【해석학】 4강. 연속성

4강. 연속성(continuity)

 

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풀이가 궁금하시면 답변 바랍니다.

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1. 수렴한다는 것 [본문]

2. 유계라는 것 [본문]

3. 중간값 정리 [본문]

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1. 수렴한다는 것 [목차]

 

⑴ (a, b) ∈ ℝ²에 대해 |(a, b)|를 

 

 

과 같이 정의하자.

 

⑵ v_n, v ∈ ℝ²일 때 벡터열 (v_n)이 v로 수렴한다는 것은

 

 

과 같다.

 

⑶ D ⊆ ℝ²와 함수 f : D → ℝ²가 있을 때 f가 v ∈ D에서 연속이라는 것은 (v_n)이 v로 수렴하는 D에서의 벡터열일 때마다 (f(v_n))이 f(v)로 수렴한다는 것이다.

 

⑷ 예제 : k ∈ ℕ, u ∈ ℝ^k에 대해서도 |u|를 정의할 수 있는가? u, v ∈ ℝ^k, c ∈ ℝ에 대해 u + v, cu를 정의하고 |cu| = |c||u|, |u+v| ≤ |u| + |v|를 보이시오.

 

⑸ 예제 : D ⊆ ℝ^k이고 함수 f : D → ℝ^ℓ가 있을 때 f가 v ∈ D에서 연속일 필요충분조건은 각 ε ＞ 0에 대해 δ ＞ 0가 있어 u ∈ D, |u - v| ＜ δ일 때마다 |f(u) - f(v)| ＜ ε라는 것을 보이시오.

 

⑹ 예제 : 두 연속함수의 합성함수가 연속이라는 정의를 기술하고 증명하시오.

 

⑺ 예제 : D ⊆ ℝ^k이고 두 함수 f, g : D → ℝ^ℓ가 v ∈ D에서 연속이면 새로운 함수 f + g도 v에서 연속임을 보이시오.

 

⑻ 예제 : f : ℝ³ → ℝ이 f(x, y, z) = x일 때 f가 모든 점에서 연속임을 보이시오.

 

⑼ 예제 : D ⊆ ℝ^k이고 ψ : D → ℝ와 g : D → ℝ^ℓ가 v ∈ D에서 연속이면 새로운 함수 ψg도 v에서 연속임을 보이시오. 여기서 (ψg)(v) = ψ(v)g(v)이다.

 

⑽ 예제 : 디리클레 함수(Dirichlet function)는 모든 점에서 불연속

 

 

 

2. 유계라는 것 [목차]

 

⑴ A ⊆ ℝ^k가 닫혀 있다는 것은 A에서의 벡터열 (v_n)이 v ∈ ℝ^k로 수렴할 때마다 v ∈ A라는 것이다.

 

⑵ A ⊆ ℝ^k가 유계라는 것은 ｛|v| | v ∈ A｝⊆ ℝ가 유계라는 것이다.

 

⑶ 예제 : D ⊆ ℝ^k가 유계인 닫힌 집합이고 f : D → ℝ^ℓ가 연속이면 (즉, D의 모든 점에서 연속이면), f(D)도 유계인 닫힌 집합임을 보이시오.

 

⑷ 예제 : ø ≠ A ⊆ ℝ가 닫힌 유계집합이면 u, v ∈ A가 있어 u ≤ A ≤ v임을 보이시오. (즉, A는 최대, 최소를 갖는다.)

 

⑸ 예제 : C ⊆ ℝ³를 평면 x + 2y + z = 3과 타원면 x² + xy + y² + z² = 5가 만나서 이루는 곡선이라고 하자. 이때 원점에서 가장 가까운 C 위의 점이 존재함을 보이시오.

 

 

3. 중간값 정리 [목차]

 

⑴ 예제 : f : [a, b] → ℝ가 연속이고 f(a) ＜ 0 ＜ f(b)이다. 이때 f(c) = 0인 a＜c＜b가 존재함을 보이시오.

 

⑵ 예제 : 여기서 연속함수의 정의역이 D = ｛(x, y) | x² + y² ＜ 1｝이고  f(0, 0) ＜ 0 ＜ f(0.5, 0.5)인 경우에도 비슷한 결론을 내릴 수 있는가?

 

⑶ 예제 : a ＞ 0, n ∈ ℕ일 때 

 

 

 또는 

 

 

과 같은 실수 b가 유일하게 존재함을 보이시오.

 

⑷ 예제 : 함수 f : [0, 1] → [0, 1]가 연속이면 고정점을 가짐을 보이시오. 즉, f(c) = c인 c ∈ [0, 1]가 있다.

 

⑸ 예제 : S = ｛(x, y) | x² + y² = 1｝이고 f : S → ℝ가 연속이면 f(a, b) = f(-a, -b)인 (a, b) ∈ S가 존재함을 보이시오.

 

⑹ 예제 : 위의 ②와 ③를 더 높은 차원 ℝ^k로 확장해 기술해 보시오.

 

입력 : 2019.12.26 13:44