【재료역학】 6강. 모어 원

6강. 모어 원(모아 원, Mohr's circle)

 

추천글 : 【재료역학】 재료역학 목차 

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1. 2차원상의 모아 원 [본문]

2. 3축 응력 [본문]

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1. 2차원상의 모아 원 [목차]

⑴ (참고) 응력 요소 

 

 

Figure. 1. 응력 요소

⒜ 3차원 형상의 응력 표시

⒝ 2차원 단면의 응력 표시

⒞ 기울어진 2차원 단면의 응력 표시 

 

① ⒝에서 대칭성에 의해 좌측면의 전단응력 = 우측면의 전단응력 = τ_xy 

② ⒞에서 대칭성에 의해 좌측면의 전단응력 = 우측면의 전단응력 = τ_x1y1 

③ ⒝에서 모멘트 평형에 의해 전단응력이 같음 : τ_xy = τ_yx 

④ ⒞에서 모멘트 평형에 의해 전단응력이 같음 : τ_x1y1 = τ_y1x1 

⑤ ⒝에서 힘 평형에 의해 수직응력이 같음 : 좌측면의 수직응력 = 우측면의 수직응력 = σ_x 

⑥ ⒞에서 힘 평형에 의해 수직응력이 같음 : 좌측면의 수직응력 = 우측면의 수직응력 = σ_x1 

⑵ 절단면에 작용하는 응력

 

 

 

Figure. 2. 절단면에 작용하는 응력

 

① 절단면의 법선방향에 대한 평형조건

 

 

② 절단면의 접선방향에 대한 평형조건

 

 

③ 결론 : 다음과 같은 원의 방정식을 찾을 수 있음

 

 

④ 주평면 : 최대, 최소 응력이 존재하고 전단력이 0인 단면

⑶ 모어 원 그래프 도식 

 

 

Figure. 3. 모어 원 그래프 도식

 

① 반지름의 제곱이 (0.5σ_x - 0.5σ_y)² + τ_xy²이고 중심이 (0.5σ_x + 0.5σ_y, 0)인 원의 방정식

② 양의 x축으로부터 θ 각을 이루는 x₁ - y₁ 평면 위에 작용하는 응력 σ_x1과 τ_x1y1은 모어 원에서 σ_x1 축으로부터 반시계 방향으로 2θ 회전한 원주상의 좌표임

③ 해석 1. θ = 0일 때 수직응력은 최대이고 전단응력은 최소임 (자명)

④ 해석 2. ± 45°에서 τ_x1y1의 절댓값이 최대이므로 ± 45°를 따라 전단면이 형성

⑷ 스트레인 로제트(strain rosette)

① 일반식

 

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Figure. 4. 스트레인 로제트

 

 

② 스트레인 로제트 - 45° 

 

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Figure. 5. 스트레인 로제트 - 45°^]

 

 

③ 스트레인 로제트 - 60°

 

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Figure. 6. 스트레인 로제트 - 60°^]

 

 

 

2. 3축 응력 [목차]

⑴ 예제 1. τ_p가 없다고 가정

① 4면체의 응력 요소 

Figure. 7. 4면체의 응력 요소

 

② 전단응력 표시

 

Figure. 8. 전단응력 표시

(단, l, m, n은 방향 코사인(direction cosine))

 

○ x축에 대한 모멘트 평형에 의해 전단응력이 같음 : τ_zy = τ_yz

○ y축에 대한 모멘트 평형에 의해 전단응력이 같음 : τ_zx = τ_xz

○ z축에 대한 모멘트 평형에 의해 전단응력이 같음 : τ_yx = τ_xy

③ 기본 방정식

 

 

④ 행렬표현

 

 

⑵ 예제 2. 외부 전단응력이 없다고 가정

① 조건 수식화

 

 

② 기본 방정식 : 힘의 평형 도입

 

 

③ τ_p를 다음 조건을 만족하는 τ₁과 τ₂로 분해

○ τ₁은 (-m, l, 0)에 평행 : (l, m, n)과 수직

○ τ₂는 (-n, 0, l)에 평행 : (l, m, n)과 수직 

○ 발상 : σ_p가 (l, m, n)에 평행한 상황에서 x축, y축, z축에 대한 각 힘의 평형식에서 σ_p ΔA에 붙는 계수가 각각 l, m, n

○ 식의 재구성

 

 

○ 결과

 

 

④ 그래프 도식 : 가로축을 σ_p, 세로축을 τ_p라고 할 때 

○ l = 0인 경우 : 원의 방정식

 

 

○ m = 0인 경우 : 원의 방정식 

○ n = 0인 경우 : 원의 방정식

○ 종합적인 상황

Figure. 9. 종합적인 상황

 

○ 전략 :  l = 0, m = 0, n = 0 각각에 대해 원을 따로 그림

○ 총 네 개의 영역으로 구분 : 편의상 위쪽을 영역 1, 왼쪽을 영역 2, 오른쪽을 영역 3, 아래쪽을 영역 4로 정의

○ Lemma. 종합적인 상황에서 모든 점은 영역 1 또는 영역 4에 놓임

⑤ Lemma의 증명 

○ 우선 l ≥ 0, m ≥ 0, n ≥ 0에 대해서만 생각

○ 내부 점의 존재성 : 당장 P2라는 점이 대응되는 상황이 있음 

○ 각각의 원 위에 점이 있는 경우 : l, m, n 중 하나는 0이어야 함 

○ 가장 큰 원의 밖에 점이 있는 경우 

○ Figure. 6.에서 가장 큰 원을 통과하지 않고 l, m, n의 값을 바꿔서 P2로 도달할 수 있는 경로는 없음

○ P2 근처의 점으로 이동하는데 l = 0, m = 0, 또는 n = 0이 되지 않도록 방향벡터 (l, m, n)의 경로를 설정하는 것은 가능

○ 따라서 가장 큰 원의 밖에 점이 있는 경우는 존재하지 않음 

○ 왼쪽 원 안에 점이 있는 경우 : P1 근처의 점에 대해서 비슷한 논리를 적용할 수 있음

○ 오른쪽 원 안에 점이 있는 경우 : P3 근처의 점에 대해서 비슷한 논리를 적용할 수 있음

○ 연속성에 의해서 l ≥ 0, m ≥ 0, n ≥ 0이 아니어도 적용 가능

○ 엄밀하지 못한 서술

○ l ≥ 0, m ≥ 0, n ≥ 0이라 해도 영역 1 + 영역 4를 모두 덮지 못함

 

입력: 2016.05.30 11:21