【해석학】 8강. 미분과 편미분

8강. 미분과 편미분

 

추천글 : 【해석학】 해석학 목차 

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1. 일변수함수의 미분 [본문]

2. 다변수함수의 미분 [본문]

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풀이가 궁금하시면 답변 바랍니다.

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1. 일변수함수의 미분 [목차]

 

⑴ 일변수함수의 미분의 정의

 

① f : (a, b) → ℝ와 c ∈ (a, b)에 대해 f가 c에서 미분가능하다는 것은 실수 ℓ이 있어 임의의 ε ＞ 0에 대해 δ ＞ 0이 있어 

 

 

일 때마다 다음이 성립한다는 것

 

 

② n계 도함수 f⁽ⁿ⁾이 존재하고 연속인 함수 f를 Cⁿ 함수라고 함

 

⑵ 평균값 정리 등

 

① 롤의 정리(Rolle's theorem) : f : ℝ → ℝ가 폐구간 [a, b]에서 연속이고 개구간 (a, b)에서 미분가능하며 f(a) = f(b)일 때, f'(c) = 0이 되는 c ∈ (a, b)가 존재한다.

 

○ 풀이

 

최대·최소 정리에 의해 [a, b]에서 f(x)의 최댓값 M과 최솟값 m이 존재한다.

 

case 1. M = m인 경우

f(x)는 [a, b]에서 상수함수이다.

 

 

case 2. M ≠ m인 경우

f(a) = f(b) = t에 대해, M과 m 중 하나는 적어도 t와 다르다.

 

case 2-1. M ≠ t인 경우

f(c₁) = M인, c₁ ∈ (a, b)가 존재한다.

 

 

그런데 f(x)는 미분가능하므로 다음이 성립한다.

 

 

case 2-2. m ≠ t인 경우

f(c₂) = m인, c₂ ∈ (a, b)가 존재한다.

 

 

그런데 f(x)는 미분가능하므로 다음이 성립한다.

 

 

그러므로 주어진 조건에서 f'(c) = 0이 되는 c ∈ (a, b)가 존재한다.

 

② 평균값 정리(mean value theorem) : 함수 f : [a, b] → ℝ이 연속이고 각 x ∈ (a, b)에서 미분가능하면 f(b) - f(a) = f'(c)(b-a)인 a ＜ c ＜ b가 존재함을 증명하라.

 

○ 풀이

 

다음과 같은 함수 g(x)를 정의하자.

 

 

이때 g(a) = g(b) = f(a)이므로 g(x)에 대해 롤의 정리를 적용할 수 있다.

 

 

③ 코시의 평균값 정리(Cauchy's mean value theorem) : 구간 [a, b]에서 정의된 함수 f, g가 [a, b]에서 연속이며 (a, b)에서 미분가능하다. 그러면, f'(x₀) (g(b) - g(a)) = g'(x₀) (f(b) - f(a))가 성립하는 x₀ ∈ (a, b)가 존재한다.

 

○ 풀이

 

F(x) = f(x) (g(b) - g(a)) - g(x) (f(b) - f(a))를 생각하자.

F(a) = f(a) (g(b) - g(a)) - g(a) (f(b) - f(a)) = f(a)g(b) - f(b)g(a)

F(b) = f(b) (g(b) - g(a)) - g(b) (f(b) - f(a)) = f(a)g(b) - f(b)g(a)

F(a) = F(b)이므로 롤의 정리에 의해,

F'(x₀) = f'(x₀) (g(b) - g(a)) - g'(x₀) (f(b) - f(a)) = 0인 x₀ ∈ (a, b)가 존재한다.

 

④ 다르부 정리(theorem of Darboux, 다브루 정리, 다부르 정리) : 함수 f : ℝ → ℝ가 있을 때, 구간 [a, b] 위의 모든 점에서 f'(x)가 존재하고 f'(a) ≠ f'(b)라고 가정하자. f'(a)와 f'(b) 사이에 존재하는 임의의 실수 γ (≠ f'(a), f'(b))에 관하여 f'(c) = γ를 만족하는 점 c ∈ (a, b)가 존재함을 증명하라. 

 

○ 풀이

 

g(x) ≡ f(x) - γ(x - a),    g'(x) = f'(x) - γ

g(x)는 연속이면서 미분가능한 함수이므로 최대최소정리에 의해 구간 [a, b]에서 최댓값과 최솟값을 가짐

 

case 1.    f'(a) ＜ γ ＜ f'(b)

g'(a) = f'(a) - γ ＜ 0,    g'(b) = f'(b) - γ ＞ 0이므로 최소점 c가 존재함을 알 수 있다.

g'(c) = f'(c) - γ = 0    (∵ 미분의 정의)

 

case 2.    f'(b) ＜ γ ＜ f'(a)

g'(a) = f'(a) - γ ＞ 0,    g'(b) = f'(b) - γ ＜ 0이므로 최대점 c가 존재함을 알 수 있다.

g'(c) = f'(c) - γ = 0    (∵ 미분의 정의)

 

참고로 f'(x)가 연속이라는 가정을 요하지 않으며 다르부의 중간값 정리라고도 한다.

 

⑤ 로피탈 정리(L'Hospital's theorem) : 미분가능한 두 함수 f, b에 대하여 

 

 

⑶ 역함수정리

 

 

⑷ 음함수정리

 

 

⑸ 볼록함수와 오목함수 

① 볼록집합(convex set) : 임의의 두 점을 양끝으로 하는 선분의 모든 점이 항상 해당 집합의 원소인 경우

② 볼록함수(convex function) :｛(x, y) | y  ≥  f(x)｝가 볼록집합인 함수

 

 

○ 아래로 볼록을 의미

○ 가로축에 대해서 볼록하다는 의미

③ 강볼록함수(strictly convex function) 

 

 

④ 오목함수(concave function) :｛(x, y) | y  ≤  f(x)｝가 볼록집합인 함수

 

 

○ 위로 볼록을 의미

○ 가로축에 대해서 오목하다는 의미 

⑤ 강오목함수(strictly concave function) 

 

 

⑥ 선형함수(linear function) : 볼록함수이자 오목함수

⑦ 볼록성과 이차도함수의 관계 

○ f"(x) ≥ 0인 것과 볼록함수인 것은 필요충분이고, f"(x) ≤ 0인 것과 오목함수인 것은 필요충분

○ 증명 1. 

 

 

○ 증명 2. 볼록함수의 경우 f"(x) ≥ 0이고 오목함수의 경우 f"(x) ≤ 0이 성립함을 보이는 쉬운 증명

 

 

○ 반례 : 강오목함수라고 하여 f"(x) ＜ 0인 것은 아님

 

 

⑹ 일변수함수의 테일러급수

① 조건 : a ∈ ℝ를 포함하는 적당한 열린구간 I에서 정의된 함수 f :  I → ℝ에 대하여 f⁽ⁿ⁾이 연속이고 미분가능

② 정리 : 다음 관계식을 만족시키는 c_x가 a와 x 사이에 존재함

 

 

③ 해석함수

○ 정의 : 테일러 급수가 원래 함수와 같은 경우

○ 해석함수가 아닌 예 : 이 예는 원점에서 무한번 미분가능하지만 (무한급함수) 테일러 급수인 0과 원래 함수가 다름

 

 

④ 평균값 정리의 확장에 의해 임의의 함수 f, g에 의해 다음 관계식을 발견할 수 있음

 

 

⑤ g(x) = (x-a)xⁿ⁺¹이라고 두면 다음 관계식을 발견할 수 있음

 

 

⑺ 벡터와 일변수 미분

① 벡터의 내적과 일변수 미분

 

 

② 벡터의 외적과 일변수 미분 

 

 

 

2. 다변수함수의 미분 [목차]

 

⑴ 다변수함수

① 동차함수(homogeneous function) : 함수 f : ℝⁿ → ℝ이 고정된 자연수 k에 대해 다음과 같을 때 k차 동차함수라 함

 

 

⑵ 다변수함수의 미분가능성

 

① 집합 D ⊆ ℝ^k와 u₀ ∈ ℝ^k이 있어 모든 δ ＞ 0에 대해 0 ＜ |u - u₀| ＜ δ인 u ∈ D가 있다고 하자. 이때 함수 g : D → ℝ^ℓ가 u₀ ∈ ℝ^k에서 극한 v ∈ ℝ^ℓ를 갖는다는 것은 각 ε ＞ 0에 대해 δ ＞ 0가 있어 u ∈ D, 0 ＜ |u - u₀| ＜δ일 때마다 |g(u) - g(u₀)| ＜ ε라는 것이다. 이때 

 

 

과 같이 나타낸다.

 

② 열린집합 D ⊆ ℝ²와 함수 f : D → ℝ가 있다. 이때 f가 (x₀, y₀) ∈ D에서 미분가능하다는 것은 실수 ℓ, m이 있어

 

 

과 같다는 것이다. 이때 ℓ, m이 유일함을 보일 수 있는데 f'(x₀, y₀) = [ℓ, m]이라 쓴다.

③ 예제 : f가 (x₀, y₀)에서 미분가능할 경우 f가 두 편도함수를 가지며 f_x(x₀, y₀) = ℓ, f_y(x₀, y₀) = m임을 보이시오. 따라서 ℓ, m이 유일하다.

④ 예제 : 열린집합 D ⊆ ℝ^k와 함수 f : D → ℝ에 대해 미분은 어떻게 정의하겠는가? D ⊆ ℝ^k이고 함수 f : D → ℝ^ℓ일 때도 정의를 할 수 있는가?

⑶ 다변수함수의 미분의 정의

① 야코비 행렬(Jacobian matrix) : 영역 Ω ⊂ ℝⁿ에서 정의된 함수 F = (f₁, ···, f_m)' : Ω → ℝ^m가 점 p ∈ Ω에서 미분가능하다고 했을 때 야코비 행렬을 다음과 같이 정의함

 

 

② 헤세 행렬(Hessian matrix)

○ 2 × 2 행렬의 헤세 행렬

 

 

○ 3 × 3 행렬의 헤세 행렬

 

 

○ n × n 행렬의 헤세 행렬

 

 

③ 그래디언트(gradient)

 

 

 

④ 전미분

 

 

 

⑷ 방향미분과 편미분 

① D ⊆ ℝ³가 열린집합으로 u ∈ D, v ∈ ℝ³가 |v| = 1일 때, 함수 G : D → ℝ가 u에서의 방향미분 ℓ = D_vG(u)은 다음과 같음

 

 

② 편도함수

 

 

③ 예제 : 방향미분을 변수가 2개인 함수에 대해 정의하고 그 기하학적 의미를 설명하시오. 

④ 예제 : 함수 g : D → ℝ에 대해 

 

 

을 정확히 정의하고 기본 법칙들을 찾아 증명하시오.

⑤ 예제 : f : (a, b) → ℝ가 c ∈ (a, b)에서 미분가능하면 f가 c에서 연속임을 보이시오.

⑥ 예제 : f : (a, b) → ℝ가 u ∈ (a, b)에서 미분가능하고 g : (c, d) → ℝ가 v = f(u) ∈ f((a, b)) ⊆ (c, d)에서 미분가능하다고 하자. 이때 합성함수 h : (a, b) → ℝ도 u에서 미분가능하며 

 

 

을 만족함을 보이시오.

⑦ 예제 : f, g : (a, b) → ℝ가 c ∈ (a, b)에서 미분가능하면 fg도 c에서 미분가능함을 보이시오.

⑧ 예제 : f : (a, b) → (c, d)가 증가하는 전단사함수로 u ∈ (a, b)에서 미분가능하며 f'(u) ≠ 0이다. 이때 역함수 g가 v = f(u)에서 미분가능하며 g'(v) = 1 / f'(u)임을 보이시오. g(x) = x^⅓일 때 g'(8)을 구할 수 있는가?

⑨ 예제 : 열린집합 D ⊆ ℝ³의 각 점에서 함수 f₁, f₂ : D → ℝ가 편도함수들을 갖고, u₀ ∈ D에서 연속하면 f = [f₁, f₂]^T가 u₀에서 미분가능함을 보이시오.

⑩ 예제 : 열린집합 D ⊆ ℝ²의 각 점에서 함수 f : D → ℝ가 편미분 f_xy, f_yx를 갖고 u₀ ∈ D에서 연속이면 f_xy(u₀) = f_yx(u₀)임을 보이시오.

⑪ 예제 : 함수 f : ℝ² → ℝ을 f(0, 0) = 0, f(x, y) = xy / (x² + y²), (x, y) ≠ (0, 0)으로 정의하면 f_x, f_y가 모든 점에서 존재하나 함수 f 자신은 원점에서 연속이 아님을 보이시오. 함수 g를 g(0, 0) = 0, g(x, y) = xy(x² - y²) / (x² + y²)이라고 하면 g_xy, g_yx가 모두 연속인가?

⑫ 예제 : 함수 f : (a, b) → ℝ³와 g : D → ℝ가 있다. 여기서 D ⊆ ℝ³는 f((a, b))를 포함하는 열린집합이다. f가 c ∈ (a, b)에서 미분가능하고 g가 u = f(c)에서 미분가능하면 h = g∘ f도 c에서 미분가능하고 f = [f₁, f₂, f₃]^T로 쓸 때

 

 

을 만족함을 보이시오.

⑬ 예제 : 위에서 gradient를 ∇g = (∂g / ∂x₁, ∂g / ∂x₂, ∂g / ∂x₃)라 정의할 때 v ∈ ℝ³가 |v| = 1에 대해 방향미분 D_vg(u)은 D_vg(u) = v·∇g(u) = |∇g(u)| cos θ가 됨을 보이시오. 여기서 θ는 두 벡터 v, ∇g(u) 사이의 각이다. 어떠한 v에 대해 D_vg(u)가 최대가 되는가?

⑸ 연쇄법칙(chain rule)

 

① 라이프니츠 표기법을 이용한 다변수함수 미분의 연쇄법칙

 

 

② 야코비 행렬을 이용한 다변수함수의 미분의 연쇄법칙

 

 

⑹ 역함수 정리

① det[J_F(G(y))] ≠ 0에 대하여,

 

 

② (주석) 역함수의 도함수는 야코비 행렬의 역함수로 구할 수 있다는 의미

③ 예제 

 

 

⑺ 음함수 정리

① 정리

 

 

② 이변수함수인 경우 : 함수 f(x, y)가 열린집합 (a, b) ∈ D 위에서 정의되고 연속인 f_x, f_y : D → ℝ를 갖는다. f(a, b) = 0, f_y(a, b) ≠ 0이면 ε, δ ＞ 0와 함수 φ : (a - δ, a + δ) → (b - ε, b + ε)이 있어 다음 조건을 만족한다.

 

○ U = (a - δ, a + δ) × (b - ε, b + ε) ⊆ D

○ φ(a) = b

○ 각 |x - a| ＜ δ에 대해 f(x, φ(x)) = 0임

○ (x, y) ∈ U이고 f(x, y) = 0이면 y = φ(x)

○ φ는 연속인 1차 편미분을 가짐

 

③ 예제 : 위 정리에서 φ가 1차 편미분을 가짐을 보이시오.

④ 예제 

 

 

⑺ 다변수함수의 볼록성 : 준볼록함수와 준오목함수  

① 준볼록함수(quasi-convex function) : ℝⁿ의 볼록 부분집합  Ω에서 정의된 함수 f : Ω → ℝ에 대하여,

 

 

② 준오목함수(quasi-concave function) : ℝⁿ의 볼록 부분집합  Ω에서 정의된 함수 f : Ω → ℝ에 대하여, 

 

 

③ 위 정의에서 등호가 없는 경우를 강준오목함수(strictly quasi-concave function), 강준볼록함수(strictly quasi-convex function)라고 함

④ f : Ω → ℝ가 준볼록함수 ⇔ 임의의 실수 a ∈ ℝ에 대하여 집합 C_a^- ≡ {x ∈ Ω : f(x) ≤ a}가 볼록집합

⑤ f : Ω → ℝ가 준오목함수 ⇔ 임의의 실수 a ∈ ℝ에 대하여 집합 C_a⁺ ≡ {x ∈ Ω : f(x) ≥ a}가 볼록집합 

⑻ 다변수 함수의 테일러 급수

 

 

⑼ 조화함수

 

① 열린집합 D ⊆ ℝ² 위에서 함수 g : D → ℝ가 연속인 g_xx, g_xy, g_yx, g_yy를 갖고 g_xx + g_yy = 0일 때 조화함수라고 한다. 

② 예로 g(x, y) = x² - y²은 조화함수이다.

③ 예제 : 함수 g : ℝ² → ℝ가 조화함수라 하자. x = r cos θ, y = r sin θ라 하면 r, θ에 관한 함수 h(r, θ) = g(r cos θ, r sin θ)가 생긴다. 이때 h는 

 

 

을 보이시오.

④ 예제 : 반평면 D =｛(x, y) | y ＞ 0｝에서의 각 점 (x, y)에서 0 ＜ θ ＜ π를 벡터 (x, y)이 양의 x축과 이루는 각이라 하면 θ는 조화함수임을 보이시오.

⑽ 직교좌표계와 극좌표계의 관계식

 

 

입력: 2020.01.01 21:15