【해석학】 5강. 복소수

5강. 복소수

 

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1. 복소수 [본문]

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1. 복소수 [목차]

⑴ 복소수(complex number)

① z = (a, b) ∈ ℝ²를 지칭함 : z = a + ib로 쓰기도 함 

② 이때 복소수의 집합을 ℂ로 쓰기로 하며 ℝ ⊆ ℂ인 것처럼 간주하기도 함

③ 정확히는 ℂ = ℝ²이며 3 ∈ ℂ라는 것은 3 + i0 = (3, 0) ∈ ℂ라는 뜻

④ Euler's identity : 지수함수와 삼각함수의 테일러 급수를 이용하면 다음을 보일 수 있음

 

 

⑤ 극좌표계 표현 : 각 z = (a, b)에 대해 r ≥ 0과 θ ∈ ℝ가 있어, 다음과 같이 z를 표현할 수 있음

○ r, θ를 각각 modulus, argument라고 함 

 

 

⑥ ω = (c, d)를 s ≥ 0, η ∈ ℝ에 대해 ω = (s cos η, s sin η)라 할 때 복소수의 곱을 다음과 같이 정의

 

 

⑵ 예제 

① 예제 1. zω가 잘 정의됨을 보이시오.

② 예제 2. De Moivre's formula : (r cos θ, r sin θ)ⁿ = (rⁿ cos nθ, rⁿ sin nθ)임을 확인하시오.

③ 예제 3.  z = (a, b), ω = (c, d)일 때 zω = (ac - bd, ad + bc)임과 |zω| = |z| |ω|를 확인하시오. 여기서 |z|² = a² + b²임을 상기하시오.

④ 예제 4. p(z) = a_nzⁿ + ··· + a₁z + a₀, n ∈ ℕ, a_n, ···, a₀ ∈ ℂ, a_n ≠ (0, 0)이면 양수 K와 c가 있어 |z| ≥ c이면 |p(z)| ≥ K |z|ⁿ임을 보이시오.

 

입력: 2024.09.06 13:46