【AlphaGeometry】 jgex_ag_231 기하 문제 풀이 [221-231]

jgex_ag_231 기하 문제 풀이 [221-231]

 

추천글 : 【AlphaGeometry】 jgex_ag_231 문제 재구성 및 풀이 

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221. examples/complete2/unsolved1/complete_013_7_Book_00EE_10_E072-8.gex

a b c = triangle a b c; d = angle_bisector d b a c, on_line d b c; f = on_line f b c, on_bline f a d; e = on_bline e a d, on_line e a d ? eqangle a b a f c f c a

 

○ 번역 

 

삼각형 ABC가 주어져 있습니다. D는 ∠BAC의 이등분선 위에 있으며, 직선 BC 위에 있습니다. F는 직선 BC 위에 있고, AD의 수직이등분선 위에 있습니다. E는 AD의 수직이등분선 위에 있으며, 직선 AD 위에 있습니다. ∠BAF = ∠FCA임을 증명하시오.

 

○ 풀이 : AlphaGeometry를 사용한 풀이

 

==========================
 * From theorem premises:
A B C D E : Points
∠BAD = ∠DAC [00]
B,D,C are collinear [01]
B,C,E are collinear [02]
∠EAD = ∠ADE [03]

 * Auxiliary Constructions:
: Points


 * Proof steps:
001. ∠EAD = ∠ADE [03] & E,B,C are collinear [02] & B,D,C are collinear [01] ⇒  ∠EAD = ∠(AD-BC) [04]
002. ∠BAD = ∠DAC [00] & ∠EAD = ∠(AD-BC) [04] (Angle chase)⇒  ∠ACB = ∠EAB [05]
003. E,B,C are collinear [02] & ∠EAB = ∠ACB [05] ⇒  ∠EAB = ∠ACE
==========================

 

 

222. examples/complete2/unsolved1/complete_003_6_GDD_FULL_more_E023-14.gex

a b c = triangle a b c; d = midpoint d b a; e = angle_bisector e c d a, on_line e a c; f = angle_bisector f c d b, on_line f c b ? para e f a b

 

○ 번역 

 

삼각형 ABC가 주어져 있습니다. D는 선분 BA의 중점입니다. E는 ∠CDA의 이등분선 위에 있으며, 직선 AC 위에 있습니다. F는 ∠CDB의 이등분선 위에 있으며, 직선 BC 위에 있습니다. 선분 EF와 선분 AB가 서로 평행임을 증명하시오.

 

○ 풀이 : AlphaGeometry를 사용한 풀이

 

==========================
 * From theorem premises:
A B C D E F : Points
DB = DA [00]
∠CDE = ∠EDA [01]
C,A,E are collinear [02]
∠CDF = ∠FDB [03]
C,F,B are collinear [04]

 * Auxiliary Constructions:
: Points


 * Proof steps:
001. ∠CDF = ∠FDB [03] & C,F,B are collinear [04] ⇒  FC:FB = DC:DB [05]
002. ∠CDE = ∠EDA [01] & C,A,E are collinear [02] ⇒  CE:AE = CD:DA [06]
003. FC:FB = DC:DB [05] & DB = DA [00] & CE:AE = CD:DA [06] ⇒  CE:EA = CF:FB [07]
004. CE:EA = CF:FB [07] & C,A,E are collinear [02] & C,F,B are collinear [04] ⇒  EF ∥ AB
==========================

 

 

223. examples/complete2/unsolved1/complete_010_Other_gao_Y_yL182-1.gex

a c d = triangle a c d; b = on_pline b c d a, on_pline b a d c; e = on_line e a c; f = shift f c a e ? para d e f b

 

○ 번역 

 

삼각형 ACD가 주어져 있습니다. B는 C를 지나고 DA에 평행한 직선 위에 있고, A를 지나고 DC에 평행한 직선 위에 있습니다. E는 직선 AC 위에 있고, F는 C에서 AE 방향으로 평행이동한 점입니다. 선분 DE와 선분 FB가 서로 평행임을 증명하시오.

 

○ 풀이 : AlphaGeometry를 사용하면 다음과 같은 에러가 남

 

ValueError: ab and ab Cannot be perp.

 

 

224. examples/complete2/unsolved1/complete_008_ex-gao_ex160_e120.gex

a b = segment a b; c = midpoint c b a; d = on_circle d c a; e = on_tline e a a b, on_tline e d c d; f = on_tline f b a b, on_line f d e; g = on_line g b e, on_line g a f ? para d g a e

 

○ 번역 

 

선분 AB가 주어져 있습니다. C는 선분 BA의 중점이고, D는 C를 중심으로 하고 A를 지나는 원 위에 있습니다. E는 A를 지나고 AB에 수직한 직선 위에 있고, D를 지나고 CD에 수직한 직선 위에 있습니다. F는 B를 지나고 AB에 수직한 직선 위에 있고, 직선 DE 위에 있습니다. G는 직선 BE와 AF의 교점입니다. 선분 DG와 선분 AE가 서로 평행임을 증명하시오.

 

○ 풀이 : AlphaGeometry를 사용한 풀이

 

==========================
 * From theorem premises:
A B C D E F G : Points
CB = CA [00]
A,C,B are collinear [01]
CD = CA [02]
AE ⟂ AB [03]
DE ⟂ CD [04]
AB ⟂ FB [05]
E,D,F are collinear [06]
A,G,F are collinear [07]
G,E,B are collinear [08]

 * Auxiliary Constructions:
: Points


 * Proof steps:
001. AB ⟂ FB [05] & AE ⟂ AB [03] ⇒  FB ∥ AE [09]
002. BF ∥ AE [09] & A,G,F are collinear [07] & G,E,B are collinear [08] ⇒  GF:AG = BF:AE [10]
003. CB = CA [00] & CD = CA [02] ⇒  C is the circumcenter of \Delta ABD [11]
004. C is the circumcenter of \Delta ABD [11] & DE ⟂ CD [04] ⇒  ∠BDE = ∠BAD [12]
005. C is the circumcenter of \Delta ABD [11] & DE ⟂ CD [04] ⇒  ∠ADE = ∠ABD [13]
006. A,C,B are collinear [01] & AB ⟂ BF [05] ⇒  CB ⟂ BF [14]
007. C is the circumcenter of \Delta ABD [11] & CB ⟂ BF [14] ⇒  ∠FBD = ∠BAD [15]
008. E,D,F are collinear [06] & ∠BDE = ∠BAD [12] & ∠FBD = ∠BAD [15] & BF ∥ AE [09] ⇒  ∠FBD = ∠BDF [16]
009. ∠FBD = ∠BDF [16] ⇒  FB = FD [17]
010. A,C,B are collinear [01] & AB ⟂ AE [03] ⇒  CA ⟂ AE [18]
011. C is the circumcenter of \Delta ABD [11] & CA ⟂ AE [18] ⇒  ∠EAD = ∠ABD [19]
012. ∠ADE = ∠ABD [13] & ∠EAD = ∠ABD [19] ⇒  ∠EAD = ∠ADE [20]
013. ∠EAD = ∠ADE [20] ⇒  EA = ED [21]
014. BF:AE = GF:AG [10] & DF = BF [17] & ED = AE [21] ⇒  FD:DE = FG:GA [22]
015. FD:DE = FG:GA [22] & E,D,F are collinear [06] & A,G,F are collinear [07] ⇒  DG ∥ EA
==========================

 

 

225. new_unsolved/0.gex

c d b = triangle c d b; e = midpoint e c d; a = eqdistance a d c b, on_pline a b d c; f = midpoint f b a ? perp a b e f

 

○ 번역 

 

삼각형 CDB가 주어져 있습니다. E는 선분 CD의 중점입니다. A는 AD = CB를 만족하며, B를 지나고 DC에 평행한 직선 위에 있습니다. F는 선분 BA의 중점입니다. 선분 AB와 선분 EF가 서로 수직임을 증명하시오.

 

○ 풀이 : AlphaGeometry를 사용한 풀이

 

==========================
 * From theorem premises:
A B C D E F : Points
DA = DB [00]
EB = AC [01]
EC ∥ BA [02]
FC = FE [03]
E,F,C are collinear [04]

 * Auxiliary Constructions:
G : Points
GC ∥ AB [05]
GB ∥ AC [06]

 * Proof steps:
001. CG ∥ AB [05] & BG ∥ AC [06] ⇒  ∠CGB = ∠BAC [07]
002. BG ∥ AC [06] ⇒  ∠CBG = ∠BCA [08]
003. ∠CGB = ∠BAC [07] & ∠CBG = ∠BCA [08] (Similar Triangles)⇒  BG = CA [09]
004. BG = CA [09] & EB = AC [01] ⇒  BE = BG [10]
005. BE = BG [10] ⇒  ∠BEG = ∠EGB [11]
006. CG ∥ AB [05] & CE ∥ AB [02] ⇒  CE ∥ CG [12]
007. CE ∥ CG [12] ⇒  E,G,C are collinear [13]
008. E,F,C are collinear [04] & ∠BEG = ∠EGB [11] & E,G,C are collinear [13] & CE ∥ AB [02] & BG ∥ AC [06] ⇒  ∠FEB = ∠ACF [14]
009. FC = FE [03] & EB = AC [01] & ∠FEB = ∠ACF [14] (SAS)⇒  BF = AF [15]
010. DA = DB [00] & BF = AF [15] ⇒  AB ⟂ DF [16]
011. AB ⟂ DF [16] & AB ∥ CE [02] ⇒  EC ⟂ DF
==========================

 

 

226. new_unsolved/1.gex

a b c d = eq_trapezoid a b c d ? eqangle a d a b b a b c

 

○ 번역 

 

ABCD는 AB와 CD가 평행하고, AD = BC인 등변사다리꼴입니다. ∠DAB = ∠ABC임을 증명하시오.

 

○ 풀이 : AlphaGeometry를 사용한 풀이

 

==========================
 * From theorem premises:
A B C D : Points
DC ∥ AB [00]
DA = BC [01]

 * Auxiliary Constructions:
E : Points
B,C,E are collinear [02]
A,E,D are collinear [03]

 * Proof steps:
001. CD ∥ AB [00] & B,C,E are collinear [02] & A,E,D are collinear [03] ⇒  CB:DA = CE:DE [04]
002. CB:DA = CE:DE [04] & DA = BC [01] ⇒  CE = DE [05]
003. CE = DE [05] ⇒  ∠EDC = ∠DCE [06]
004. ∠EDC = ∠DCE [06] & A,E,D are collinear [03] & B,C,E are collinear [02] & CD ∥ AB [00] ⇒  ∠DAB = ∠ABC
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227. examples/complete2/unsolved1/complete_009_Other_paper_Thebault_t5.gex

a b c = triangle a b c; d = circle d a b c; e = on_line e b c; f g h i = 2l1c f g h i a b e d; j k l m = 2l1c j k l m a c e d; n = incenter n a b c ? coll m n i

 

○ 번역 : 추후 업데이트

○ 풀이 : AlphaGeometry를 실행하면 다음과 같은 에러가 남 

 

ValueError: ad and ad Cannot be perp.

 

 

228. examples/complete2/unsolved/complete_013_7_Book_00EE_10_E072-11.gex

a b = segment b a; c = on_line c a b; d = on_circle d a b; e = on_circle e a b; g = on_line g d e, on_circle g c b; f = on_line f d e, on_circle f c b ? eqangle b e b f b g b d

 

○ 번역 

 

선분 AB가 주어져 있습니다. C는 직선 AB 위에 있습니다. D와 E는 A를 중심으로 하고 B를 지나는 원 위에 있습니다. G는 직선 DE 위에 있고, C를 중심으로 하고 B를 지나는 원 위에 있습니다. F는 직선 DE 위에 있고, C를 중심으로 하고 B를 지나는 원 위에 있습니다. ∠EBF = ∠GBD임을 증명하시오.

 

○ 풀이 : AlphaGeometry를 사용한 풀이

 

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 * From theorem premises:
B A C D E F G : Points
A,B,C are collinear [00]
AD = AB [01]
AE = AB [02]
CF = CB [03]
E,D,F are collinear [04]
CG = CB [05]
G,E,D are collinear [06]

 * Auxiliary Constructions:
: Points


 * Proof steps:
001. AE = AB [02] ⇒  ∠AEB = ∠EBA [07]
002. AD = AB [01] & AE = AB [02] ⇒  AE = AD [08]
003. AE = AD [08] ⇒  ∠AED = ∠EDA [09]
004. AD = AB [01] ⇒  ∠ABD = ∠BDA [10]
005. CF = CB [03] & CG = CB [05] ⇒  CG = CF [11]
006. CG = CF [11] ⇒  ∠CGF = ∠GFC [12]
007. ∠CGF = ∠GFC [12] & G,E,D are collinear [06] & E,D,F are collinear [04] ⇒  ∠(CG-DE) = ∠(DE-CF) [13]
008. CG = CB [05] ⇒  ∠CGB = ∠GBC [14]
009. ∠CGB = ∠GBC [14] & A,B,C are collinear [00] ⇒  ∠CGB = ∠GBA [15]
010. CF = CB [03] ⇒  ∠CFB = ∠FBC [16]
011. ∠CFB = ∠FBC [16] & A,B,C are collinear [00] ⇒  ∠CFB = ∠FBA [17]
012. ∠AEB = ∠EBA [07] & ∠AED = ∠EDA [09] & ∠ABD = ∠BDA [10] & ∠(CG-DE) = ∠(DE-CF) [13] & ∠CGB = ∠GBA [15] & ∠CFB = ∠FBA [17] (Angle chase)⇒  ∠EBG = ∠FBD
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229. examples/complete2/unsolved2/complete_015_7_Book_00EE_06_E051-28.gex

b c = segment b c; a = on_tline a b b c; d = on_circle d c b; e g = e5128 e g a b c d ? cong a g g b

 

○ 번역 : 추후 업데이트

○ 풀이 : AlphaGeometry를 사용한 풀이

 

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 * From theorem premises:
A B C D F E : Points
AC ⟂ AB [00]
BD = BA [01]
F,C,A are collinear [02]
F,D,E are collinear [03]
∠ACD = ∠CEF [04]
BA = BE [05]

 * Auxiliary Constructions:
: Points


 * Proof steps:
001. F,C,A are collinear [02] & F,D,E are collinear [03] & ∠ACD = ∠CEF [04] ⇒  ∠FCD = ∠CEF [06]
002. F,D,E are collinear [03] & F,C,A are collinear [02] & ∠ACD = ∠CEF [04] ⇒  ∠FDC = ∠ECF [07]
003. ∠FCD = ∠CEF [06] & ∠FDC = ∠ECF [07] (Similar Triangles)⇒  FC:FD = FE:FC [08]
004. BD = BA [01] & BA = BE [05] ⇒  B is the circumcenter of \Delta ADE [09]
005. F,C,A are collinear [02] & AB ⟂ AC [00] ⇒  BA ⟂ AF [10]
006. B is the circumcenter of \Delta ADE [09] & BA ⟂ AF [10] ⇒  ∠FAD = ∠AED [11]
007. F,C,A are collinear [02] & F,D,E are collinear [03] & ∠FAD = ∠AED [11] ⇒  ∠FAD = ∠AEF [12]
008. F,D,E are collinear [03] & F,C,A are collinear [02] & ∠FAD = ∠AED [11] ⇒  ∠FDA = ∠EAF [13]
009. ∠FAD = ∠AEF [12] & ∠FDA = ∠EAF [13] (Similar Triangles)⇒  FA:FD = FE:FA [14]
010. FC:FD = FE:FC [08] & FA:FD = FE:FA [14] (Ratio chase)⇒  FC = FA
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230. examples/complete2/unsolved2/complete_010_Other_Auxiliary_ye_aux_think.gex

c a b = iso_triangle c a b; d e f = 3peq d e f c a b ? cong d a b e

 

○ 번역 : 추후 업데이트

○ 풀이 : AlphaGeometry를 사용한 풀이

 

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 * From theorem premises:
A B C F D E : Points
AB = AC [00]
F,B,C are collinear [01]
FD = FE [02]
F,D,E are collinear [03]
A,E,C are collinear [04]
A,B,D are collinear [05]

 * Auxiliary Constructions:
G : Points
FG = FC [06]
F,G,C are collinear [07]

 * Proof steps:
001. F,G,C are collinear [07] & F,B,C are collinear [01] ⇒  B,G,C are collinear [08]
002. F,D,E are collinear [03] & F,G,C are collinear [07] & F,B,C are collinear [01] & B,G,C are collinear [08] ⇒  ∠DFG = ∠EFC [09]
003. FD = FE [02] & FG = FC [06] & ∠DFG = ∠EFC [09] (SAS)⇒  GD = CE [10]
004. F,G,C are collinear [07] & FG = FC [06] ⇒  F is midpoint of GC [11]
005. F,D,E are collinear [03] & FD = FE [02] ⇒  F is midpoint of DE [12]
006. F is midpoint of GC [11] & F is midpoint of DE [12] ⇒  GD ∥ CE [13]
007. GD ∥ CE [13] & A,E,C are collinear [04] ⇒  DG ∥ AC [14]
008. DG ∥ AC [14] & A,B,D are collinear [05] & B,G,C are collinear [08] ⇒  BA:AC = BD:DG [15]
009. GD = CE [10] & BA:AC = BD:DG [15] & AB = AC [00] ⇒  DB = CE
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231. examples/complete2/unsolved/morley.gex

a b c = triangle a b c; d e = trisect d e b a c; f g = trisect f g c b a; h i = trisect h i a c b; j = intersection_ll j b f c i; k = intersection_ll k a e c h; l = intersection_ll l a d b g ? cong j l j k

 

○ 번역 : 추후 업데이트 

○ 풀이 : AlphaGeometry를 실행하면 다음과 같은 에러가 남 

 

ValueError: mn and ac Cannot be perp.

 

입력: 2024.08.07 13:24

수정: 2024.09.03 14:40