【해석학】 1강. 실수의 공리와 함수

1강. 실수의 공리와 함수

 

추천글 : 【해석학】 해석학 목차 

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1. (ℝ, +, -, ⦁, ＜, 0, 1)이 실수계라는 것 [본문]

2. 함수 [본문]

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1. (ℝ, +, -, ⦁, ＜, 0, 1)이 실수계라는 것 [목차]

⑴ 요건 1. +, ⦁은 ℝ 위에서의 연산

 

⑵ 요건 2. ＜은 ℝ 위에서의 관계로 다음 공리 Ⅰ, Ⅱ, Ⅲ을 만족하는 것

① (주석) a ⦁ b를 편의상 ab로 표시 

② 연산의 공리 Ⅰ : 모든 a, b, c ∈ ℝ에 대해 다음이 성립

 

a + b = b + a

ab = ba

(a + b) + c = a + (b + c)

(ab)c = a(bc)

a + 0 = a

a1 = a

a(b + c) = ab + ac

 

③ 역원의 존재 Ⅱ : 모든 a, b ∈ ℝ에 대해 a + c = 0, bd = 1인 c, d ∈ ℝ가 존재

④ 순서의 공리 Ⅲ

○ 모든 a, b, c ∈ ℝ에 대해 a ＜ b, b ＜ c이면 a ＜ c임

○ 모든 a, b ∈ ℝ에 대해 a ＜ b, a = b, b ＜ a 중 단 하나가 참임

○ 모든 a, b, c, p ∈ ℝ에 대해 a ＜ b, 0 ＜ p이며 a + c ＜ b + c, ap ＜ bp임

○ 완비성 공리 : ø ≠ A ⊆ ℝ이 A ≤ b인 b ∈ ℝ를 가지면 그러한 가장 작은 b가 존재

 

⑶ 예제 : 공리 Ⅱ에서 c가 유일함을 보이시오. 이 c를 -a로 쓴다. a - b는 a + (-b)와 같은 뜻이다.

 

a + c = a + c' = 0

⇔ c = c + 0 = c + (a + c') = (c + a) + c' = (a + c) + c' = 0 + c' = c' + 0 = c'

 

⑷ 예제 : 모든 a, b ∈ ℝ에 대해 (-a)(-b) = ab를 보이시오. 특히 (-1)² = 1을 보이시오.

 

○ 풀이

lemma 1. u + v + u + w ⇒ v + w

proof 1. v = v + 0 = v + (u + (-u)) = (v + u) + (-u) = (u + v) + (-u) 

proof 1. v = (u + w) + (-u) = (w + u) + (-u) = w + (u + (-u)) = w + 0 = w

 

lemma 2. u + u = 0 ⇒ u = 0

proof 2. u + u = u + 0 ⇒ u = 0

 

lemma 3. a·0 = 0

proof 3. a·0 = a·(0 + 0) = a·0 + a·0 ⇒ a·0 = 0 (∵ lemma 2)

 

lemma 4. (-a)(-b) = ab

proof 4. 0 = 0·b = (a + (-a))·b = a·b + (-a)·b

proof 4. ∴ (-a)·b = -(a·b)

proof 4. 0 = 0·(-b) = (a + (-a))·(-b) = a·(-b)  + (-a)·(-b)

proof 4. ∴ (-a)·(-b) = -(a·(-b)) = -(-(a·b)) = a·b (∵ 덧셈의 역원의 유일성)

proof 4. a = b = 1이라면 (-1)·(-1) = (-1)² = 1

 

⑸ 예제 : 공리 Ⅱ에서 d가 유일함을 보이시오. 이 d를 b^-1로 쓴다. a / b는 ab^-1과 같은 뜻이다.

 

○ 풀이

b ≠ 0에 대해 bd₁ = bd₂ = 1인 d₁, d₂ ∈ ℝ가 있다고 하자.

d₁ = d₁1 = 1d₁ = (bd₂)d₁ = (d₂b)d₁ = d₂(bd₁) = d₂1 = d₂ ⇔ d₁ = d₂ 

 

⑹ 예제 : 모든 a, b ∈ ℝ에 대해 a ＜ b이면 a ＜ c ＜ b인 c ∈ ℝ이 존재함을 보이시오. 

 

○ 풀이

lemma 1. 1 ＞ 0

proof 1. 1 ≠ 0 ⇒ 1 ＞ 0 또는 1 ＜ 0

proof 1. 1 ＜ 0이라고 하자.

proof 1. 순서의 공리 Ⅲ에 의해 1 + (-1) ＜ 0 + (-1)  ⇒  0 ＜ (-1)  ⇒  0² = 0 ＜ (-1)² = 1 (모순)

proof 1. 따라서 1 ＞ 0이다.

 

lemma 2. 1 + 1 ＞ 0 ＞ 1 + 0 ＞ 0

 

lemma 3. p ＞ 0 ⇒ p^-1 ＞ 0

proof 3. p^-1 = 0이라고 가정하자.

proof 3. 1 = pp^-1 = p0 = 0이므로 모순이다.

proof 3. p^-1 ＜ 0이라고 가정하자.

proof 3. 1 = pp^-1 ＜ p0 = 0이므로 모순이다.

proof 3. 따라서 (1+1)^-1 ＞ 0임을 안다.

 

lemma 4. a ＜ b ⇒ a ＜ c ＜ b인 c ∈ ℝ이 존재

proof 4. a ＜ b ⇒ (1+1)a = a + a ＜ a + b ＜ b + b = (1+1)b

proof 4. 변변에 (1+1)^-1을 곱하면 다음을 얻는다.

proof 4. a ＜ (a+b)(1+1)^-1 ＜ b

 

⑺ 예제 : 공리 Ⅲ에서 A ≤ b는 모든 x ∈ A에 대해 x ＜ b이거나 x = b라는 뜻이다. 그러한 b가 있을 때 A가 위로 유계라고 한다. 이때 공리가 보장하는 가장 작은 b가 유일함을 보이시오. 이 b를 sup A라 쓴다.

 

○ 풀이

A ≤ b, A ≤ b'이고 A ≤ c일 때마다 b, b' ≤ c이다.

c = b인 경우 b' ≤ b가 성립한다.

c = b'인 경우 b ≤ b'이 성립한다.

따라서 b = b'이 성립한다.

 

⑻ 예제 : ø ≠ A ⊆ ℝ가 위로 유계일 때 sup A ≤ c일 필요충분조건은 A ≤ c이다.

 

○ 풀이

sup A ≤ c ⇒ A ≤ sup A ≤ c

A ≤ c ⇒ sup A는 그러한 c 중 가장 작은 것이므로 sup A ≤ c

따라서 sup A ≤ c ⇔ A ≤ c

 

⑼ 예제 : 폐구간 ［0, 1］의 두 공집합이 아닌 부분집합 A, B에 대해  A + B =｛a + b | a ∈ A, b ∈ B｝라 하면 sup(A + B) = sup A + sup B임을 보이시오.

 

○ 풀이

lemma 1. A+B ⊆ [0, 1+1]이고 A + B ≠ ∅이므로 sup(A + B)가 존재

 

lemma 2. sup(A + B) = sup A + sup B

proof 2. A ≤ sup A, B ≤ sup B이므로 A+B ≤ sup A + sup B가 성립한다.

proof 2. 따라서 sup(A + B) ≤ sup A + sup B가 성립한다.

proof 2. 각 a ∈ A, b ∈ B에 대해 a + b ≤ sup(A + B)가 성립함을 상기하자.

proof 2. a를 고정하면 b ≤ sup(A + B) - a를 얻을 수 있고 sup B ≤ sup(A + B) - a임을 직관적으로 얻는다.

proof 2. a ≤ sup(A + B) - sup(B)에 대해 a의 값을 천천히 올리면 sup A ≤ sup(A + B) - sup(B)를 얻는다.

proof 2. 따라서 sup A + sup B ≤ sup(A + B)인 것이다. 

proof 2. sup A + sup B ≤ sup(A + B)이고 sup A + sup B ≥ sup(A + B)이므로 주어진 등식이 성립한다.

 

⑽ 예제 : D ≠ ø이다. 함수 f, g : D → [a, b]에 대해 sup (f + g)(D) ≤ sup f(D) + sup g(D)임을 보이시오. 양변이 같지 않을 수도 있는가?

 

○ 풀이

lemma 1. sup (f + g)(D) ≤ sup f(D) + sup g(D)

proof 1. sup(f + g)(D), sup f(D), sup g(D)가 존재한다.

proof 1. f(D) ≤ sup f(D)이고 g(D) ≤ sup g(D)이므로 f(D) + g(D) ≤ sup f(D) + sup g(D)가 성립한다.

proof 1. 그러한 f(D) + g(D)의 값을 천천히 증가시키면 sup (f(D) + g(D)) ≤ sup f(D) + sup g(D)임을 알 수 있다.

lemma 2. sup (f + g)(D) ≠ sup f(D) + sup g(D)인 경우가 존재

proof 2. D =｛-1, 1｝, f(x) = x, g(x) = -x일 때 0 = (f + g)(D) = sup(f + g)(D) ＜ 2 = sup f(D) + sup g(D)

 

⑾ 예제 : A ⊆ ℝ에 대해 max A가 존재하면 sup A도 존재하고 max A = sup A임을 보이시오. sup A만 존재할 수도 있는가?

 

○ 풀이

lemma 1. max A가 존재하면 max A = sup A

proof 1. A ≤ max A ≤ sup A

proof 1. 예제 3 ②에 의해 sup A ≤ max A

proof 1. 따라서 sup A = max A가 성립한다.

 

lemma 2. max A가 존재하지 않을 수 있다.

proof 2. A =｛x | x = -1 / n, n ∈ ℕ｝의 경우 최댓값은 없으나 sup A = 0이다.

 

 

2. 함수 [목차]

⑴ 함수(function, mapping) : 두 집합 X와 Y가 있을 때 X의 임의의 원소 x를 Y의 한 원소 f(x)에 대응시킬 때 그 f

① 집합 X를 f의 정의역(domain)이라고 함

② 집합 Y를 f의 공역(codomain)이라고 함

③ 공역의 부분집합 중 f(x)의 값들을 모아 놓은 집합을 f의 치역(range)라고 함

⑵ 전단사함수

① 전사함수(surjection, onto function) : 치역과 공역이 같은 함수

② 단사함수(injection, one-to-one function) : 정의역과 치역이 일대일 대응인 함수 

③ 전단사함수(bijection) : f : X → Y가 전사함수인 동시에 단사함수인 경우

⑶ 역함수(inverse function)

① 정의 : f^-1 : X → Y가 함수인 경우

② f의 역함수가 존재하는 것과 f가 전단사함수라는 것은 필요충분조건  

⑷ 상(image)

① 정의 : X의 부분집합 A ⊆ X에 대하여 f에 관한 A의 상을 f(A) ≡ {f(x) ∈ Y : x ∈ A}로 정의함

② 역상(inverse image) : f^-1 : Y → X 

 

입력: 2020.03.19 09:20