 선분 C1C와 선분 B1B가 서로 평행함을 증명하시오.
○ 풀이 : AlphaGeometry를 사용한 풀이
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* From theorem premises:
A B C D E F G H I : Points
DB = DC [00]
DA = DB [01]
DE = DA [02]
A,F,B are collinear [03]
EF ⟂ AB [04]
EG ⟂ AC [05]
DH = DE [06]
F,E,H are collinear [07]
DI = DE [08]
E,G,I are collinear [09]
* Auxiliary Constructions:
: Points
* Proof steps:
001. DB = DC [00] & DA = DB [01] & DE = DA [02] & DI = DE [08] & DH = DE [06] ⇒ C,E,H,I are concyclic [10]
002. C,E,H,I are concyclic [10] & DE = DA [02] & DH = DE [06] & DB = DC [00] & DA = DB [01] ⇒ C,A,I,B are concyclic [11]
003. C,A,I,B are concyclic [11] ⇒ ∠BIC = ∠BAC [12]
004. A,B,F are collinear [03] & AB ⟂ EF [04] ⇒ AF ⟂ FE [13]
005. AF ⟂ FE [13] & EG ⟂ AC [05] ⇒ ∠FAC = ∠FEG [14]
006. E,H,C,I are concyclic [10] ⇒ ∠EHC = ∠EIC [15]
007. ∠BIC = ∠BAC [12] & ∠FAC = ∠FEG [14] & A,F,B are collinear [03] & ∠EHC = ∠EIC [15] & F,E,H are collinear [07] & E,G,I are collinear [09] ⇒ ∠HCI = ∠BIC [16]
008. ∠HCI = ∠BIC [16] ⇒ CH ∥ IB
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5. examples/complete2/012/complete_004_6_GDD_FULL_81-109_94.gex
a b c = triangle a b c; o = circle o a b c; d = on_circle d o a; p = on_circle p o a; f = foot f p a d; g = foot g p a b; h = foot h p b c; e = foot e p c d; i = on_line i f g, on_line i h e ? cyclic p g i h
○ 번역
삼각형 ABC가 주어져 있습니다. O는 삼각형 ABC의 외심입니다. 점 D와 점 P는 모두 O를 중심으로 하고 A를 지나는 원 위에 있습니다. 점 F는 P에서 AD에 내린 수선의 발입니다. 점 G는 P에서 AB에 내린 수선의 발입니다. 점 H는 P에서 BC에 내린 수선의 발입니다. 점 E는 P에서 CD에 내린 수선의 발입니다. 점 I는 선 FG와 HE의 교점입니다. 점 P, G, I, H가 한 원 위에 있음을 증명하시오.
○ 풀이 : AlphaGeometry를 사용한 풀이
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* From theorem premises:
A B C D E F G H I J K : Points
DA = DB [00]
DB = DC [01]
DE = DA [02]
DF = DA [03]
A,G,E are collinear [04]
FG ⟂ AE [05]
A,B,H are collinear [06]
FH ⟂ AB [07]
B,I,C are collinear [08]
FI ⟂ BC [09]
E,J,C are collinear [10]
FJ ⟂ CE [11]
K,H,G are collinear [12]
J,K,I are collinear [13]
* Auxiliary Constructions:
: Points
* Proof steps:
001. B,I,C are collinear [08] & E,J,C are collinear [10] & FJ ⟂ CE [11] & FI ⟂ BC [09] ⇒ ∠CIF = ∠CJF [14]
002. ∠CIF = ∠CJF [14] ⇒ J,F,C,I are concyclic [15]
003. J,F,C,I are concyclic [15] ⇒ ∠JCF = ∠JIF [16]
004. DA = DB [00] & DF = DA [03] & DB = DC [01] & DE = DA [02] ⇒ F,C,A,E are concyclic [17]
005. F,C,A,E are concyclic [17] ⇒ ∠FCE = ∠FAE [18]
006. A,B,H are collinear [06] & A,G,E are collinear [04] & FG ⟂ AE [05] & FH ⟂ AB [07] ⇒ ∠FHA = ∠FGA [19]
007. ∠FHA = ∠FGA [19] ⇒ A,H,G,F are concyclic [20]
008. A,H,G,F are concyclic [20] ⇒ ∠AGH = ∠AFH [21]
009. K,H,G are collinear [12] & J,K,I are collinear [13] & ∠JCF = ∠JIF [16] & E,J,C are collinear [10] & ∠FCE = ∠FAE [18] & ∠AGH = ∠AFH [21] & A,G,E are collinear [04] ⇒ ∠FHK = ∠FIK [22]
010. ∠FHK = ∠FIK [22] ⇒ K,I,F,H are concyclic
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6. examples/complete2/012/complete_003_6_GDD_FULL_21-40_37.gex
a b c = triangle a b c; h = orthocenter h a b c; o = circle o a b c; c1 = on_circle c1 o c, on_line c1 c h; a1 = on_circle a1 o a, on_line a1 a h ? cong b a1 b c1
○ 번역
삼각형 ABC가 주어져 있습니다. H는 삼각형 ABC의 수심입니다. O는 삼각형 ABC의 외심입니다. 점 C1은 중심이 O이고 C를 지나는 원 위에 있고, 선분 CH 위에 있습니다. 점 A1은 중심이 O이고 A를 지나는 원 위에 있고, 선분 AH 위에 있습니다. 선분 BA1과 선분 BC1이 길이가 같음을 증명하시오.
○ 풀이 : AlphaGeometry를 사용한 풀이
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* From theorem premises:
A B C D E F G : Points
AD ⟂ BC [00]
BD ⟂ AC [01]
EB = EC [02]
EA = EB [03]
EF = EC [04]
F,D,C are collinear [05]
EG = EA [06]
G,A,D are collinear [07]
* Auxiliary Constructions:
: Points
* Proof steps:
001. EF = EC [04] & EB = EC [02] & EA = EB [03] & EG = EA [06] ⇒ G,F,A,B are concyclic [08]
002. EB = EC [02] & EF = EC [04] & EA = EB [03] ⇒ A,F,B,C are concyclic [09]
003. A,F,B,C are concyclic [09] ⇒ ∠ABC = ∠AFC [10]
004. G,F,A,B are concyclic [08] & A,F,B,C are concyclic [09] ⇒ G,A,B,C are concyclic [11]
005. G,A,B,C are concyclic [11] ⇒ ∠ACB = ∠AGB [12]
006. G,A,B,C are concyclic [11] ⇒ ∠ABC = ∠AGC [13]
007. G,A,D are collinear [07] & BC ⟂ AD [00] ⇒ BC ⟂ GA [14]
008. BC ⟂ GA [14] & BD ⟂ AC [01] ⇒ ∠BCA = ∠(GA-BD) [15]
009. BC ⟂ GA [14] & BD ⟂ AC [01] ⇒ ∠CBD = ∠GAC [16]
010. G,A,D are collinear [07] & ∠ACB = ∠AGB [12] & ∠BCA = ∠(GA-BD) [15] ⇒ ∠BDG = ∠DGB [17]
011. ∠BDG = ∠DGB [17] ⇒ BD = BG [18]
012. ∠CBD = ∠GAC [16] & G,A,D are collinear [07] & ∠ACB = ∠AGB [12] ⇒ ∠CBG = ∠DBC [19]
013. BD = BG [18] & ∠CBG = ∠DBC [19] (SAS)⇒ ∠DCB = ∠BCG [20]
014. G,A,D are collinear [07] & ∠ABC = ∠AFC [10] & F,D,C are collinear [05] & ∠DCB = ∠BCG [20] & ∠ABC = ∠AGC [13] ⇒ ∠BAG = ∠FAB [21]
015. A,B,G,F are concyclic [08] & ∠BAG = ∠FAB [21] ⇒ BG = FB
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7. examples/complete2/012/complete_003_6_GDD_FULL_21-40_22.gex
a b c = triangle a b c; o = circle o a b c; p = foot p o a c; q = foot q o a b; m = on_line m o q, on_circle m o a; n = on_line n o p, on_circle n o a; e = on_line e a c, on_line e n m; d = on_line d a b, on_line d n m ? eqangle d a d e e d e a
○ 번역
삼각형 ABC가 주어져 있습니다. O는 삼각형 ABC의 외심입니다. 점 P는 O에서 AC에 내린 수선의 발입니다. 점 Q는 O에서 AB에 내린 수선의 발입니다. 점 M은 선분 OQ 위에 있고, 중심이 O이고 A를 지나는 원 위에 있습니다. 점 N은 선분 OP 위에 있고, 중심이 O이고 A를 지나는 원 위에 있습니다. 점 E는 선분 AC와 NM의 교점입니다. 점 D는 선분 AB와 NM의 교점입니다. ∠ADE = ∠DEA임을 증명하시오.
○ 풀이 : AlphaGeometry를 사용한 풀이
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* From theorem premises:
A B C D E F G H I J : Points
A,E,C are collinear [00]
DE ⟂ AC [01]
A,B,F are collinear [02]
DF ⟂ AB [03]
D,G,F are collinear [04]
DG = DA [05]
H,D,E are collinear [06]
DH = DA [07]
I,H,G are collinear [08]
A,I,C are collinear [09]
A,B,J are collinear [10]
J,H,G are collinear [11]
* Auxiliary Constructions:
: Points
* Proof steps:
001. A,I,C are collinear [09] & H,D,E are collinear [06] & AC ⟂ DE [01] ⇒ AI ⟂ HD [12]
002. D,G,F are collinear [04] & DF ⟂ AB [03] ⇒ DG ⟂ AB [13]
003. AI ⟂ HD [12] & DG ⟂ AB [13] ⇒ ∠(AI-DG) = ∠(HD-AB) [14]
004. J,A,B are collinear [10] & A,B,F are collinear [02] & D,G,F are collinear [04] & H,D,E are collinear [06] & A,I,C are collinear [09] & A,E,C are collinear [00] & ∠(AI-DG) = ∠(HD-AB) [14] ⇒ ∠JFG = ∠HEI [15]
005. DG = DA [05] & DH = DA [07] ⇒ DH = DG [16]
006. DH = DG [16] ⇒ ∠DHG = ∠HGD [17]
007. J,H,G are collinear [11] & D,G,F are collinear [04] & H,D,E are collinear [06] & I,H,G are collinear [08] & ∠DHG = ∠HGD [17] ⇒ ∠JGF = ∠EHI [18]
008. ∠JFG = ∠HEI [15] & ∠JGF = ∠EHI [18] (Similar Triangles)⇒ ∠FJG = ∠HIE [19]
009. J,A,B are collinear [10] & J,H,G are collinear [11] & I,H,G are collinear [08] & A,I,C are collinear [09] & ∠FJG = ∠HIE [19] & A,B,F are collinear [02] & A,E,C are collinear [00] ⇒ ∠AJI = ∠JIA
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8. examples/complete2/012/complete_001_6_GDD_FULL_01-20_19.gex
a b c = triangle a b c; f = free f; p = circle p a b f; o = circle o a b c; e = on_circle e p a, on_line e a c; d = on_circle d o b, on_line d b f ? para c d e f
○ 번역
삼각형 ABC가 주어져 있습니다. 점 F는 자유롭게 선택된 점입니다. P는 삼각형 ABF의 외심입니다. O는 삼각형 ABC의 외심입니다. 점 E는 중심이 P이고 점 A를 지나는 원 위에 있고, 선분 AC 위에 있습니다. 점 D는 점 B를 지나고 중심이 O인 원 위에 있고, 선분 BF 위에 있습니다. 선분 CD와 선분 EF가 서로 평행함을 증명하시오.
○ 풀이 : AlphaGeometry를 사용한 풀이
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* From theorem premises:
A B C D E F G H : Points
EA = EB [00]
EB = ED [01]
FA = FB [02]
FB = FC [03]
C,G,A are collinear [04]
EG = EA [05]
FH = FB [06]
D,B,H are collinear [07]
* Auxiliary Constructions:
: Points
* Proof steps:
001. FA = FB [02] & FH = FB [06] & FB = FC [03] ⇒ C,H,A,B are concyclic [08]
002. C,H,A,B are concyclic [08] ⇒ ∠CHB = ∠CAB [09]
003. EA = EB [00] & EG = EA [05] & EB = ED [01] ⇒ D,G,A,B are concyclic [10]
004. D,G,A,B are concyclic [10] ⇒ ∠DGA = ∠DBA [11]
005. C,G,A are collinear [04] & ∠CHB = ∠CAB [09] & D,B,H are collinear [07] & ∠DGA = ∠DBA [11] ⇒ ∠DGC = ∠HCG [12]
006. ∠DGC = ∠HCG [12] ⇒ DG ∥ CH
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9. examples/complete2/012/complete_001_6_GDD_FULL_61-80_74.gex
a b c = triangle a b c; g = foot g c a b; o = circle o a b c; d = on_circle d o c, on_line d c g; e = foot e d a c; f = foot f d b c ? cyclic a e f b
○ 번역
삼각형 ABC가 주어져 있습니다. 점 G는 C에서 AB에 내린 수선의 발입니다. O는 삼각형 ABC의 외심입니다. 점 D는 중심이 O이고 C를 지나는 원 위에 있고, 선분 CG 위에 있습니다. 점 E는 D에서 AC에 내린 수선의 발입니다. 점 F는 D에서 BC에 내린 수선의 발입니다. 점 A, E, F, B가 한 원 위에 있음을 증명하시오.
○ 풀이 : AlphaGeometry를 사용한 풀이
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* From theorem premises:
A B C D F G H : Points
A,D,B are collinear [00]
CD ⟂ AB [01]
F,D,C are collinear [02]
A,G,C are collinear [03]
FG ⟂ AC [04]
H,B,C are collinear [05]
FH ⟂ BC [06]
* Auxiliary Constructions:
: Points
* Proof steps:
001. A,D,B are collinear [00] & F,D,C are collinear [02] & AB ⟂ CD [01] ⇒ AD ⟂ FD [07]
002. H,B,C are collinear [05] & BC ⟂ FH [06] ⇒ HB ⟂ FH [08]
003. AD ⟂ FD [07] & HB ⟂ FH [08] ⇒ ∠(AD-HB) = ∠DFH [09]
004. G,A,C are collinear [03] & H,B,C are collinear [05] & FH ⟂ BC [06] & FG ⟂ AC [04] ⇒ ∠FGC = ∠FHC [10]
005. ∠FGC = ∠FHC [10] ⇒ F,G,H,C are concyclic [11]
006. F,G,H,C are concyclic [11] ⇒ ∠FHG = ∠FCG [12]
007. G,A,C are collinear [03] & H,B,C are collinear [05] & ∠(AD-HB) = ∠DFH [09] & A,D,B are collinear [00] & F,D,C are collinear [02] & ∠FHG = ∠FCG [12] ⇒ ∠AGH = ∠ABH [13]
008. ∠AGH = ∠ABH [13] ⇒ A,G,B,H are concyclic
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10. examples/complete2/013/complete_002_6_GDD_FULL_41-60_49.gex
a b c = triangle a b c; p = midpoint p b a; q = midpoint q c b; d = on_tline d b a c; r = midpoint r d c; s = midpoint s a d; o = on_line o p r, on_line o q s ? cong o s o r
○ 번역
삼각형 ABC가 주어져 있습니다. P는 선분 BA의 중점이고, Q는 선분 CB의 중점입니다. 선분 DB와 선분 AC는 수직입니다. R은 선분 DC의 중점이고, S는 선분 AD의 중점입니다. 점 O는 선분 PR과 QS의 교점입니다. 선분 OS와 선분 OR의 길이가 같음을 증명하시오.
○ 풀이 : AlphaGeometry를 사용한 풀이
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* From theorem premises:
A B C D E F G H I : Points
A,D,B are collinear [00]
DB = DA [01]
B,C,E are collinear [02]
EC = EB [03]
BF ⟂ AC [04]
C,G,F are collinear [05]
GF = GC [06]
A,H,F are collinear [07]
HA = HF [08]
I,H,E are collinear [09]
D,I,G are collinear [10]
* Auxiliary Constructions:
: Points
* Proof steps:
001. A,D,B are collinear [00] & DB = DA [01] ⇒ D is midpoint of AB [11]
002. B,C,E are collinear [02] & EC = EB [03] ⇒ E is midpoint of BC [12]
003. D is midpoint of AB [11] & E is midpoint of BC [12] ⇒ DE ∥ AC [13]
004. C,G,F are collinear [05] & GF = GC [06] ⇒ G is midpoint of CF [14]
005. A,H,F are collinear [07] & HA = HF [08] ⇒ H is midpoint of AF [15]
006. G is midpoint of CF [14] & H is midpoint of AF [15] ⇒ GH ∥ CA [16]
007. DE ∥ AC [13] & GH ∥ AC [16] ⇒ HG ∥ ED [17]
008. HG ∥ ED [17] & I,H,E are collinear [09] & D,I,G are collinear [10] ⇒ HE:GD = HI:GI [18]
009. E is midpoint of BC [12] & G is midpoint of CF [14] ⇒ EG ∥ BF [19]
010. D is midpoint of AB [11] & H is midpoint of AF [15] ⇒ DH ∥ BF [20]
011. BF ⟂ AC [04] & AC ∥ GH [16] & BF ∥ EG [19] & BF ∥ DH [20] & AC ∥ DE [13] ⇒ ∠HGE = ∠HDE [21]
012. ∠HGE = ∠HDE [21] ⇒ D,H,G,E are concyclic [22]
013. BF ∥ DH [20] & AC ∥ GH [16] & AC ∥ DE [13] ⇒ ∠DHG = ∠HDE [23]
014. D,H,G,E are concyclic [22] & ∠DHG = ∠HDE [23] ⇒ DG = HE [24]
015. HE:GD = HI:GI [18] & DG = HE [24] ⇒ HI = GI
==========================
11. examples/complete2/013/complete_006_Other_ndgTest_70.gex
p a b = triangle p a b; o = midpoint o b a; a1 = on_line a1 p a, on_circle a1 o a; b1 = on_line b1 p b, on_circle b1 o a; o1 = circle o1 p a1 b1 ? perp o a1 a1 o1
○ 번역
삼각형 PAB가 주어져 있습니다. O는 선분 BA의 중점입니다. 점 A1은 선분 PA 위에 있으며, 중심이 O이고 A를 지나는 원 위에 있습니다. 점 B1은 선분 PB 위에 있으며, 중심이 O이고 A를 지나는 원 위에 있습니다. O1은 삼각형 PA1B1의 외심입니다. OA1과 A1O1이 수직임을 증명하시오.
○ 풀이 : AlphaGeometry를 사용한 풀이
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* From theorem premises:
A B C D E F G : Points
DC = DB [00]
C,B,D are collinear [01]
E,B,A are collinear [02]
DE = DB [03]
C,F,A are collinear [04]
DF = DB [05]
GA = GE [06]
GE = GF [07]
* Auxiliary Constructions:
: Points
* Proof steps:
001. GA = GE [06] & GE = GF [07] ⇒ G is the circumcenter of \Delta FAE [08]
002. DC = DB [00] & DF = DB [05] & DE = DB [03] ⇒ E,C,B,F are concyclic [09]
003. E,C,B,F are concyclic [09] ⇒ ∠EBC = ∠EFC [10]
004. DE = DB [03] ⇒ ∠DEB = ∠EBD [11]
005. E,B,A are collinear [02] & C,A,F are collinear [04] & ∠EBC = ∠EFC [10] & ∠DEB = ∠EBD [11] & C,B,D are collinear [01] ⇒ ∠DEA = ∠EFA [12]
006. G is the circumcenter of \Delta FAE [08] & ∠DEA = ∠EFA [12] ⇒ EG ⟂ DE
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12. examples/complete2/013/complete_001_6_GDD_FULL_01-20_16.gex
a b o = triangle a b o; m = on_line m a b; p = foot p m a o; q = foot q m b o; d = foot d b a o; c = foot c a b o; t = foot t q a o; k = foot k p b o; s = on_line s q t, on_line s p k ? perp o s p q
○ 번역
삼각형 ABO가 주어져 있습니다. 점 M은 선 AB 위에 있습니다. P는 M에서 AO에 내린 수선의 발이고, Q는 M에서 BO에 내린 수선의 발입니다. 점 D는 B에서 AO에 내린 수선의 발이고, 점 C는 A에서 BO로 내린 수선의 발입니다. T는 Q에서 AO로 내린 수선의 발이고, K는 P에서 BO로 내린 수선의 발입니다. 점 S는 선분 QT와 PK의 교점입니다. 선분 OS가 서분 PQ와 수직임을 증명하시오.
○ 풀이 : AlphaGeometry를 사용한 풀이
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* From theorem premises:
A B C D E F I J K : Points
DE ⟂ AC [00]
E,A,C are collinear [01]
DF ⟂ BC [02]
B,C,F are collinear [03]
I,A,C are collinear [04]
AC ⟂ IF [05]
B,C,J are collinear [06]
BC ⟂ JE [07]
E,K,J are collinear [08]
F,I,K are collinear [09]
* Auxiliary Constructions:
G : Points
G,A,C are collinear [10]
AC ⟂ GB [11]
* Proof steps:
001. B,C,J are collinear [06] & K,E,J are collinear [08] & I,A,C are collinear [04] & K,I,F are collinear [09] & DE ⟂ AC [00] & DF ⟂ BC [02] & BC ⟂ JE [07] & AC ⟂ IF [05] ⇒ ∠CJK = ∠CIK [12]
002. ∠CJK = ∠CIK [12] ⇒ K,I,C,J are concyclic [13]
003. K,I,C,J are concyclic [13] ⇒ ∠KIJ = ∠KCJ [14]
004. B,C,J are collinear [06] & B,C,F are collinear [03] & I,A,C are collinear [04] & E,A,C are collinear [01] & DE ⟂ AC [00] & DF ⟂ BC [02] & BC ⟂ JE [07] & AC ⟂ IF [05] ⇒ ∠FJE = ∠FIE [15]
005. ∠FJE = ∠FIE [15] ⇒ E,I,J,F are concyclic [16]
006. E,I,J,F are concyclic [16] ⇒ ∠EIJ = ∠EFJ [17]
007. G,A,C are collinear [10] & ∠KIJ = ∠KCJ [14] & F,I,K are collinear [09] & B,C,J are collinear [06] & AC ⟂ IF [05] & DE ⟂ AC [00] & ∠EIJ = ∠EFJ [17] & I,A,C are collinear [04] & E,A,C are collinear [01] & B,C,F are collinear [03] & AC ⟂ GB [11] ⇒ ∠(GA-EF) = ∠(BG-KC) [18]
008. G,A,C are collinear [10] & BG ⟂ AC [11] ⇒ BG ⟂ GA [19]
009. ∠(GA-EF) = ∠(BG-KC) [18] & BG ⟂ GA [19] ⇒ CK ⟂ EF
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13. examples/complete2/013/complete_001_6_GDD_FULL_61-80_67.gex
m b c = triangle m b c; i = incenter i m b c; i_b = on_tline i_b c c i, on_line i_b b i; i_c = on_tline i_c b b i, on_line i_c c i; a = midpoint a i_b i_c; o = circumcenter o b i c ? perp a b b o
○ 번역
삼각형 MBC가 주어져 있습니다. I는 삼각형 MBC의 내심입니다. 점 I_B는 C를 지나고 선분 CI에 수직인 선과 선분 BI의 교점입니다. 점 I_C는 B를 지나고 선분 BI에 수직인 선과 선분 CI의 교점입니다. A는 선분 I_B I_C의 중점입니다. O는 삼각형 BIC의 외심입니다. 선분 AB가 선분 BO와 수직임을 증명하시오.
○ 풀이 : AlphaGeometry를 사용한 풀이
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* From theorem premises:
B C D E F G H : Points
B,E,D are collinear [00]
CE ⟂ CD [01]
F,D,C are collinear [02]
BF ⟂ BD [03]
F,E,G are collinear [04]
GE = GF [05]
HD = HC [06]
HB = HD [07]
* Auxiliary Constructions:
: Points
* Proof steps:
001. HD = HC [06] & HB = HD [07] ⇒ H is the circumcenter of \Delta CDB [08]
002. F,C,D are collinear [02] & B,E,D are collinear [00] & BF ⟂ BD [03] & CE ⟂ CD [01] ⇒ ∠FCE = ∠FBE [09]
003. ∠FCE = ∠FBE [09] ⇒ F,B,E,C are concyclic [10]
004. F,B,E,C are concyclic [10] ⇒ ∠FEB = ∠FCB [11]
005. B,E,D are collinear [00] & BD ⟂ BF [03] ⇒ BE ⟂ FB [12]
006. F,E,G are collinear [04] & GE = GF [05] ⇒ G is midpoint of EF [13]
007. BE ⟂ FB [12] & G is midpoint of EF [13] ⇒ EG = BG [14]
008. EG = BG [14] ⇒ ∠GBE = ∠BEG [15]
009. ∠FEB = ∠FCB [11] & B,E,D are collinear [00] & F,D,C are collinear [02] & ∠GBE = ∠BEG [15] & F,E,G are collinear [04] ⇒ ∠GBD = ∠BCD [16]
010. H is the circumcenter of \Delta CDB [08] & ∠GBD = ∠BCD [16] ⇒ BH ⟂ BG
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14. examples/complete2/013/complete_000_2_PWW_A018.gex
o a = segment o a; p = on_circle p a o; q = intersection_cc q a o p; r = lc_tangent r p a, on_circle r o p ? cong p q p r
○ 번역 : 추후 업데이트
○ 풀이 : AlphaGeometry를 사용한 풀이
==========================
* From theorem premises:
A B C D E : Points
BC = BA [00]
BC = BD [01]
AC = AD [02]
CE ⟂ BC [03]
AE = AC [04]
* Auxiliary Constructions:
: Points
* Proof steps:
001. BC = BD [01] & BC = BA [00] ⇒ B is the circumcenter of \Delta CDA [05]
002. B is the circumcenter of \Delta CDA [05] & CE ⟂ BC [03] ⇒ ∠ECA = ∠CDA [06]
003. AC = AD [02] ⇒ ∠ADC = ∠DCA [07]
004. AE = AC [04] ⇒ ∠CEA = ∠ACE [08]
005. ∠ADC = ∠DCA [07] & ∠ACE = ∠ADC [06] & ∠CEA = ∠ACE [08] ⇒ ∠CEA = ∠DCA [09]
006. ∠ECA = ∠CDA [06] & ∠CEA = ∠DCA [09] (Similar Triangles)⇒ DA:CA = DC:CE [10]
007. DA:CA = DC:CE [10] & AC = AD [02] ⇒ DC = CE
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15. examples/complete2/013/complete_004_6_GDD_FULL_81-109_88.gex
o x l = triangle o x l; a = foot a l o x; y = free y; b = foot b l o y; p = mirror p l a; q = mirror q l b; q1 = on_line q1 l a, on_line q1 o y; p1 = on_line p1 o x, on_line p1 l b ? cyclic o p q p1
○ 번역
삼각형 OXL이 주어져 있습니다. 점 A는 L에서 OX에 내린 수선의 발입니다. Y는 자유롭게 선택된 점입니다. 점 B는 L에서 OY에 내린 수선의 발입니다. P는 직선 L에 대해 A의 대칭점이고, Q는 직선 L에 대해 B의 대칭점입니다. 점 Q1은 직선 LA와 OY의 교점이고, 점 P1은 직선 OX와 LB의 교점입니다. 점 O, P, Q, P1이 한 원 위에 있음을 증명하시오.
○ 풀이 : AlphaGeometry를 사용한 풀이
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* From theorem premises:
A B C D E F G H J : Points
B,D,A are collinear [00]
CD ⟂ AB [01]
E,F,A are collinear [02]
CF ⟂ AE [03]
D,G,C are collinear [04]
DC = DG [05]
H,F,C are collinear [06]
FC = FH [07]
F,J,C are collinear [08]
B,J,A are collinear [09]
* Auxiliary Constructions:
I : Points
D,I,C are collinear [10]
E,I,A are collinear [11]
* Proof steps:
001. H,F,C are collinear [06] & E,I,A are collinear [11] & E,F,A are collinear [02] & CF ⟂ AE [03] ⇒ ∠HFI = ∠IFC [12]
002. FC = FH [07] & ∠HFI = ∠IFC [12] (SAS)⇒ ∠FHI = ∠ICF [13]
003. D,G,C are collinear [04] & B,J,A are collinear [09] & B,D,A are collinear [00] & CD ⟂ AB [01] ⇒ ∠GDJ = ∠JDC [14]
004. DC = DG [05] & ∠GDJ = ∠JDC [14] (SAS)⇒ ∠DGJ = ∠JCD [15]
005. D,I,C are collinear [10] & D,G,C are collinear [04] & F,J,C are collinear [08] & H,F,C are collinear [06] & ∠FHI = ∠ICF [13] & ∠DGJ = ∠JCD [15] ⇒ ∠IGJ = ∠IHJ [16]
006. ∠IGJ = ∠IHJ [16] ⇒ H,I,J,G are concyclic [17]
007. H,F,C are collinear [06] & E,I,A are collinear [11] & CF ⟂ AE [03] ⇒ HF ⟂ EI [18]
008. D,I,C are collinear [10] & D,A,B are collinear [00] & CD ⟂ AB [01] ⇒ DI ⟂ BD [19]
009. HF ⟂ EI [18] & DI ⟂ BD [19] ⇒ ∠(HF-DI) = ∠(EI-BD) [20]
010. D,I,C are collinear [10] & D,G,C are collinear [04] & E,I,A are collinear [11] & B,J,A are collinear [09] & ∠(HF-DI) = ∠(EI-BD) [20] & H,F,C are collinear [06] & B,D,A are collinear [00] & ∠DGJ = ∠JCD [15] & F,J,C are collinear [08] ⇒ ∠IGJ = ∠IAJ [21]
011. ∠IGJ = ∠IAJ [21] ⇒ I,J,G,A are concyclic [22]
012. H,I,J,G are concyclic [17] & I,J,G,A are concyclic [22] ⇒ A,G,H,J are concyclic
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16. examples/complete2/013/complete_003_6_GDD_FULL_21-40_24.gex
q r p = triangle q r p; o1 = circle o1 q r p; s = on_circle s o1 q; y = on_line y q s; o = circle o y p q; x = on_circle x o q; i = on_line i r s, on_line i y x ? eqangle i r i x p r p x
○ 번역
삼각형 QRP가 주어져 있습니다. O1은 삼각형 QRP의 외심입니다. 점 S는 중심이 O1이고 Q를 지나는 원 위에 있습니다. 점 Y는 선분 QS 위에 있습니다. O는 삼각형 YPQ의 외심입니다. 점 X는 중심이 O이고 Q를 지나는 원 위에 있습니다. 점 I는 직선 RS와 YX의 교점입니다. ∠RIX=∠RPX임을 증명하시오.
○ 풀이 : AlphaGeometry를 사용한 풀이
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* From theorem premises:
A B C D E F G H I : Points
DB = DC [00]
DA = DB [01]
DE = DA [02]
A,F,E are collinear [03]
GC = GA [04]
GF = GC [05]
GH = GA [06]
B,I,E are collinear [07]
F,H,I are collinear [08]
* Auxiliary Constructions:
: Points
* Proof steps:
001. DB = DC [00] & DA = DB [01] & DE = DA [02] ⇒ A,B,E,C are concyclic [09]
002. A,B,E,C are concyclic [09] ⇒ ∠BEA = ∠BCA [10]
003. B,I,E are collinear [07] & A,F,E are collinear [03] & ∠BCA = ∠BEA [10] ⇒ ∠BCA = ∠(BI-AF) [11]
004. GC = GA [04] & GH = GA [06] & GF = GC [05] ⇒ A,F,H,C are concyclic [12]
005. A,F,H,C are concyclic [12] ⇒ ∠AFH = ∠ACH [13]
006. ∠BCA = ∠(BI-AF) [11] & ∠AFH = ∠ACH [13] ⇒ ∠BCH = ∠(BI-FH) [14]
007. B,I,E are collinear [07] & H,I,F are collinear [08] & ∠BCH = ∠(BI-FH) [14] ⇒ ∠BIH = ∠BCH
==========================
17. examples/complete2/013/complete_003_6_GDD_FULL_21-40_32.gex
b c r = triangle b c r; o = circle o b c r; s = on_circle s o b; a = on_line a b r, on_line a c s; m = foot m a r s; n = foot n a b c ? eqangle a b a m a n a c
○ 번역
삼각형 BCR이 주어져 있습니다. O는 삼각형 BCR의 외심입니다. 점 S는 중심이 O이고 점 B를 지나는 원 위에 있습니다. 점 A는 직선 BR과 CS의 교점입니다. 점 M은 A에서 RS에 내린 수선의 발이고, 점 N은 A에서 BC에 내린 수선의 발입니다. ∠BAM = ∠NAC임을 증명하시오.
○ 풀이 : AlphaGeometry를 사용한 풀이
==========================
* From theorem premises:
A B C D E F G H : Points
DB = DC [00]
DA = DB [01]
DE = DA [02]
F,C,A are collinear [03]
E,B,F are collinear [04]
E,C,G are collinear [05]
FG ⟂ CE [06]
B,A,H are collinear [07]
FH ⟂ AB [08]
* Auxiliary Constructions:
: Points
* Proof steps:
001. FH ⟂ AB [08] & FG ⟂ CE [06] ⇒ ∠(AB-FH) = ∠(FG-CE) [09]
002. E,C,G are collinear [05] & B,A,H are collinear [07] & ∠(FG-CE) = ∠(AB-FH) [09] ⇒ ∠FGE = ∠AHF [10]
003. DB = DC [00] & DA = DB [01] & DE = DA [02] ⇒ E,B,C,A are concyclic [11]
004. E,B,C,A are concyclic [11] ⇒ ∠BEC = ∠BAC [12]
005. E,F,B are collinear [04] & E,C,G are collinear [05] & B,A,H are collinear [07] & F,C,A are collinear [03] & ∠BEC = ∠BAC [12] ⇒ ∠FEG = ∠HAF [13]
006. ∠FGE = ∠AHF [10] & ∠FEG = ∠HAF [13] (Similar Triangles)⇒ ∠GFE = ∠AFH [14]
007. F,C,A are collinear [03] & B,F,E are collinear [04] & ∠GFE = ∠AFH [14] ⇒ ∠AFG = ∠HFB
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18. examples/complete2/013/complete_002_6_GDD_FULL_41-60_54.gex
a b c = r_triangle a b c; d = foot d a b c; o = midpoint o c b; m = foot m b a o; g = on_line g b m, on_circle g o a; f = on_line f c a, on_line f b m; e = on_line e a d, on_line e b m ? cong e a e b
○ 번역
삼각형 ABC가 주어져 있으며, ∠A가 직각입니다. 점 D는 A에서 BC에 내린 수선의 발입니다. O는 선분 CB의 중점입니다. 점 M은 B에서 AO로 내린 수선의 발입니다. 점 G는 직선 BM 위에 있고, 중심이 O이고 A를 지나는 원 위에 있습니다. 점 F는 직선 CA와 BM의 교점입니다. 점 E는 직선 AD와 BM의 교점입니다. 선분 EA와 선분 EB의 길이가 같음을 증명하시오.
○ 풀이 : AlphaGeometry를 사용한 풀이
==========================
* From theorem premises:
A B C D E F I : Points
AB ⟂ AC [00]
AD ⟂ BC [01]
C,E,B are collinear [02]
EC = EB [03]
BF ⟂ AE [04]
A,I,D are collinear [05]
I,B,F are collinear [06]
* Auxiliary Constructions:
G H : Points
G,B,F are collinear [07]
A,H,C are collinear [08]
* Proof steps:
001. A,H,C are collinear [08] & AB ⟂ AC [00] ⇒ AB ⟂ AH [09]
002. A,I,D are collinear [05] & C,E,B are collinear [02] & AD ⟂ BC [01] ⇒ AI ⟂ CE [10]
003. AB ⟂ AH [09] & AI ⟂ CE [10] ⇒ ∠BAI = ∠(AH-CE) [11]
004. C,E,B are collinear [02] & A,I,D are collinear [05] & ∠BAI = ∠(AH-CE) [11] & A,H,C are collinear [08] ⇒ ∠ACE = ∠BAI [12]
005. G,B,F are collinear [07] & BF ⟂ AE [04] ⇒ GB ⟂ AE [13]
006. AI ⟂ CE [10] & GB ⟂ AE [13] ⇒ ∠(AI-GB) = ∠CEA [14]
007. C,E,B are collinear [02] & I,B,F are collinear [06] & A,I,D are collinear [05] & ∠(AI-GB) = ∠CEA [14] & G,B,F are collinear [07] ⇒ ∠AEC = ∠BIA [15]
008. ∠ACE = ∠BAI [12] & ∠AEC = ∠BIA [15] (Similar Triangles)⇒ EA:EC = IB:IA [16]
009. C,E,B are collinear [02] & EC = EB [03] ⇒ E is midpoint of BC [17]
010. AB ⟂ AC [00] & E is midpoint of BC [17] ⇒ CE = AE [18]
011. EA:EC = IB:IA [16] & CE = AE [18] ⇒ IB = IA
==========================
19. examples/complete2/013/complete_005_Other_ndg1_53.gex
a o = segment a o; b = on_circle b o a; c = on_line c a b; e = intersection_tt e b b o c c o; d = intersection_lt d c e a a o ? cong o e o d
○ 번역 : 추후 업데이트
○ 풀이 : AlphaGeometry를 사용한 풀이
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* From theorem premises:
A B C D E F : Points
BC = BA [00]
A,C,D are collinear [01]
DE ⟂ BD [02]
CE ⟂ BC [03]
D,F,E are collinear [04]
AF ⟂ AB [05]
* Auxiliary Constructions:
: Points
* Proof steps:
001. E,D,F are collinear [04] & DE ⟂ BD [02] & AF ⟂ AB [05] ⇒ ∠FAB = ∠FDB [06]
002. ∠FAB = ∠FDB [06] ⇒ A,D,B,F are concyclic [07]
003. A,D,B,F are concyclic [07] ⇒ ∠ADF = ∠ABF [08]
004. BC = BA [00] ⇒ ∠CAB = ∠BCA [09]
005. DE ⟂ BD [02] & CE ⟂ BC [03] ⇒ ∠ECB = ∠EDB [10]
006. ∠ECB = ∠EDB [10] ⇒ C,D,B,E are concyclic [11]
007. C,D,B,E are concyclic [11] ⇒ ∠CDE = ∠CBE [12]
008. D,F,E are collinear [04] & ∠ADF = ∠ABF [08] & A,C,D are collinear [01] & ∠CAB = ∠BCA [09] & ∠CDE = ∠CBE [12] ⇒ ∠BEF = ∠EFB [13]
009. ∠BEF = ∠EFB [13] ⇒ BE = BF
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20. examples/complete2/013/complete_002_6_GDD_FULL_41-60_56.gex
m a b = iso_triangle m a b; o = circle o a b m; d = on_line d m o, on_line d a b; e = on_tline e a a o, on_pline e m a o ? cong m e m d
○ 번역 : 삼각형 MAB는 MA = MB인 이등변삼각형입니다. O는 삼각형 ABM의 외심입니다. 점 D는 선 MO와 AB의 교점입니다. 점 E는 A를 지나고 AO에 수직인 직선 위에 있으며, 선분 EM과 AO는 평행합니다. 선분 ME와 선분 MD의 길이가 같음을 증명하시오.
○ 풀이 : AlphaGeometry를 사용한 풀이
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* From theorem premises:
A B C D E F : Points
AB = AC [00]
DB = DC [01]
DC = DA [02]
A,E,D are collinear [03]
B,C,E are collinear [04]
BF ⟂ BD [05]
FA ∥ BD [06]
* Auxiliary Constructions:
: Points
* Proof steps:
001. AB = AC [00] & DB = DC [01] ⇒ BC ⟂ AD [07]
002. A,E,D are collinear [03] & B,C,E are collinear [04] & BC ⟂ AD [07] & BF ⟂ BD [05] & BD ∥ AF [06] ⇒ ∠AFB = ∠AEC [08]
003. DC = DA [02] & DB = DC [01] ⇒ D is the circumcenter of \Delta BAC [09]
004. D is the circumcenter of \Delta BAC [09] & BF ⟂ BD [05] ⇒ ∠ABF = ∠ACB [10]
005. B,C,E are collinear [04] & ∠ABF = ∠ACB [10] ⇒ ∠ABF = ∠ACE [11]
006. ∠AFB = ∠AEC [08] & ∠ABF = ∠ACE [11] (Similar Triangles)⇒ AB:AC = AF:AE [12]
007. AB:AC = AF:AE [12] & AB = AC [00] ⇒ AF = AE
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입력: 2024.08.07 13:24
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