【재료역학】 4강. 인장과 압축

4강. 인장과 압축(stress and strain)

 

추천글 : 【재료역학】 재료역학 목차 

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1. 축 방향 응력 계산 [본문]

2. 부하-변형 곡선 [본문]

3. 여러 가지 응력 [본문]

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1. 축 방향 응력 계산 [목차]

⑴ 인장, 압축

 

 

Figure. 1. 축 방향 응력 계산

 

⑵ 수평면 내에서 회전하는, 두께가 얇은 링에 생기는 인장응력

 

Figure. 2. 수평면 내에서 회전하는, 두께가 얇은 링에 생기는 인장응력

 

 

 

2. 부하-변형 곡선(strain-stress curve) [목차]

⑴ 개요

① 부하-변형 곡선

출처 : 이미지 클릭

Figure. 3. 부하-변형 곡선^]

 

○ 가로축 : 변형률(strain)

 

 

○ 세로축 : 응력(stress)

 

 

○ 아래 면적 : 에너지

 

 

② 압축실험장치

○ 부하-변형 곡선은 일반적으로 인장실험보다 압축실험을 통해 얻어짐

○ 압축실험장치로 일반적으로 만능인장압축시험기( UTM, universal testing machine)이 사용됨

 

출처 : 금동혁, 수확후 공정공학, 도서출판 씨아이알, 2008

Figure. 4. 압축실험장치의 구성도

 

○ 단단한 시료 : 크로스헤드의 하강속도를 1.23 mm/min ± 50% 정도로 설정

○ 무른 시료 : 크로스헤드의 하강속도를 2.5-30 mm/min ± 50% 정도로 설정

⑵ 탄성영역(elastic region)

① 정의 : 탄성에 의해 복원할 수 있는 변형률 범위

② 비례한도(limit of proportionality)

○ 정의 : 훅의 법칙이 성립하는 변형률 범위

○ 훅의 법칙(Hooke's law) : σ = Eε. σ : 응력. E : 탄성계수. ε : 변형률

 

 

○ 탄성계수(영률, modulus of elasticity, Young's modulus) 

○ 0 ~ 비례한도까지의 기울기로 일정한 값을 가짐

○ 단단한 물체일수록 E 값이 크고 변형이 어려움  

○ 겉보기 탄성계수(apparent modulus of elasticity)

○ 이니셜 탄젠트 모듈러스(initial tangent modulus) : 원점에서의 접선기울기

○ 시컨트 모듈러스(secant modulus) : 원점을 지나는 직선의 평균기울기

○ 탄젠트 모듈러스(tangent modulus) : 임의의 점에서의 접선의 기울기

○ Hertz의 접촉이론에서 유도된 탄성계수 식 

 

 

○ 탄성도(degree of elasticity)

 

 

○ 레질리언스(resilience) : 응력-변형률 곡선에서 비례한도까지의 아래 면적. 변형 에너지의 척도 중 하나

○ 비례한도가 정의되지 않는 경우 항복지점까지의 면적으로 정의하기도 함

○ 예제

○ 수평 강체 빔 ABCD는 수직 바 BE와 CF에 의해 지지되며, 각각의 점 A와 D에서 수직 힘 P1 = 400 kN과 P2 = 360 kN이 작용하고 있습니다(도표 참조). BE와 CF 바는 강철(E = 200 GPa)로 만들어졌으며, 단면 면적은 BE = 11,100 ㎟, CF = 9,280 ㎟입니다. 바들의 다양한 점 사이의 거리는 도표에 표시되어 있습니다. 점 A와 D의 수직 변위 δA와 δD를 결정하십시오.

 

 

 

Figure. 5. 예제

 

 

③ 항복지점(yield point)

○ 탄성영역이 끝나는 지점 : 항복지점 이후에는 미세한 파괴가 시작하여 원 상태로 돌아오지 못함 

○ 하중이 일시적으로 증가하지 않는 지점

○ 거침성(roughness) : 항복지점까지 필요한 에너지

○ 강직도(stiffness) : 0 ~ 항복지점까지의 평균 기울기 

○ 항복변형량(yield deformation) : 0 ~ 항복지점까지의 변형량

④ 이력현상(hysteresis)

○ 이력현상 : 물질의 물리량이 현재의 상태뿐만 아니라 상태의 변화 과정에 의하여 결정되는 현상

○ 응력-변형률 곡선의 이력현상 : 항복지점 이상의 변형을 가하면 부하를 제거해도 원래 상태로 회복되지 않는 현상

○ 기계적 이력(mechanical hysteresis) : 하중을 loading할 때 흡수한 일량 - 그 뒤 하중을 unloading할 때 방출된 일량

○ 기계적 이력은 변형에너지(strain energy)를 열로 확산시키는 척도로서 단위체적당 일량 J/m³으로 표시

○ 이력손실(hysteresis loss) : 하중을 loading할 때 흡수한 일량에 대한 기계적 이력의 비. 백분율로 표시

⑶ 소성영역(plastic region)

① 정의 : 탄성에 의해 복원할 수 없는 변형률 범위

② 탄성 및 비탄성 변형에너지

○ 탄성한도 이내 : 전체 에너지가 복원됨

○ 탄성한도를 넘어서는 변형 : 새로운 탄성 구간에 대한 에너지만 복원됨

 

Figure. 6. 탄성 및 비탄성 변형에너지

 

③ 파단(rupture, fracture)

○ 정의 : 물체가 완전히 파괴되는 지점

○ 견고도(toughness) : 최종 파단 지점까지 필요한 에너지 

○ 파단변형량(rupture of deformation) : 0 ~ 최종 파단 지점까지 필요한 변형량

○ 파단강도(fracture strength) : 파단 시 재료에 가해진 응력 

④ 극한응력(ultimate stress) : 항복지점에서 최종 파단 지점까지 중 응력의 극대값

○ 일반적으로 최종 파단 지점의 응력을 지칭함

○ 강도(strength) : 물체의 극한응력  

⑤ 연성과 취성 : 정도의 차이

○ 연성(ductility) : 항복지점 이후 최종 파단 지점까지 변형률이 많이 필요한 물성

○ 연성 물질이 파괴될 때 파괴면이 많이 변형

○ 취성(brittleness) : 항복지점 이후 최종 파단 지점까지 변형률이 적게 필요한 물성

○ 취성 물질이 파괴될 때 파괴면이 거의 변하지 않음

⑷ 피로(fatigue)

① 정의 : 파단응력 이하의 응력이 지속적으로 가해져도 일정 시간 후 재료가 파괴되는 현상

② 반복피로(cyclic fatigue) 

③ 점탄성이 있는 물질은 응력-하중의 관계가 시간에 따라 변화

○ 리올로지 모델로 설명

○ 응력이완(stress relaxation) : 변형률이 일정할 때 응력이 감소하는 현상 

○ 크리프 현상(creep phenomenon) : 항복점 이하의 작은 하중에도 작용시간이 길어지면 손상이 발생하는 현상

⑸ 포아송 비(푸아송 비, Poisson's ratio)

① 정의 : 가로 변형률을 세로 변형률로 나눈 값 

 

 

○ 푸아송 비는 항상 양의 값

○ 결정구조에 따라 값이 결정 

○ 포아송 비는 항상 0.5보다 작음 

○ 금속의 경우 일반적으로 1/3 

② 단면적의 변화율 : 포아송 비 ν에 대하여,

 

 

③ 체적변화율 : 중첩의 원리(superposition's law)를 통해 얻어짐

○ 수식화 

 

 

○ 충분히 특정 단면의 결정구조를 확장하여 체적 변형률 ε_V를 결정할 수 있음

 

 

○ 체적 변형률 ε_V는 대략 다음과 같이 표현할 수도 있음 

 

 

○ 팽창을 시켰을 때 부피변화율이 음일 수 없음 

 

 

○ 단, 고무는 포와송의 비 ν의 값이 0.5이므로 체적의 변화가 없음 

④ 세로 탄성 계수 E와 가로 탄성 계수 G의 관계식

 

 

 

3. 여러 가지 응력 [목차]

⑴ 편심하중을 받는 단주

① 최대 응력 : 참고로 M은 무게중심에 대한 모멘트임

 

 

② 최소 응력 : 참고로 M은 무게중심에 대한 모멘트임

 

 

③ 핵심거리 : 최소 응력이 0이 되는 편심거리 e를 지칭함 

 

 

⑵ 장주 

① 오일러의 좌굴하중 : 임계하중, 안전하중이라고도 함 

 

 

○ n : 단말계수. 이 값이 클수록 강한 기둥

○ ℓ : 기둥의 길이. 이 값이 클수록 약한 기둥

○ (주석) EI는 대부분 붙어 다님

② 오일러의 좌굴응력 

 

 

○ k : 회전반경 (최소 단면 2차 반경)

○ λ : 세장비

③ 좌굴세장비 : 유효세장비라고도 함

 

 

⑶ 열응력(thermal stress)

① 열팽창

○ 부재의 온도가 증가하면 모든 방향으로 길이가 증가 : 운동에너지 상승 때문

○ 선팽창 계수가 α이고 온도 변화가 ΔT일 때 선형 물체의 늘어난 전체 길이 ℓ = ℓ₀ (1 + α ΔT) 

○ 부피팽창 계수가 β이고 온도 변화가 ΔT일 때 물체의 늘어난 전체 부피 V = V₀ (1 + β ΔT)

○ β ≒ 3 α가 성립 : 1 + β ΔT = (1 + α ΔT)³ ≒ 1 + 3α ΔT (증명)

○ 열팽창 계수 : Zn, Pb, Mg ＞ W, Mo ＞ V

② 열응력 : 부재가 열팽창하지만 두 점 간의 거리가 변할 수 없는 경우 응력이 발생

 

Figure. 7. 열에 의한 응력

 

 

⑷ 충격 응력(impulse stress)

① 수식화 : 팁. 암기해야 함

 

 

② 초속도 없이 급격히 힘을 가하면 σ = 2σ₀ : 위 수식에서 H = 0을 대입하면 됨 

⑸ 부정정 

① 예제

○ 도표에 나타난 축방향으로 부하가 가해진 바 ABCD는 강한 지지대에 의해 고정되어 있습니다. 이 바는 A에서 C까지 단면적이 A₁이고, C에서 D까지 단면적이 2A₁입니다. 바의 끝 부분에서의 반력 R_A와 R_D를 결정하십시오.

 

Figure. 8. 부정정 예제

 

 

입력: 2016.04.24 16:32

수정: 2020.06.30 21:33