jgex_ag_231 기하 문제 풀이 [61-80]
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61. examples/complete2/009/complete_011_Other_Auxiliary_aux2_trapezoid.gex
a b c d = trapezoid a b c d; e = midpoint e d a; f = on_pline f e a b, on_line f b c ? midp f b c
○ 번역
사다리꼴 ABCD가 주어져 있습니다. AB와 CD는 서로 평행합니다. E는 선분 DA의 중점입니다. 점 F는 E를 지나고 AB에 평행한 직선과 선분 BC의 교점입니다. 점 F가 선분 BC의 중점임을 증명하시오.
○ 풀이 : AlphaGeometry를 사용한 풀이
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* From theorem premises:
A B C D E F : Points
AB ∥ CD [00]
D,A,E are collinear [01]
ED = EA [02]
F,B,C are collinear [03]
FE ∥ AB [04]
* Auxiliary Constructions:
: Points
* Proof steps:
001. AB ∥ CD [00] & EF ∥ AB [04] ⇒ FE ∥ DC [05]
002. AB ∥ CD [00] & D,A,E are collinear [01] & F,B,C are collinear [03] & FE ∥ DC [05] ⇒ ED:EA = FC:FB [06]
003. F,B,C are collinear [03] & ED:EA = FC:FB [06] & ED = EA [02] ⇒ F is midpoint of BC
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62. examples/complete2/009/complete_016_7_Book_00EE_06_E057-37.gex
a b c = triangle a b c; d = eq_triangle d a b; e = eq_triangle e a c; f = parallelogram c e d f ? cong b f f c
○ 번역
삼각형 ABC가 주어져 있습니다. DAB와 EAC는 각각 정삼각형입니다. CEDF는 평행사변형입니다. 선분 BF와 선분 FC의 길이가 같음을 증명하시오.
○ 풀이 : AlphaGeometry를 사용한 풀이
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* From theorem premises:
A B C D E F : Points
AB = BD [00]
DA = AB [01]
AE = AC [02]
CE = CA [03]
CE ∥ DF [04]
CF ∥ ED [05]
* Auxiliary Constructions:
: Points
* Proof steps:
001. CE ∥ DF [04] & DE ∥ CF [05] ⇒ ∠CED = ∠DFC [06]
002. DE ∥ CF [05] ⇒ ∠CDE = ∠DCF [07]
003. ∠CED = ∠DFC [06] & ∠CDE = ∠DCF [07] (Similar Triangles)⇒ DE = CF [08]
004. ∠CED = ∠DFC [06] & ∠CDE = ∠DCF [07] (Similar Triangles)⇒ CE = DF [09]
005. AB = BD [00] & DA = AB [01] ⇒ DA = DB [10]
006. DA = DB [10] & AE = AC [02] ⇒ DA:DB = AE:AC [11]
007. BA = BD [00] & CE = CA [03] ⇒ BA:BD = CE:CA [12]
008. BA = BD [00] & CE = CA [03] ⇒ BA:BD = CA:CE [13]
009. DA:DB = AE:AC [11] & BA:BD = CE:CA [12] (Similar Triangles)⇒ AD:AB = EA:EC [14]
010. CE = DF [09] & AD:AB = EA:EC [14] & DA = AB [01] ⇒ AE = DF [15]
011. DA = DB [10] & AD:AB = EA:EC [14] & DA = AB [01] ⇒ DA:DB = EA:EC [16]
012. DA:DB = EA:EC [16] & BA:BD = CA:CE [13] (Similar Triangles)⇒ ∠DAE = ∠(BD-CE) [17]
013. ∠DAE = ∠(BD-CE) [17] & CE ∥ DF [04] ⇒ ∠DAE = ∠BDF [18]
014. DA = DB [10] & AE = DF [15] & ∠DAE = ∠BDF [18] (SAS)⇒ ED = FB [19]
015. DE = CF [08] & ED = FB [19] ⇒ BF = FC
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63. examples/complete2/008/complete_004_6_GDD_FULL_81-109_100.gex
a c = segment a c; b = eq_triangle b c a; e = mirror e c b; d = mirror d b e; f = foot f d a b ? perp a c c f
○ 번역
선분 AC가 주어져 있습니다. BCA는 정삼각형입니다. B는 CE의 중점입니다. E는 BD의 중점입니다. F는 D에서 AB로 내린 수선의 발입니다. 선분 AC와 CF가 서로 수직임을 증명하시오.
○ 풀이 : AlphaGeometry를 사용한 풀이
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* From theorem premises:
A B C D E F : Points
CB = BA [00]
BA = AC [01]
CB = CD [02]
C,D,B are collinear [03]
C,E,D are collinear [04]
DC = DE [05]
C,A,F are collinear [06]
EF ⟂ AC [07]
* Auxiliary Constructions:
: Points
* Proof steps:
001. C,F,A are collinear [06] & AC ⟂ EF [07] ⇒ CF ⟂ FE [08]
002. D,C,E are collinear [04] & DC = DE [05] ⇒ D is midpoint of CE [09]
003. CF ⟂ FE [08] & D is midpoint of CE [09] ⇒ CD = FD [10]
004. CB = BA [00] & CB = CD [02] & CD = FD [10] ⇒ DF = BA [11]
005. CB = BA [00] ⇒ ∠BAC = ∠ACB [12]
006. CD = FD [10] ⇒ ∠DFC = ∠FCD [13]
007. ∠BAC = ∠ACB [12] & ∠DFC = ∠FCD [13] & C,A,F are collinear [06] & C,D,B are collinear [03] ⇒ ∠(DF-AC) = ∠BAC [14]
008. C,F,A are collinear [06] & ∠(DF-AC) = ∠BAC [14] ⇒ ∠DFA = ∠BAF [15]
009. DF = BA [11] & ∠DFA = ∠BAF [15] (SAS)⇒ ∠FDA = ∠ABF [16]
010. ∠BAC = ∠(DF-CA) [14] ⇒ AB ∥ DF [17]
011. BA = AC [01] & CB = BA [00] & CB = CD [02] ⇒ C is the circumcenter of \Delta DAB [18]
012. C is the circumcenter of \Delta DAB [18] & C,D,B are collinear [03] ⇒ AD ⟂ AB [19]
013. ∠FDA = ∠ABF [16] & AB ∥ DF [17] & AD ⟂ AB [19] ⇒ AB ⟂ BF
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64. examples/complete2/008/complete_005_Other_ndgs_02.gex
b a c = triangle b a c; d = foot d b a c; e = foot e c a b; f = intersection_ll f b d c e ? perp b c a f
○ 번역 : 추후 업데이트
○ 풀이 : AlphaGeometry를 사용한 풀이
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* From theorem premises:
A B C D E F : Points
C,D,B are collinear [00]
AD ⟂ BC [01]
E,A,B are collinear [02]
CE ⟂ AB [03]
F,D,A are collinear [04]
C,F,E are collinear [05]
* Auxiliary Constructions:
: Points
* Proof steps:
001. C,D,B are collinear [00] & B,A,E are collinear [02] & CE ⟂ AB [03] & AD ⟂ BC [01] ⇒ ∠CDA = ∠CEA [06]
002. ∠CDA = ∠CEA [06] ⇒ C,D,A,E are concyclic [07]
003. C,D,A,E are concyclic [07] ⇒ ∠CDE = ∠CAE [08]
004. C,D,B are collinear [00] & F,D,A are collinear [04] & B,A,E are collinear [02] & C,F,E are collinear [05] & CE ⟂ AB [03] & AD ⟂ BC [01] ⇒ ∠BDF = ∠BEF [09]
005. ∠BDF = ∠BEF [09] ⇒ E,F,D,B are concyclic [10]
006. E,F,D,B are concyclic [10] ⇒ ∠EDF = ∠EBF [11]
007. F,A,D are collinear [04] & C,D,B are collinear [00] & ∠CDE = ∠CAE [08] & E,A,B are collinear [02] & ∠EDF = ∠EBF [11] ⇒ ∠DFB = ∠DCA [12]
008. C,D,B are collinear [00] & F,A,D are collinear [04] & BC ⟂ AD [01] ⇒ CD ⟂ FD [13]
009. ∠DFB = ∠DCA [12] & CD ⟂ FD [13] ⇒ AC ⟂ BF
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65. examples/complete2/008/complete_008_ex-gao_ex160_205.gex
c a b = r_triangle c a b; d = midpoint d c a; f = midpoint f c b; e = on_line e a b, on_circle e d c ? perp d e e f
○ 번역
직각삼각형 CAB가 주어져 있으며, ∠C는 직각입니다. D는 선분 CA의 중점입니다. F는 선분 CB의 중점입니다. 점 E는 선 AB 위에 있으며, D를 중심으로 하고 C를 지나는 원 위에 있습니다. 선분 DE와 선분 EF가 서로 수직임을 증명하시오.
○ 풀이 : AlphaGeometry를 사용한 풀이
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* From theorem premises:
A B C D E F : Points
AB ⟂ AC [00]
B,D,A are collinear [01]
DA = DB [02]
C,E,A are collinear [03]
EA = EC [04]
DF = DA [05]
C,B,F are collinear [06]
* Auxiliary Constructions:
: Points
* Proof steps:
001. DF = DA [05] & DA = DB [02] ⇒ DB = DF [07]
002. DB = DF [07] ⇒ ∠DBF = ∠BFD [08]
003. B,D,A are collinear [01] & DA = DB [02] ⇒ D is midpoint of AB [09]
004. C,E,A are collinear [03] & EA = EC [04] ⇒ E is midpoint of AC [10]
005. D is midpoint of AB [09] & E is midpoint of AC [10] ⇒ DE ∥ BC [11]
006. B,D,A are collinear [01] & ∠DBF = ∠BFD [08] & C,B,F are collinear [06] & BC ∥ DE [11] ⇒ ∠ADE = ∠EDF [12]
007. DF = DA [05] & ∠ADE = ∠EDF [12] (SAS)⇒ ∠DAE = ∠EFD [13]
008. ∠DAE = ∠EFD [13] & B,D,A are collinear [01] & C,E,A are collinear [03] & AB ⟂ AC [00] ⇒ DF ⟂ FE
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66. examples/complete2/008/complete_015_7_Book_00EE_08_E061-62.gex
a b = segment a b; c = on_circle c a b; e = on_circle e a b; d = on_circle d a b, on_circle d b c; f = on_circle f b c, on_line f c e ? cong e d e f
○ 번역
선분 AB가 주어져 있습니다. 점 C와 점 E는 A를 중심으로 하고 B를 지나는 원 위에 있습니다. 점 D는 A를 중심으로 하고 B를 지나는 원과 B를 중심으로 하고 C를 지나는 원의 교점입니다. 점 F는 B를 중심으로 하고 C를 지나는 원과 선분 CE의 교점입니다. 선분 와 선분 의 길이가 같음을 증명하시오.
○ 풀이 : AlphaGeometry를 사용한 풀이
==========================
* From theorem premises:
A B C D E F : Points
AC = AB [00]
AD = AB [01]
AE = AB [02]
BE = BC [03]
F,C,D are collinear [04]
BF = BC [05]
* Auxiliary Constructions:
: Points
* Proof steps:
001. AD = AB [01] & AE = AB [02] & AC = AB [00] ⇒ B,E,C,D are concyclic [06]
002. B,E,C,D are concyclic [06] ⇒ ∠CEB = ∠CDB [07]
003. B,E,C,D are concyclic [06] ⇒ ∠BCE = ∠BDE [08]
004. B,E,C,D are concyclic [06] ⇒ ∠BED = ∠BCD [09]
005. BE = BC [03] ⇒ ∠CEB = ∠BCE [10]
006. C,D,F are collinear [04] & ∠CEB = ∠CDB [07] & ∠CEB = ∠BCE [10] & ∠BCE = ∠BDE [08] ⇒ ∠BDE = ∠FDB [11]
007. BF = BC [05] ⇒ ∠BFC = ∠FCB [12]
008. C,D,F are collinear [04] & ∠BFC = ∠FCB [12] & ∠BED = ∠BCD [09] ⇒ ∠BED = ∠DFB [13]
009. ∠BDE = ∠FDB [11] & ∠BED = ∠DFB [13] (Similar Triangles)⇒ DE = DF
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67. examples/complete2/008/complete_015_7_Book_00EE_06_E051-31.gex
a b c = triangle a b c; d = parallelogram a b c d; e = eq_triangle e a b; f = eq_triangle f b c ? cong d e d f
○ 번역
삼각형 ABC가 주어져 있습니다. ABCD는 평행사변형입니다. EAB와 FBC는 각각 정삼각형입니다. 선분 DE와 선분 DF의 길이가 같음을 증명하시오.
○ 풀이 : AlphaGeometry를 사용한 풀이
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* From theorem premises:
A B C D E F : Points
AB ∥ CD [00]
AD ∥ BC [01]
EA = AB [02]
AB = BE [03]
BC = CF [04]
BC = BF [05]
* Auxiliary Constructions:
: Points
* Proof steps:
001. AB ∥ CD [00] & BC ∥ AD [01] ⇒ ∠ABC = ∠CDA [06]
002. BC ∥ AD [01] ⇒ ∠ACB = ∠CAD [07]
003. ∠ABC = ∠CDA [06] & ∠ACB = ∠CAD [07] (Similar Triangles)⇒ AB = CD [08]
004. ∠ABC = ∠CDA [06] & ∠ACB = ∠CAD [07] (Similar Triangles)⇒ CB = AD [09]
005. AB = CD [08] & EA = AB [02] ⇒ EA = DC [10]
006. BC = CF [04] & CB = AD [09] ⇒ AD = CF [11]
007. AB = BE [03] & EA = AB [02] & BC = BF [05] ⇒ EA:EB = BC:BF [12]
008. BA = BE [03] & BC = CF [04] & FB = BC [05] ⇒ BA:BE = FC:FB [13]
009. EA:EB = BC:BF [12] & BA:BE = FC:FB [13] (Similar Triangles)⇒ ∠(AE-BC) = ∠(AB-CF) [14]
010. ∠(AE-BC) = ∠(AB-CF) [14] & AB ∥ CD [00] & BC ∥ AD [01] ⇒ ∠EAD = ∠DCF [15]
011. EA = DC [10] & AD = CF [11] & ∠EAD = ∠DCF [15] (SAS)⇒ DE = FD
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68. examples/complete2/008/complete_011_7_Book_00EE_03_E037-22.gex
c a b = risos c a b; e = midpoint e b a; d = on_line d a b, on_circle d b c; f = on_line f a c, on_circle f c e ? perp a c f d
○ 번역
AB = AC이고 AB와 AC가 수직한 직각삼각형 ABC가 주어져 있습니다. E는 선분 BA의 중점입니다. 점 D는 직선 AB 위에 있으며, B를 중심으로 하고 C를 지나는 원 위에 있습니다. 점 F는 직선 AC 위에 있으며, C를 중심으로 하고 E를 지나는 원 위에 있습니다. 선분 AC와 FD가 서로 수직임을 증명하시오.
○ 풀이 : AlphaGeometry를 사용한 풀이
==========================
* From theorem premises:
A B C D E F : Points
AB ⟂ AC [00]
AB = AC [01]
D,B,C are collinear [02]
DC = DB [03]
CE = CA [04]
B,E,C are collinear [05]
AF = AD [06]
F,A,B are collinear [07]
* Auxiliary Constructions:
: Points
* Proof steps:
001. AB = AC [01] & DC = DB [03] ⇒ BC ⟂ AD [08]
002. C,B,D are collinear [02] & BC ⟂ AD [08] & AB ⟂ AC [00] ⇒ ∠BAC = ∠ADB [09]
003. AB = AC [01] ⇒ ∠BCA = ∠ABC [10]
004. C,B,D are collinear [02] & ∠BCA = ∠ABC [10] ⇒ ∠BCA = ∠ABD [11]
005. ∠BAC = ∠ADB [09] & ∠BCA = ∠ABD [11] (Similar Triangles)⇒ BA:BC = AD:AB [12]
006. BA:BC = AD:AB [12] & AB = AC [01] & FA = AD [06] & EC = AC [04] ⇒ BA:AF = BC:CE [13]
007. BA:AF = BC:CE [13] & F,A,B are collinear [07] & B,E,C are collinear [05] ⇒ AC ∥ FE [14]
008. AB ⟂ AC [00] & AC ∥ EF [14] ⇒ BA ⟂ FE
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69. examples/complete2/008/complete_011_7_Book_00EE_03_E037-21.gex
a b = segment a b; c = on_circle c a b; d = lc_tangent d c a, on_line d a b; e = on_line e a b, on_circle e a b; f = on_pline f a c e, on_line f c d ? perp f b a b
○ 번역 : 추후 업데이트
○ 풀이 : AlphaGeometry를 사용한 풀이
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* From theorem premises:
A B C D E F : Points
AC = AB [00]
CD ⟂ AC [01]
AE = AB [02]
E,B,A are collinear [03]
FA ∥ CE [04]
F,D,C are collinear [05]
* Auxiliary Constructions:
: Points
* Proof steps:
001. AC = AB [00] & AE = AB [02] ⇒ AE = AC [06]
002. AE = AC [06] ⇒ ∠AEC = ∠ECA [07]
003. ∠AEC = ∠ECA [07] & E,B,A are collinear [03] & CE ∥ AF [04] ⇒ ∠BAF = ∠FAC [08]
004. AC = AB [00] & ∠BAF = ∠FAC [08] (SAS)⇒ ∠ABF = ∠FCA [09]
005. ∠ABF = ∠FCA [09] & F,D,C are collinear [05] & CD ⟂ AC [01] ⇒ FB ⟂ AB
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70. examples/complete2/008/complete_011_7_Book_00EE_04_E051-5.gex
c a = segment c a; b = eq_triangle b c a; d = circumcenter d c a b; e = on_pline e d a c, on_line e a b; f = on_pline f d b c, on_line f a b ? cong a e e f
○ 번역
선분 CA가 주어져 있습니다. BCA는 정삼각형입니다. D는 삼각형 CAB의 외심입니다. 점 E는 D를 지나고 AC에 평행한 직선 위에 있으며, 직선 AB 위에 있습니다. 점 F는 D를 지나고 BC에 평행한 직선 위에 있으며, 직선 AB 위에 있습니다. 선분 AE와 선분 EF의 길이가 같음을 증명하시오.
○ 풀이 : AlphaGeometry를 사용한 풀이
==========================
* From theorem premises:
A B C D E F : Points
AB = BC [00]
DB = DC [01]
DA = DB [02]
ED ∥ BA [03]
B,C,E are collinear [04]
FD ∥ CA [05]
B,F,C are collinear [06]
* Auxiliary Constructions:
: Points
* Proof steps:
001. AB ∥ DE [03] & AC ∥ DF [05] ⇒ ∠BAC = ∠EDF [07]
002. B,F,C are collinear [06] & B,C,E are collinear [04] & AC ∥ DF [05] ⇒ ∠BCA = ∠EFD [08]
003. ∠BAC = ∠EDF [07] & ∠BCA = ∠EFD [08] (Similar Triangles)⇒ BA:BC = ED:EF [09]
004. DB = DC [01] & DA = DB [02] ⇒ DA = DC [10]
005. AB = BC [00] & DA = DC [10] (SSS)⇒ ∠CBD = ∠DBA [11]
006. B,C,E are collinear [04] & ∠CBD = ∠DBA [11] & AB ∥ DE [03] ⇒ ∠EBD = ∠BDE [12]
007. ∠EBD = ∠BDE [12] ⇒ EB = ED [13]
008. BA:BC = ED:EF [09] & AB = BC [00] & EB = ED [13] ⇒ BE = EF
==========================
71. examples/complete2/008/complete_003_6_GDD_FULL_more_E009-1.gex
a c = segment a c; b = on_tline b c a c; d = on_dia d b a, on_circle d a c; e = on_line e b c, on_circle e a b; f = on_line f b d, on_circle f a b ? para c d e f
○ 번역
선분 AC가 주어져 있습니다. 점 B는 점 C를 지나고 선분 AC에 수직인 직선 위에 있습니다. 선분 BD와 AD가 수직하고, 점 D는 A를 중심으로 하고 C를 지나는 원 위에 있습니다. 점 E는 직선 BC 위에 있으며, 점 A를 중심으로 하고 B를 지나는 원 위에 있습니다. 점 F는 직선 BD 위에 있으며, A를 중심으로 하고 B를 지나는 원 위에 있습니다. 선분 CD와 선분 EF가 서로 평행임을 증명하시오.
○ 풀이 : AlphaGeometry를 사용한 풀이
==========================
* From theorem premises:
A B C D E F : Points
BC ⟂ AB [00]
CD ⟂ AD [01]
B,E,C are collinear [02]
AE = AC [03]
D,F,C are collinear [04]
AF = AC [05]
* Auxiliary Constructions:
: Points
* Proof steps:
001. B,E,C are collinear [02] & BC ⟂ AB [00] ⇒ ∠ABE = ∠CBA [06]
002. AE = AC [03] ⇒ ∠ACE = ∠CEA [07]
003. B,E,C are collinear [02] & ∠ACE = ∠CEA [07] ⇒ ∠AEB = ∠BCA [08]
004. ∠ABE = ∠CBA [06] & ∠AEB = ∠BCA [08] (Similar Triangles)⇒ BE = BC [09]
005. B,E,C are collinear [02] & BE = BC [09] ⇒ B is midpoint of CE [10]
006. D,F,C are collinear [04] & CD ⟂ AD [01] ⇒ ∠ADF = ∠CDA [11]
007. AF = AC [05] ⇒ ∠AFC = ∠FCA [12]
008. D,F,C are collinear [04] & ∠AFC = ∠FCA [12] ⇒ ∠AFD = ∠DCA [13]
009. ∠ADF = ∠CDA [11] & ∠AFD = ∠DCA [13] (Similar Triangles)⇒ DF = DC [14]
010. D,F,C are collinear [04] & DF = DC [14] ⇒ D is midpoint of CF [15]
011. B is midpoint of CE [10] & D is midpoint of CF [15] ⇒ BD ∥ EF
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72. examples/complete2/008/complete_011_7_Book_00EE_03_E039-28.gex
a b = segment a b; c = on_circle c a b; d = on_circle d a b, on_circle d c b; e = mirror e d c; f = on_circle f a b, on_line f b e ? coll d a f
○ 번역
선분 AB가 주어져 있습니다. 점 C는 점 A를 중심으로 하고 점 B를 지나는 원 위에 있습니다. 점 D는 점 A를 중심으로 하고 점 B를 지나는 원과, 점 C를 중심으로 하고 점 B를 지나는 원의 교점입니다. 점 C는 DE의 중점입니다. 점 F는 점 A를 중심으로 하고 점 B를 지나는 원과 직선 BE의 교점입니다. 점 D, A, F가 한 직선 위에 있음을 증명하시오.
○ 풀이 : AlphaGeometry를 사용한 풀이
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* From theorem premises:
A B C D E F : Points
AC = AB [00]
AD = AB [01]
CD = CB [02]
CD = CE [03]
C,E,D are collinear [04]
AF = AB [05]
E,B,F are collinear [06]
* Auxiliary Constructions:
: Points
* Proof steps:
001. AC = AB [00] & AF = AB [05] ⇒ AF = AC [07]
002. AF = AC [07] (SSS)⇒ ∠AFC = ∠FCA [08]
003. AD = AB [01] & CD = CB [02] ⇒ DB ⟂ AC [09]
004. CD = CB [02] & CD = CE [03] ⇒ C is the circumcenter of \Delta DBE [10]
005. C is the circumcenter of \Delta DBE [10] & C,E,D are collinear [04] ⇒ BD ⟂ BE [11]
006. AC = AB [00] & AF = AB [05] & AD = AB [01] ⇒ C,B,F,D are concyclic [12]
007. C,B,F,D are concyclic [12] ⇒ ∠CFB = ∠CDB [13]
008. C,B,F,D are concyclic [12] ⇒ ∠DBC = ∠DFC [14]
009. CD = CB [02] ⇒ ∠CDB = ∠DBC [15]
010. ∠AFC = ∠FCA [08] & DB ⟂ AC [09] & BD ⟂ BE [11] & ∠CFB = ∠CDB [13] & E,B,F are collinear [06] & ∠CDB = ∠DBC [15] & ∠DBC = ∠DFC [14] ⇒ ∠DFC = ∠AFC [16]
011. ∠DFC = ∠AFC [16] ⇒ FD ∥ FA [17]
012. DF ∥ AF [17] ⇒ D,F,A are collinear
==========================
73. examples/complete2/008/complete_011_7_Book_00EE_03_E040-28-1.gex
c a b = iso_triangle c a b; d = on_line d b c; e = circle e a b d; f = on_circle f e a, on_line f a c ? para a b f d
○ 번역
CA와 CB가 길이가 같은 이등변삼각형 CAB가 주어져 있습니다. 점 D는 직선 BC 위에 있습니다. 점 E는 삼각형 ABD의 외심입니다. 점 F는 점 E를 중심으로 하고 점 A를 지나는 원과 직선 AC의 교점입니다. 선분 AB와 FD가 서로 평행임을 증명하시오.
○ 풀이 : AlphaGeometry를 사용한 풀이
==========================
* From theorem premises:
A B C D E F : Points
∠CBA = ∠ACB [00]
D,A,C are collinear [01]
EB = EC [02]
EC = ED [03]
A,F,B are collinear [04]
EF = EB [05]
* Auxiliary Constructions:
: Points
* Proof steps:
001. EB = EC [02] & EF = EB [05] & EC = ED [03] ⇒ D,F,C,B are concyclic [06]
002. D,F,C,B are concyclic [06] ⇒ ∠DFB = ∠DCB [07]
003. A,F,B are collinear [04] & ∠CBA = ∠ACB [00] & ∠DFB = ∠DCB [07] & D,A,C are collinear [01] ⇒ ∠DFA = ∠(CB-AF) [08]
004. ∠DFA = ∠(CB-AF) [08] ⇒ FD ∥ CB
==========================
74. examples/complete2/008/complete_018_ex-gao_ex160_4_004.gex
b a c = triangle b a c; d = on_line d b c, on_circle d a b; e = on_tline e c a c, on_tline e b a b; f = on_tline f d a d, on_line f c e ? cong e c c f
○ 번역
삼각형 BAC가 주어져 있습니다. 점 D는 직선 BC 위에 있으며, 점 A를 중심으로 하고 점 B를 지나는 원 위에 있습니다. 점 E는 점 C를 지나고 선분 AC에 수직인 선 위에 있으며, 점 B를 지나고 선분 AB에 수직인 선 위에 있습니다. 점 F는 점 D를 지나고 선분 AD에 수직인 선 위에 있으며, 직선 CE 위에 있습니다. 선분 EC와 선분 CF의 길이가 같음을 증명하시오.
○ 풀이 : AlphaGeometry를 사용한 풀이
==========================
* From theorem premises:
A B C D E F : Points
BD = BA [00]
A,C,D are collinear [01]
CE ⟂ BC [02]
AE ⟂ AB [03]
F,C,E are collinear [04]
DF ⟂ BD [05]
* Auxiliary Constructions:
: Points
* Proof steps:
001. F,C,E are collinear [04] & CE ⟂ BC [02] ⇒ ∠BCF = ∠ECB [06]
002. CE ⟂ BC [02] & AE ⟂ AB [03] ⇒ ∠BAE = ∠BCE [07]
003. ∠BAE = ∠BCE [07] ⇒ A,C,B,E are concyclic [08]
004. A,C,B,E are concyclic [08] ⇒ ∠CAB = ∠CEB [09]
005. BD = BA [00] ⇒ ∠BAD = ∠ADB [10]
006. F,C,E are collinear [04] & CE ⟂ BC [02] & DF ⟂ BD [05] ⇒ ∠FDB = ∠FCB [11]
007. ∠FDB = ∠FCB [11] ⇒ F,C,B,D are concyclic [12]
008. F,C,B,D are concyclic [12] ⇒ ∠FCD = ∠FBD [13]
009. F,C,E are collinear [04] & ∠CAB = ∠CEB [09] & ∠BAD = ∠ADB [10] & A,C,D are collinear [01] & ∠FCD = ∠FBD [13] ⇒ ∠BFC = ∠CEB [14]
010. ∠BCF = ∠ECB [06] & ∠BFC = ∠CEB [14] (Similar Triangles)⇒ CF = CE
==========================
75. examples/complete2/008/complete_014_7_Book_00EE_07_E059-50.gex
a b = segment a b; c = on_circle c a b; d = on_circle d a b; e = circle e c a d; f = on_line f b c, on_circle f e a ? cong d f f b
○ 번역
선분 AB가 주어져 있습니다. 점 C와 점 D는 점 A를 중심으로 하고 점 B를 지나는 원 위에 있습니다. 점 E는 삼각형 CAD의 외심입니다. 점 F는 직선 BC 위에 있으며, 점 E를 중심으로 하고 점 A를 지나는 원 위에 있습니다. 선분 DF와 선분 FB의 길이가 같음을 증명하시오.
○ 풀이 : AlphaGeometry를 사용한 풀이
==========================
* From theorem premises:
A B C D E F : Points
AC = AB [00]
AD = AB [01]
EC = EA [02]
EA = ED [03]
F,B,C are collinear [04]
EF = EA [05]
* Auxiliary Constructions:
: Points
* Proof steps:
001. EC = EA [02] & EF = EA [05] & EA = ED [03] ⇒ D,F,A,C are concyclic [06]
002. D,F,A,C are concyclic [06] ⇒ ∠AFD = ∠ACD [07]
003. D,F,A,C are concyclic [06] ⇒ ∠DAF = ∠DCF [08]
004. D,F,A,C are concyclic [06] ⇒ ∠DFC = ∠DAC [09]
005. AD = AB [01] & AC = AB [00] ⇒ AC = AD [10]
006. AC = AD [10] ⇒ ∠ACD = ∠CDA [11]
007. F,B,C are collinear [04] & ∠AFD = ∠ACD [07] & ∠ACD = ∠CDA [11] & ∠DAF = ∠DCF [08] ⇒ ∠BFA = ∠AFD [12]
008. AC = AB [00] ⇒ ∠BCA = ∠ABC [13]
009. F,B,C are collinear [04] & ∠DFC = ∠DAC [09] & ∠BCA = ∠ABC [13] ⇒ ∠ABF = ∠FDA [14]
010. ∠BFA = ∠AFD [12] & ∠ABF = ∠FDA [14] (Similar Triangles)⇒ FB = FD
==========================
76. examples/complete2/008/complete_013_7_Book_00EE_07_E057-44.gex
c a b = iso_triangle c a b; d = foot d a b c; e = foot e b a c; f = on_line f a d, on_line f b e ? cong f a f b
○ 번역
CA = CB인 이등변삼각형 CAB가 주어져 있습니다. 점 D는 A에서 BC로 내린 수선의 발입니다. 점 E는 B에서 AC로 내린 수선의 발입니다. 점 F는 직선 AD와 BE의 교점입니다. 선분 FA와 선분 FB의 길이가 같음을 증명하시오.
○ 풀이 : AlphaGeometry를 사용한 풀이
==========================
* From theorem premises:
A B C D E F : Points
∠CBA = ∠ACB [00]
D,A,C are collinear [01]
BD ⟂ AC [02]
B,E,A are collinear [03]
CE ⟂ AB [04]
B,D,F are collinear [05]
E,C,F are collinear [06]
* Auxiliary Constructions:
: Points
* Proof steps:
001. B,E,A are collinear [03] & D,A,C are collinear [01] & BD ⟂ AC [02] & CE ⟂ AB [04] ⇒ ∠CEB = ∠CDB [07]
002. B,E,A are collinear [03] & D,A,C are collinear [01] & ∠CBA = ∠ACB [00] ⇒ ∠CBE = ∠DCB [08]
003. ∠CEB = ∠CDB [07] & ∠CBE = ∠DCB [08] (Similar Triangles)⇒ ∠BCE = ∠DBC [09]
004. B,D,F are collinear [05] & E,C,F are collinear [06] & ∠DBC = ∠BCE [09] ⇒ ∠FBC = ∠BCF [10]
005. ∠FBC = ∠BCF [10] ⇒ FB = FC
==========================
77. examples/complete2/001/complete_006_7_Book_LLL_L046-16.gex
a b = segment a b; c = on_line c a b; d = on_circle d c a, on_circle d a c; e = on_aline e b a d c a, on_aline e c a d a b; f = on_line f c d, on_line f a e; g = on_line g b d, on_line g c e ? cong c f c g
○ 번역
선분 AB가 주어져 있습니다. 점 C는 직선 AB 위에 있습니다. 점 D는 점 C를 중심으로 하고 점 A를 지나는 원 위에 있으며, 점 A를 중심으로 하고 점 C를 지나는 원 위에 있습니다. 점 E는 ∠EBA = ∠DCA를 만족하며, ∠ECA = ∠DAB를 만족합니다. 점 F는 직선 CD와 AE의 교점입니다. 점 G는 직선 BD와 CE의 교점입니다. 선분 CF와 선분 CG의 길이가 같음을 증명하시오.
○ 풀이 : AlphaGeometry를 사용한 풀이
==========================
* From theorem premises:
A B C D E F G : Points
C,B,A are collinear [00]
AD = AC [01]
CD = CA [02]
∠ECA = ∠DAB [03]
∠EBA = ∠DCA [04]
FA:CA = FA:CA [05]
C,F,D are collinear [06]
F,E,A are collinear [07]
C,G,E are collinear [08]
B,G,D are collinear [09]
* Auxiliary Constructions:
: Points
* Proof steps:
001. C,G,E are collinear [08] & ∠ECA = ∠DAB [03] & C,B,A are collinear [00] ⇒ DA ∥ GC [10]
002. DA ∥ GC [10] & C,B,A are collinear [00] & B,G,D are collinear [09] ⇒ BA:BC = AD:CG [11]
003. C,F,D are collinear [06] & C,B,A are collinear [00] & ∠EBA = ∠DCA [04] ⇒ ∠FCA = ∠EBA [12]
004. F,E,A are collinear [07] & C,B,A are collinear [00] ⇒ ∠FAC = ∠EAB [13]
005. ∠FCA = ∠EBA [12] & ∠FAC = ∠EAB [13] (Similar Triangles)⇒ CF:CA = BE:BA [14]
006. ∠EBA = ∠DCA [04] & C,B,A are collinear [00] & ∠ECA = ∠DAB [03] ⇒ ∠BEC = ∠CDA [15]
007. C,B,A are collinear [00] & ∠ECA = ∠DAB [03] ⇒ ∠BCE = ∠CAD [16]
008. ∠BEC = ∠CDA [15] & ∠BCE = ∠CAD [16] (Similar Triangles)⇒ CD:CA = BE:BC [17]
009. BA:BC = AD:CG [11] & AD = AC [01] & CF:CA = BE:BA [14] & CD:CA = BE:BC [17] & CD = CA [02] ⇒ CA:CF = CA:CG [18]
010. FA:CA = FA:CA [05] & CA:CF = CA:CG [18] ⇒ CF = CG
==========================
78. examples/complete2/001/complete_016_ex-gao_gao_M_M010-32.gex
b c a = triangle b c a; d = on_pline d a b c, on_pline d c a b; e = on_line e b c; f = on_line f a d, on_pline f e a b; g = on_line g a e, on_line g b f; h = on_line h c f, on_line h d e ? para h g d a
○ 번역
삼각형 BCA가 주어져 있습니다. 점 D는 점 A를 지나고 선분 BC와 평행한 직선 위에 있으며, 점 C를 지나고 선분 AB와 평행한 직선 위에 있습니다. 점 E는 직선 BC 위에 있습니다. 점 F는 직선 AD 위에 있으며, 점 E를 지나고 선분 AB와 평행한 직선 위에 있습니다. 점 G는 직선 AE와 BF의 교점입니다. 점 H는 직선 CF와 DE의 교점입니다. 선분 HG와 DA가 서로 평행임을 증명하시오.
○ 풀이 : AlphaGeometry를 사용한 풀이
==========================
* From theorem premises:
A B C D E F G H : Points
DC ∥ AB [00]
DB ∥ CA [01]
A,B,E are collinear [02]
D,F,C are collinear [03]
FE ∥ CA [04]
G,E,C are collinear [05]
F,A,G are collinear [06]
D,H,E are collinear [07]
F,H,B are collinear [08]
* Auxiliary Constructions:
: Points
* Proof steps:
001. D,F,C are collinear [03] & A,B,E are collinear [02] & CD ∥ AB [00] ⇒ FC ∥ AE [09]
002. FC ∥ AE [09] & G,E,C are collinear [05] & F,A,G are collinear [06] ⇒ CF:EA = GC:GE [10]
003. D,F,C are collinear [03] & A,B,E are collinear [02] & CD ∥ AB [00] & EF ∥ AC [04] ⇒ ∠CFE = ∠EAC [11]
004. EF ∥ AC [04] ⇒ ∠CEF = ∠ECA [12]
005. ∠CFE = ∠EAC [11] & ∠CEF = ∠ECA [12] (Similar Triangles)⇒ CF = EA [13]
006. G,E,C are collinear [05] & CF:EA = GC:GE [10] & CF = EA [13] ⇒ G is midpoint of EC [14]
007. D,F,C are collinear [03] & A,B,E are collinear [02] & CD ∥ AB [00] ⇒ DF ∥ EB [15]
008. DF ∥ EB [15] & D,H,E are collinear [07] & F,H,B are collinear [08] ⇒ DF:EB = HD:HE [16]
009. A,B,E are collinear [02] & D,F,C are collinear [03] & AB ∥ CD [00] & EF ∥ AC [04] & BD ∥ AC [01] ⇒ ∠EBD = ∠DFE [17]
010. EF ∥ AC [04] & BD ∥ AC [01] ⇒ ∠EDB = ∠DEF [18]
011. ∠EBD = ∠DFE [17] & ∠EDB = ∠DEF [18] (Similar Triangles)⇒ EB = DF [19]
012. D,H,E are collinear [07] & DF:EB = HD:HE [16] & EB = DF [19] ⇒ H is midpoint of ED [20]
013. G is midpoint of EC [14] & H is midpoint of ED [20] ⇒ GH ∥ CD
==========================
79. examples/complete2/001/complete_016_ex-gao_gao_M_M010-26.gex
b d = segment b d; e = midpoint e b d; c = free c; a = on_pline a d b c, on_pline a b d c; f = on_line f c d; g = on_line g a b, on_line g e f; h = on_line h e f, on_line h a d; i = on_line i b c, on_line i e f ? cong f h g i
○ 번역
선분 BD가 주어져 있습니다. E는 선분 BD의 중점입니다. C는 임의의 점입니다. 점 A는 점 D를 지나고 BC에 평행한 직선 위에 있으며, B를 지나고 DC에 평행한 직선 위에 있습니다. 점 F는 직선 CD 위에 있습니다. 점 G는 직선 AB와 EF의 교점입니다. 점 H는 직선 EF와 AD의 교점입니다. 점 I는 직선 BC와 EF의 교점입니다. 선분 FH와 선분 GI의 길이가 같음을 증명하시오.
○ 풀이 : AlphaGeometry를 사용한 풀이
==========================
* From theorem premises:
A B C D E F G H I : Points
C,B,A are collinear [00]
CA = CB [01]
EB ∥ AD [02]
EA ∥ BD [03]
D,F,B are collinear [04]
A,G,E are collinear [05]
C,F,G are collinear [06]
B,H,E are collinear [07]
C,F,H are collinear [08]
DF:FI = DF:FI [09]
D,A,I are collinear [10]
C,F,I are collinear [11]
* Auxiliary Constructions:
: Points
* Proof steps:
001. D,A,I are collinear [10] & B,H,E are collinear [07] & BE ∥ AD [02] ⇒ DI ∥ BH [12]
002. C,F,H are collinear [08] & C,F,I are collinear [11] ⇒ F,I,H are collinear [13]
003. C,F,H are collinear [08] & C,F,I are collinear [11] ⇒ C,I,H are collinear [14]
004. DI ∥ BH [12] & F,I,H are collinear [13] & D,F,B are collinear [04] ⇒ FI:FH = DI:BH [15]
005. D,F,B are collinear [04] & A,G,E are collinear [05] & AE ∥ BD [03] ⇒ DF ∥ AG [16]
006. C,F,I are collinear [11] & C,F,G are collinear [06] ⇒ I,F,G are collinear [17]
007. DF ∥ AG [16] & D,A,I are collinear [10] & I,F,G are collinear [17] ⇒ ID:IA = IF:IG [18]
008. D,A,I are collinear [10] & B,H,E are collinear [07] & BE ∥ AD [02] ⇒ AI ∥ BH [19]
009. AI ∥ BH [19] & C,B,A are collinear [00] & C,I,H are collinear [14] ⇒ CA:CB = AI:BH [20]
010. FI:FH = DI:BH [15] & ID:IA = IF:IG [18] & CA:CB = AI:BH [20] & CA = CB [01] ⇒ FI:IG = FI:FH [21]
011. DF:FI = DF:FI [09] & FI:IG = FI:FH [21] ⇒ IG = FH
==========================
80. examples/complete2/001/complete_016_ex-gao_gao_C_C101.gex
a b c = triangle a b c; e = foot e a b c; f = foot f c a b; d = on_bline d a c, on_bline d a b; g = on_line g c f, on_line g a e; h = on_line h c f, on_circle h d c ? cong g f f h
○ 번역
삼각형 ABC가 주어져 있습니다. E는 A에서 BC로 내린 수선의 발입니다. F는 C에서 AB로 내린 수선의 발입니다. 점 D는 AC와 AB의 수직이등분선 위에 있습니다. 점 G는 직선 CF와 AE의 교점입니다. 점 H는 직선 CF 위에 있으며, 점 D를 중심으로 하고 점 C를 지나는 원 위에 있습니다. 선분 GF와 선분 FH의 길이가 같음을 증명하시오.
○ 풀이 : AlphaGeometry를 사용한 풀이
==========================
* From theorem premises:
A B C D E F G H : Points
AD ⟂ BC [00]
B,E,A are collinear [01]
CE ⟂ AB [02]
FA = FC [03]
FA = FB [04]
E,C,G are collinear [05]
A,G,D are collinear [06]
E,C,H are collinear [07]
FH = FC [08]
* Auxiliary Constructions:
: Points
* Proof steps:
001. B,E,A are collinear [01] & E,H,C are collinear [07] & E,C,G are collinear [05] & CE ⟂ AB [02] ⇒ ∠AEH = ∠GEA [09]
002. D,A,G are collinear [06] & AD ⟂ BC [00] ⇒ AG ⟂ BC [10]
003. B,E,A are collinear [01] & AB ⟂ CE [02] ⇒ BE ⟂ EC [11]
004. AG ⟂ BC [10] & BE ⟂ EC [11] ⇒ ∠(AG-EC) = ∠CBE [12]
005. FA = FC [03] & FH = FC [08] & FA = FB [04] ⇒ B,H,A,C are concyclic [13]
006. B,H,A,C are concyclic [13] ⇒ ∠BAH = ∠BCH [14]
007. H,E,C are collinear [07] & E,C,G are collinear [05] & D,A,G are collinear [06] & ∠(AG-EC) = ∠CBE [12] & B,E,A are collinear [01] & ∠BAH = ∠BCH [14] ⇒ ∠AHE = ∠EGA [15]
008. ∠AEH = ∠GEA [09] & ∠AHE = ∠EGA [15] (Similar Triangles)⇒ EH = EG
==========================
입력: 2024.08.07 13:24
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