【해석학】 7강. 고정점 정리

7강. 고정점 정리

 

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풀이가 궁금하시면 답변 바랍니다.

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1. 열린집합 [본문]

2. 선분과 점이라는 것 [본문]

3. 고정점 [본문]

4. simplex 위에서의 연속함수가 고정점을 가지는 것을 증명 [본문]

5. Brouwer 고정점 정리 [본문]

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1. 열린집합이라는 것 [목차]

⑴ U ⊆ ℝ^k가 열린집합이라는 것은 여집합 U^c가 닫힌집합이라는 것이다.

 

⑵ 예제 : C ⊆ ℝ²가 닫힌집합이다. 함수 f : C → C가 0＜L＜1이 있어 모든 u, v ∈ C에 대해 |f(u) - f(v)| ≤ L|u - v|를 만족한다고 하자. 이때 f는 유일한 고정점을 가짐을 보이시오. 

 

⑶ 예제 : U ⊆ ℝ^k가 열린집합이라는 것은 각 u ∈ U에 대해 ε ＞ 0이 있어 v ∈ ℝ^k, |u - v| ＜ ε이면 u ∈ U라는 것을 보이시오.

 

⑷ 예제 : f : [a, b] → [c, d]가 증가하는 연속함수로 f(a) = c, f(b) = d이다. 이때 f는 역함수 g : [c, d] → [a, b]를 가지며 g도 연속임을 보이시오.

 

⑸ 예제 : 함수 f : [a, b] → ℝ가 연속인 단사함수로 f(a) ＜ f(b)이다. 이때 f는 증가함수임을 보이시오,

2. 선분과 점이라는 것 [목차]

⑴ 한 점 u ∈ ℝ²에 대해 |u| = ｛u｝는 점이며 다른 두 점 u, v ∈ ℝ²에 대하여 선분을 [u, v]라고 표시한다.

 

 

⑵ 한 직선 위에 있지 않는 u, v, ω ∈ ℝ²에 대해 삼각형을 [u, v, ω]라고 표시한다.

 

 

⑶ 함수 S : ℝ² → ℝ²가 선형함수라는 것은 S(αu + βv) = αS(u) + βS(v)가 모든 α, β ∈ ℝ와 u, v ∈ ℝ²에 대해 성립한다는 것이다.

 

⑷ 예제 : S : ℝ² → ℝ²가 선형함수이면 S가 연속임을 보이시오. 

 

⑸ 예제 : u, v, ω ∈ ℝ²가 한 직선 위에 놓여 있지 않다고 하자. 이때 삼각형 [u, v, ω]의 각 점 x에 대해 유일한 α, β, γ ≥ 0가 있어 α + β + γ = 1, x = αu + βv + γω임을 보이시오. 또한 α = α(x), β = β(x), γ = γ(x)가 연속함수임을 보이시오. 

 

 

3. 고정점(fixed point) [목차]

 

⑴ 정의 : f(x) = x인 점

 

⑵ lemma. 일변수함수 f가 미분 가능하고 정의역 위의 모든 점에서 f' ≠ 1 ⇒ f는 기껏해야 한 개의 고정점을 가짐

 

 

⑶ lemma. ∀x, y ∈ ℝ, x ≠ y에 대해 | f(x) - f(y) | ＜ |x - y|을 만족 ⇒ f는 기껏해야 한 개의 고정점을 가짐

① f(x₁) = x₁, f(x₂) = x₂인 서로 다른 x₁, x₂가 존재하면 | f(x₁) - f(x₂) | = | x₁ - x₂ |이므로 모순 (Q. E. D)

② 다음과 같은 함수는 위 조건을 만족하면서 고정점이 존재하지 않음

 

 

 

4. simplex 위에서의 연속함수가 고정점을 가짐을 증명 [목차]

 

⑴ 삼각형 T = [ω₀, ω₁, ω₂]에 대해 simT = ｛[ω_j] | 0 ≤ j ≤ 2｝ ∪ ｛[ω_i, ω_j] | i ≠ j｝∪｛T｝라 하자. 또한 T'이란 각 치환 σ :｛0, 1, 2｝→｛0, 1, 2｝에 대해

 

 

과 같은 삼각형들을 모은 집합이라 하자.

 

⑵ 즉, T'는 삼각형 T를 여섯 개의 부분 삼각형으로 분할한 것이다.

 

Figure. 1. simplex

 

⑶ 이하에서 세 개의 특정한 점을 v₀ = (0, 0), v₁ = (1, 0), v₂ = (0, 2)라 하고 삼각형 Δ = [v₀, v₁, v₂]의 삼각분할 Δ⁽ⁿ⁾ (n = 0, 1, 2, ···)을 Δ ⁽⁰⁾ =｛Δ｝이고, n ≥ 0에 대해 Δ ⁽ⁿ⁺¹⁾ = ∪｛T' | T ∈ Δ ⁽ⁿ⁾｝으로 정의하자. 그리고 simplex 단을 sim Δ ⁽ⁿ⁾ = ∪｛sim T | T ∈ Δ⁽ⁿ⁾｝로 정의하자.

 

Figure. 2. simplex 단

 

⑷ 예제 : |Δ ⁽ⁿ⁾|을 T ∈ Δ ⁽ⁿ⁾인 T 중 가장 긴 변의 길이라고 하면 다음이 성립함을 보이시오.

 

 

⑸ 예제 : n ∈ ℕ을 고정하고 Δ ⁽ⁿ⁾에 있는 삼각형들의 꼭짓점의 모든 모임을 V라 하자. γ : V →｛0, 1, 2｝가 함수로 각 0 ≤ i ≤ 2에 대해 γ(v_i) = i이고, 각 0 ≤ i ≠ j ≤ 2에 대해

 

 

을 만족한다고 하자. 이때 T ∈ Δ ⁽ⁿ⁾이 있어 γ(T ∩ V) =｛0, 1, 2｝임을 보이시오. 즉, 무지개 삼각형 T ∈ Δ ⁽ⁿ⁾가 존재한다.

 

⑹ 예제 : A₀, A₁, A₂ ⊆ Δ가 닫힌집합으로 A₀ ∪ A₁ ∪ A₂ = Δ라 하자. 각 0 ≤ i ≤ 2에 대해 v_i ∈ A_i이고 각 0 ≤ i ≠ j ≤ 2에 대해

 

 

이 성립한다고 하자. 이때 A₀ ∩ A₁ ∩ A₂ ≠ ø임을 보이시오.

① 단계 1. 각 양수 ε에 대해 a₀ ∈ A₀, a₁ ∈ A₁, a₂ ∈ A₂가 존재하여 |a_i - a_j| ＜ ε이 모든 0 ≤ i, j ≤ 2에 대해 성립함을 보이시오. 이것을 위해 n을 크게 잡아 |Δ ⁽ⁿ⁾| ＜ ε이 되게 하고 Δ ⁽ⁿ⁾의 꼭짓점의 집합 V에 대해 γ : V →｛0, 1, 2｝를 x ∈ V일 때 x ∈ A_γ(x)이고 γ가 예제 7의 조건을 만족하도록 정의하시오. 

② 단계 2. A₀ ∩ A₁ ∩ A₂ ≠ ø를 증명하시오. 

 

 

5. Brouwer 고정점 정리 : 중간값 정리의 2차원으로의 확장 [목차]

 

⑴ f : Δ → Δ가 연속함수이면 고정점을 가진다.

 

⑵ 예제 : 함수 f : [0, 1] × [0, 1] → [0, 1] × [0, 1]이 연속이면 고정점을 가진다. 일반적으로 C ⊆ ℝ²에 대해 전단사함수 φ : C → Δ가 있어 φ와 φ^-1가 모두 연속이면, 모든 연속함수 f : C → C는 고정점을 가진다. 따라서 서울에 있는 어느 강의실에서 한국지도를 펼치면 지도 위의 점과 그 점이 가리키는 실제 지점이 일치하는 점이 존재한다.

 

입력: 2019.12.26 14:33