【해석학】 4-1강. 엡실론-델타 논리

4-1강. 엡실론-델타 논법(ϵ-δ method)

 

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x에 대한 함수 f(x)에 대해, 임의의 양수 ϵ에 대하여 적당한 양수 δ가 존재하며, 0 < | x - a | < δ이면 | f(x) - b | < ϵ이 될 때, x → a에서의 함수 f(x)의 극한값을 b라고 정의하며, 함수 f(x)는 x → a에서 b에 수렴한다고 하며, lim_x→a f(x) = b라고 한다. 

 

단순히 극한의 정의가 '한없이 가까이 다가간다,'고 할 경우 다음과 같은 문제점이 발생한다.

1) 그러한 애매한 표현을 수학적으로 옳게 받아들여야 하는가?

2) 의미를 받쳐줄 만한 수학적 근거가 전혀 없다 (그런 정의가 틀릴 일은 없는가)?

3) 그와 같은 정의로는 극한값의 기본 성질조차 증명할 수는 있는가?

 

엡실론-델타 논법이 의미하는 바는 f(x)이 어떤 값에 한없이 근접할 때 그와 대응되는 x값이 존재하는 것, 그러니까 f(x)를 어떤 값에 한없이 근접시킬 수 있다는 것을 수식화한 것이다.

 

f(x)가 어떤 값 b에 수렴함을 보이기 위해, f(x)를 b에 근접시킬 때 대응되는 x값을 찾을 수 있는 규칙이 있음을 보여야 한다. 만약 f(x)가 b에 수렴하는 함수라면 대응되는 x값이 어떤 값 a로 수렴할 것이다. 이때 b로부터 ϵ만큼 떨어진 f(x) (b - ϵ < f(x) < b + ϵ)에서의 대응되는 x값은 a로부터 δ만큼 떨어져 있을 것이고, 이 δ는 ϵ에 대한 관계식(규칙)으로 표현될 것이다. 이러한 함수를 가지고 ϵ를 0에 한없이 근접시키면 대응되는 δ가 있으므로 이는 f(x)를 b에 한없이 근접시킬 수 있다는 것을 의미한다. 이로부터 기존의 정의 '한없이 가까이 다가간다,'를 표현할 수 있게 되는 것이다. 

 

만약 f(x)가 b에 수렴하지 않는 함수라면, b로부터 ϵ만큼 떨어져 있는 f(x)에 대응되는 x값의 a로부터의 거리 δ가 어떤 일련의 규칙을 가지고 있지 않을 것이다. 따라서 어떤 수렴함을 보이는 것을 수학적으로 풀라고 할 때 δ를 ϵ에 대한 식으로 표현하면 증명은 끝이 나는 것이다. 

 

입력: 2013.10.15 15:15

수정: 2024.12.25 12:34