【해석학】 3강. 증가수열과 코시수열

3강. 증가수열과 코시수열

 

추천글 : 【해석학】 해석학 목차 

---

풀이가 궁금하시면 답변 바랍니다.

---

1. 수렴의 수렴성과 기본 성질 [본문]

2. 코시수열 [본문]

---

 

1. 수열의 수렴성과 기본 성질 [목차]

 

⑴ 실수열 (a_n)_n∈ℕ이 실수 a로 수렴한다는 것

① N ∈ ℕ, 모든 n ＞ N에 대해 

② 모든 양수 ε에 대해 궁극에는 | a_n - a | ＜ ε인 N이 존재한다는 것

 

⑵ 수열 (a_n)과 증가하는 자연수열 n₁ ＜ n₂ ＜ ···가 있을 때 새로운 수열 (a_nk)_k∈ℕ를 (a_n)의 한 부분수열이라고 함

 

⑶ 예제 : 다음을 증명하여라.

① 수열 (a_n)이 궁극에는 a_n = a이면 (a_n)은 a로 수렴한다.

② (a_n)이 a로 수렴하면 집합 ｛a_n｝은 유계이다.

③ (a_n)이 a로 수렴하고 (b_n)이 b로 수렴한다고 하자. 궁극엔 a_n ≤ b_n이면 a ≤ b임을 보이시오.

④ (a_n)이 a로 수렴하고 또 궁극엔 a_n ≤ b이면 a ≤ b이다. 

⑤ (a_n)이 a로 수렴하고, (a_n)이 또한 b로 수렴하면 a = b이다. 즉, 수렴하는 수열의 수렴값은 유일하다. 

 

 

⑷ 예제 : 다음을 증명하여라.

① (a_n)이 a로 수렴하면, 모든 부분수열 (a_{n_k})도 a로 수렴한다. 

② 수열 (1/n)은 0으로 수렴한다.

 

⑸ 예제 : 다음을 증명하여라. 

① 0 ＜ p ＜ 1일 때 수열 (pⁿ)은 0으로 수렴한다.

② a_n, a ∈ ℝ -｛0｝이고 a가 (a_n)의 수렴값이면 

 

 

이 성립함을 보이시오.

 

⑹ 예제 : 다음을 증명하여라.

① 수열 (a_n) = (1, 0, 1, 0, ···)은 수렴하지 않는다.

② a가 (a_n)의 수렴값이고 b가 (b_n)의 수렴값이면 

 

 

이 성립함을 보이시오.

 

⑺ 예제 : 다음을 증명하여라. 

① 증가수열의 수렴성 : a₁ ≤ a₂ ≤ ···이고 (a_n)이 유계이면 (a_n)은 수렴함을 보이시오. 감소할 때도 같은 결론을 내릴 수 있는가?

② 두 수열 (a_n)과 (b_n)을 a₁ = 1, b₁ = 2이고 

 

 

이며 

 

 

라고 하자. 이때 두 수열이 수렴함을 보이시오.

 

⑻ 예제 : 수열 (a_n)을 a₁ = 3이고 각 n ∈ ℕ에 대해 

 

 

이라고 하자. (a_n)이 수렴함을 보이시오. 무엇으로 수렴하는가?

 

 

2. 코시수열(Cauchy sequence) [목차]

 

⑴ 코시수열의 정의

① N ∈ ℕ, 모든 n, m ＞ N에 대해

② 실수열 (a_n)이 코시 수열이라는 것은 각 ε ＞ 0에 대해 궁극에는 | a_n - a_m | ＜ ε인  N이 존재한다는 것

 

⑵ ℝ²에서의 벡터열 ((a_n, b_n))_n∈ℕ이 벡터 (a, b)로 수렴한다는 것은 

 

 

및  

 

 

과 같다.

 

⑶ 무한급수 I를 

 

 

과 같이 정의하자. 실수열 (a_n)에 대해 무한급수 I가 A로 수렴한다는 것은 부분합의 수열 (A_n)이 A로 수렴한다는 것이다. 여기서 A_n = a₁ + ··· + a_n이다.

 

⑷ Bolzano-Weierstrass 정리 : 실수열 (a_n)이 유계이면 수렴하는 부분수열을 갖는다. ((a_n, b_n))_n∈ℕ에 대해서도 같은 말을 할 수 있는가?

 

⑸ 예제 : (a_n)이 코시수열이면 수렴함을 보이시오.

 

⑹ 예제 :

 

 

이면 

 

 

가 성립함을 증명하시오.

 

⑺ 예제 : (a_n)의 수렴값이 0이지만 무한급수 I가 존재하지 않는 예를 찾으시오.

 

⑻ 예제 : 실수 r에 대해 등비급수 

 

 

는 정확히 언제 수렴하는가?

 

⑼ 예제 : 실수열 a₁, a₂, a₃, ···이 있어 각 n에 대해 a_n ≥ 0이라고 하자. 이때 무한급수 

 

 

가 수렴할 필요충분조건은 부분합의 수열 (A_n)이 유계임을 보이시오.

 

⑽ 예제 : 무한급수 

 

 

이 수렴하면 무한급수 

 

 

도 수렴함을 증명하시오.

 

⑾ 예제 : 수열 (a_n)을 a₁ = 1이고 각 n ∈ ℕ에 대해 

 

 

과 같이 정의하면 (a_n)이 수렴함을 보이시오. 무엇으로 수렴하는가? 이 극한을 무한연분수로 표현할 수 있는가?

 

○ 풀이

 

수학적 귀납법에 의해 a_2n과 a_2n-1은 증가수열임을 보일 수 있다.

또한 a_n ＜ 2이므로 (a_n)은 위로 유계이다.

증가수열이고 유계인 수열은 수렴하므로 (a_2n), (a_2n-1)이 수렴한다.

다음 과정을 보면 알 수 있지만 (a_2n)과 (a_2n-1)의 수렴값은 동일하므로 (a_n)은 수렴한다.

(a_n)의 수렴값을 a라고 두면 다음과 같다.

 

 

무한연분수 표현은 다음과 같다.

 

 

입력 : 2019.12.25 00:53