【정수론】 정수 집합과 필요충분조건

정수 집합과 필요충분조건 

 

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1. problem

2. lemma 1

3. lemma 2

4. lemma 3

5. lemma 4

6. 결론

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1. problem

a₁, a₂, ···, a_n은 최대공약수가 1인 정수들이다. S를 다음 조건들을 만족하는 어떤 정수 집합이라고 하자. 

 

⑴ a₁, ···, a_n ∈ S

⑵ 임의의 i, j = 1, ···, n에 대하여 (꼭 서로 다를 필요는 없다), a_i - a_j ∈ S

⑶ 임의의 정수 x, y에 대하여 x, y, x + y ∈ S이면 x - y ∈ S

 

S는 정수 전체의 집합이어야 함을 증명하여라.

 

 

2. lemma 1. k ∈ S라면 -k ∈ S이다.

조건 ⑵에서 i = j라면 0 ∈ S를 만족함을 알 수 있다. 조건 ⑶에서 x = 0, y = k을 대입하면 x + y = y ∈ S이므로 x - y = -k ∈ S이다.

 

 

3. lemma 2. p, q ∈ {x | x = a_k, k = 1, ···, n} ⊆ S라면 p + q ∈ S이다. 

lemma 1.에 의해 -q ∈ S이다. p ∈ S, -q ∈ S이므로, 조건 ⑵에 의해 p - (-q) = p + q ∈ S이다. 이로 인해, p ∈ S임을 알기에 2p, 3p, ... ∈ S임을 안다.

 

 

4. lemma 3. ap + bp (a, b는 임의의 정수) ∈ S가 성립한다.

모든 ap + bp에 대해 (a+b)군에 속한다고 하자. (단, a ≥ 0, b ≥ 0) 이때 우리는 (a+b-1)군의 모든 원소가 S에 속함을 알면 임의의 ap+bp (단, a ≥ 0, b ≥ 0)에 대해 (a-1)p + (b-1)p와 p를 더하면 ap + bp를 구할 수 있음에 의해 lemma 3.을 만족한다. 그런데 p, q ∈ S에 대해 2p, p+q, 2q ∈ S임은 이미 앞서 밝힌 바 있으므로 위 수학적 귀납법은 성립한다. 한편 a ≤ 0, b ≤ 0인 경우 애초에 p' = -p, q' = -q로 시작했다고 볼 수 있으므로 ap + bq (단, a ≥ 0, b ≥ 0) = -ap' - bq'로 표현할 수 있어 여전히 위 수학적 귀납법이 만족함을 알 수 있다. a ≤ 0, b ≥ 0이나 a ≥ 0, b ≤ 0인 경우도 비슷한 맥락으로 위 수학적 귀납법이 성립함을 알 수 있다.

 

 

5. lemma 4. 서로소인 p, q ∈ N에 대해 px - qy =1인 x, y ∈ N이 존재한다.

p, ···, (q-1)p에 대해 각 수를 q로 나눈 나머지를 살펴보면, 나머지가 0인 것은 없다. 만약 나머지가 1인 것도 없다면, 비둘기 집의 원리에 의해 kp ≡ tp (mod q)를 만족하는 0 < k < t < q인 양수 k, t가 있다. p, q가 서로소이므로 q | (t - k)인데 t - k < q이므로 모순된다. 따라서 px ≡ 1 (mod q)를 만족하는 x가 존재한다. 즉, px = 1 + qy가 되어 px - qy = 1이다.

 

 

6. 결론

우선 p, q ∈ S (단, p ≠ q)를 구할 수 있음은 "정수들"이라는 표현에서 살펴볼 수 있다. 그러한 p, q에 대해 lemma 3.에 의해 임의의 px - qy도 S의 원소이다. 그런데 그러한 px - qy가 1이 되는 x, y가 있으며 x → nx, y → ny (n ≥ 1인 정수)로 치환하면 px - qy = n (단, n ∈ ℕ)로 표현할 수 있다. lemma 1.에 의해 모든 음의 정수 또한 S의 원소임을 보일 수 있으며 0 ∈ S임은 앞서 보인 바 있으므로 S가 정수 전체의 집합이어야 함을 밝혔다.

 

입력 : 2017.08.21 13:15