【해석학】 2강. 집합의 크기

2강. 집합의 크기

 

추천글 : 【해석학】 해석학 목차 

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1. 자연수, 정수, 유리수의 정의 [본문]

2. 셀만하다는 것 [본문]

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1. 자연수, 정수, 유리수의 정의 [목차]

 

⑴ 귀납성의 정의 : 집합 I ⊆ ℝ가 귀납적이라는 것은 다음을 의미

① 요건 1. 1 ∈ I

② 요건 2. x ∈ I일 때마다 x + 1 ∈ I

 

⑵ 자연수, 정수, 유리수의 정의

① 자연수의 집합 ℕ은 다음과 같이 정의

 

ℕ = ｛x ∈ ℝ | I가 귀납적일 때마다 x ∈ I임｝

 

② 1 + 1을 2, 2 + 1을 3과 같이 씀

③ 정수의 집합 ℤ는 다음과 같이 정의

 

ℤ = ℕ ∪｛0｝∪｛-n | n ∈ ℕ｝

 

④ 유리수의 집합 ℚ는 다음과 같이 정의

 

ℚ =｛m / n | m ∈ ℤ, n ∈ ℕ｝ 

 

⑶ 예제 : I ⊆ ℝ가 귀납적이면 ℕ ⊆ I임을 보이시오.

 

○ 풀이

각 n ∈ ℕ에 대해 n ∈ I이다.

따라서 ℕ ⊆ I이다.

 

⑷ 예제 :  ø ≠ A ⊆ ℕ이면 min A가 존재함을 보이시오.

 

○ 풀이

ø ≠ A ⊆ ℕ이면 min A가 존재하는 것과 A ⊆ 이 min A를 갖지 않으려면 A = ø인 것과 동치이다. (대우 명제)

모든 n ∈ ℕ에 대해 ｛k ∈ ℕ | 1 ≤ k ≤ n｝∩ A = ø임을 증명하면 족하다.

이는 다시 I =｛n ∈ ℕ |｛k ∈ ℕ | 1 ≤ k ≤ n｝∩ A = ø｝가 귀납적임을 증명하면 족하다.

1 ∈ A인 경우 1 = min A이므로 1 ∉ A이다. 따라서 1 ∈ I이다.이제 n ∈ I라고 하면 

｛k ∈ ℕ | 1 ≤ k ≤ n｝∩ A = ø이다.

만약 n+1 ∈ A이면 n+1 = min A이므로 n+1 ∉ A이어야 한다. 따라서 n+1 ∈ I이다.

따라서 I는 귀납적이고 준 명제를 증명하였다.

 

⑸ 예제 : ℕ은 위로 유계가 아님을 보이시오. 

 

○ 풀이

만약 ℕ이 위로 유계라면 완비성 공리에 의해 v = sup ℕ이 존재한다.

모든 n ∈ ℕ에 대해 n+1 ∈ ℕ ≤ v이므로 n ≤ v - 1이다. 

즉 ℕ ≤ v-1이고 예제 3 ②에 의해 v ≤ v-1이다.

따라서 1 ≤ 0이라는 모순이 나온다. ℕ은 위로 유계가 아니다. 

 

 

2. 셀만하다는 것(what the countable is) [목차]

 

⑴ 집합 A가 셀만하다는 것은 전사함수 f : ℕ → A가 존재한다는 것

 

⑵ 예제 : 집합 ℤ, ℚ는 셀만함을 보이시오.

 

○ 풀이

lemma 1. ℤ는 셀만하다

proof 1. f : ℕ → ℤ를 f(1) = 0, f(2n) = n, f(2m+1) = -m이라 하면 f가 전사함수이다.

proof 1. 즉 0, 1, -1, 2, -2, 3, -3 ··· 순으로 자연수 집합 ℕ과 정수 집합 ℤ을 일대일 대응시킬 수 있다.

 

lemma 2. ℚ는 셀만하다

proof 2. g : ℕ → ℚ를 n ∈ ℕ에 대해 2n = 2^a3^b5^c···로 소인수분해한 뒤 g(n) = (b-c) ÷ a라 하면 g가 전사함수임이 분명하다.

 

⑶ 예제 : 모든 a, b ∈ ℝ에 대해 a ＜ b이면 a ＜ q ＜ b인 q ∈ ℚ가 존재함을 보이시오.

 

○ 풀이

경우 1. a, b ∈ ℝ이고 a ＜ b라 하자. 먼저 a ＞ 0인 경우를 다루자.

경우 1. n을 충분히 크게 잡으면 n ＞ (1/a) + (1 / (b-a))가 되도록 할 수 있다.  

경우 1. 또한 충분히 큰 m을 상기하면 A =｛m ∈ℤ | a ＜ m/n｝인 A가 공집합이 아님을 알 수 있다.

경우 1. 이때 A ⊆｛k ∈ ℕ | k ＞ 1｝임을 이해하고 넘어자자. (∵ a ＞ 1/n)

경우 1. m = min A라고 하면 m-1 ∉ A이므로 a ≥ (m-1)/n이다. 즉, 다음이 성립한다.

 

 

경우 1. m/n ∈ ℚ이므로 증명이 완료됐다.

 

경우 2. a, b ∈ ℝ이고 a ≤ 0이라 하자. 

경우 2. n을 충분히 크게 잡으면 n ＞ -a가 되도록 할 수 있다.

경우 2. 0 ＜ n+a ＜ n+b이므로 경우 1의 논리를 적용하면 n+a ＜ q ＜ n+b인 q ∈ ℚ가 존재한다.

경우 2. q - n ∈ ℚ이고 a ＜ q-n ＜ b이므로 증명이 완료됐다. 

 

⑷ 예제 : 실수 집합 ℝ은 셀만하지 않음을 보이시오.

 

○ 풀이

자연수의 집합의 모든 원소를 실수구간 (0, 1]에 대응시키자.

ℕ에서 (0, 1]로의 전사함수 f가 존재한다고 가정하자. 

전사함수 f가 다음과 같이 표현될 수 있다.

 

 

한편 어떤 (0, 1]의 한 원소 b를 다음과 같이 표현할 수 있을 것이다.

 

 

이때 b_k가 f(k)의 소수점 아래 k번째 자리가 다르다고 할 때 b는 f와 대응되지 않는다.

모든 함수 f에 대해 위와 같은 b를 구성할 수 있다.

따라서 전사함수 f를 정의하는 것은 불가능하다.

즉, 실수 집합 ℝ은 셀만하지 않다.

 

⑸ 예제 : 모든 a, b ∈ ℝ에 대해 a ＜ b이면 a ＜ ℓ ＜ b인 무리수 ℓ ∈ ℝ - ℚ가 존재함을 보이시오,

 

○ 풀이

ℚ는 셀만하고 ℝ는 셀만하지 않으므로 ℝ ≠ ℚ이다.

즉 c ∈ ℝ - ℚ가 존재한다.

c ＞ 0인 경우를 생각하자. c ＜ 0인 경우 -c를 고려하면 된다.

a ＜ b이면 ac^-1 ＜ bc^-1이고 예제 7 ②로부터 ac^-1 ＜q ＜ bc^-1인 q ∈ ℚ가 존재한다.

a ＜ qc ＜ b인데 qc ∉ ℚ임이 분명하다.

왜냐하면 유리수 집합은 곱셈에 대해 닫혀있기 때문에 qc ∈ ℚ이면 c ∈ ℚ가 되기 때문이다.

 

⑹ 예제 : 집합 ｛G | G ⊆ ℕ｝은 셀만한가?

 

○ 풀이

｛G | G ⊆ ℕ｝가 셀만하다는 것과 f : ℕ → ｛G | G ⊆ ℕ｝가 존재하는 것과 동치이다.

H =｛n ∈ ℕ | n ∉ f(n)｝이라 하면 H ⊆ ℕ이고 f가 전사함수이므로 H = f(n)인 n이 존재한다.

이때 n ∈ H ⇔ n ∈ f(n)인데 n ∉ f(n)이므로 모순이다.

따라서 H는 공집합이고 f는 존재한다. 즉, 셀만하다.

 

⑺ 예제 : 각 자연수 n에 대해 집합 A_n이 셀만하면 합집합 U_n∈ℕA_n도 셀만함을 보이시오. 

 

○ 풀이

각 n에 대해 전사함수 f_n : ℕ → A_n이 존재한다.

이때 f : ℕ → UA_n을 m ∈ ℕ에 대해 6m을 소인수분해하여 6m = 2ⁿ3^k ···일 때

f(m) = f_n(k)라 정의하면 분명히 f가 전사함수가 된다.

따라서 UA_n은 셀만하다.

 

⑹ 예제 : 집합 ø ≠ A ⊆ ℝ이 각 자연수 n과 서로 다른 a₁, ···, a_n ∈ A에 대해 | a₁ + ··· + a_n | ≤ 1을 만족한다고 하자. 이때 A는 셀만하다는 것을 보이시오.

 

○ 풀이

b ∈ A를 고정하고 A₁ = ｛b｝ ∪ (A ∩ ｛0｝)이라고 하자. 이때 A_n =｛a ∈ A | |a| ＞ 1/n｝∪｛b｝는 셀만하다.

a ∈ A, a ∉ A₁이라면 |a| ＞ 0이므로 1 / |a| ∈ ℝ이다. 

ℕ ≤ 1 / |a|이므로 n ∈ ℕ이 있어 |a| ＞ 1/n  ≥ 1/(n+1)이고 a ∈ A_n+1이다.

따라서  A = U_n∈ℕA_n이고 이제 각 A_n이 셀만함을 보이면 된다.

이를 위해 1 ≤ An의 원소의 개수 ≤ 1 + 2n임을 보이자.

만약 m ∈ ℕ, a₁, ···, a_m ＞ 0, a₁, ···, a_m ∈ A_n이라면 

m/n ＜ a₁ + ··· + a_m = |a₁ + ··· + a_m| ≤ 1로부터 m ＜ n임을 안다.

a_i ＜ 0일 때도 마찬가지이므로 증명이 완료되었다.

 

입력 : 2019.12.24 00:33