【해석학】 6강. 대수학의 기본정리

6강. 대수학의 기본정리

 

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1. 대수학의 기본정리 [본문]

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1. 대수학의 기본정리 [목차]

⑴ 정리 : n ∈ ℕ, a_n, ···, a₀ ∈ ℂ, a_n ≠ (0, 0)이면 복소수 z가 있어 p(z) = a_nz_n + ··· a₀ = 0임을 보이시오.

① 직관적 의미 : 임의의 다항식의 모든 해는 복소수 범위 안에 있음  

② a₀ = 0인 경우 자명한 해인 z = 0이 나오므로 a₀ ≠ 0이라고 가정

③ 단계 1. 함수 φ : ℝ² → ℝ이 φ(x, y) = |p(x, y)|일 때 φ가 연속함수이며 어떤 점 (x₀, y₀) = z₀에서 최솟값을 가진다.

 

○ 풀이 : 유계

적당한 양수 K와 C가 있어 |z| ≥ c이면 | p(z) | ≥ K|z|ⁿ임을 보이자.

|z| ≥ 1일 때 |a_n-1 z^n-1 + ··· + a₀| ≤ (|a_n-1| + ··· + |a₀|) |z|^n-1이다. 

c ＞ 0을 c = max { 1, 2( |a_n-1| + ··· + |a₀| ) / |a₀| }, K = |a₀|/2이라 하면

|z| ≥ c일 때, |p(z)| ≥ |a₀| |z|ⁿ - (|a_n-1| + ··· + |a₀|) |z|^n-1

|z| ≥ c일 때, |p(z)| ≥ |a₀| |z|ⁿ - |a₀| |z|ⁿ/2

|z| ≥ c일 때, |p(z)| ≥ K |z|ⁿ

 

○ 풀이 : 최대·최소 정리

함수 φ : ℝ² → ℝ이 φ(x, y) = | p(x + yi) |일 때, φ가 연속함수이며 어떤 z₀ = x₀ + y₀i에서 최솟값을 가짐을 보이자.

(단, z = x + yi = (x, y)로 표기한다.)

함수 φ(x, y) = | p(x, y) |가 연속인 것은, | φ(x, y) - φ(u, v) | ≤ | p(x + yi) - p(u + vi) |이고 p(x + yi)가 연속이기 때문이다.

단계 1로부터 c, K ＞ 0이 있어 |z| ≥ c이면 φ(z) ≥ K|z|ⁿ이다. 

이때, D = {z ∈ ℂ | |z| ≤ c}라 하면 D는 유계인 닫힌 집합이다.

 

따라서 최대·최소 정리에 의해 φ(x₀, y₀) ≤ φ(D)인 (x₀, y₀)가 존재한다.

이로부터 φ(z₀) ≤ φ(ℂ)이다.

 

④ 단계 2. φ(x₀, y₀) = 0이면 증명이 된다. φ(x₀, y₀) ≠ 0이라고 가정하고 모순을 이끌자. 먼저 다음을 만족하는 다항식 q(z)가 존재함을 보이시오. 

○ 모든 z ∈ ℂ에 대해 |q(z)| ≥ 1○ 0＜m ≤ n과 b_m, ···, b_n ∈ ℂ, b_m ≠ 0이 있어 q(z) = 1 - b_m z_m + ··· + b_n z_n이다.

 

○ 풀이

φ(x₀, y₀) = 0이면 증명이 된다. φ(x₀, y₀) ≠ 0이라고 가정하고 모순을 이끌자.

 

p(z) = a_nzⁿ + ··· + a₀일 때, q(z) = p(z₀ - z) / /p(z₀)라 하면,

 

i.  모든 z ∈ ℂ에 대해 |q(z)| ≥ 1이다.

ii. q(0) = 1이고, q(z)는 n차이므로 0 ＜ m ≤ n과 b_m, ···, b_n ∈ ℂ, b_m ≠ 0이 있어 

 

 

⑤ 단계 3. b_m = (r cos θ, r sin θ)라 할 때 ε ＞ 0이 있어 z = (ε cos (-θ / m), ε sin (-θ / m))라 할 때 |q(z)| ＜ 1임을 보이시오.

 

○ 풀이

b_m = r(cos θ + i sin θ)로 표현할 수 있다.

z = ε (cos (-θ/m), sin (-θ/m))일 때, 

 

 

일 경우

 

 

이므로 단계 2의 i.에 모순이다.

 

⑵ 예제 : p(x) = a_nx_n + ··· + a₁x + a₀가 실계수 n차 다항식이면 p(x)는 유한 개의 다항식 p₁(x), ···, p_k(x)과 상수 a_n의 곱이 되며, 여기서 각 p_i(x)는 x - b나 x² - cx + d 꼴임을 보이시오. 여기서 b, c, d ∈ ℝ이고 c² ＜ 4d이다. 

 

⑶ Descartes 규칙 : p(x) = a_nxⁿ + ··· + a₀가 실계수 n차 다항식으로 p(0) ≠ 0이다. ν를 a₀, ···, a_n에서 부호의 변화의 개수라 하자. 또한 μ를 p(x)의 중근을 포함한 양의 근의 개수라 하면 μ ≤ ν이고 μ - ν는 짝수임을 보이시오.

입력: 2019.12.26 14:06

수정: 2024.09.06 13:46