【수능】 2026학년도 대학수학능력시험 수학

2026학년도 대학수학능력시험 수학

 

추천글 : 【수학】 대학수학능력시험 수학 풀이 

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1. 9^1/4 × 3^-1/2의 값은?

 

풀이. 

(3²)^1/4 × 3^-1/2 = 3^{(1/2 - 1/2)} = 1

 

 

2. 함수 f(x) = 3x³ + 4x + 1에 대하여 lim_h→0 (f(1+h) - f(1)) / h의 값은?

 

 

풀이.

(준식) = f'(1) = 9x² + 4 |_x=1 = 13

 

 

3. 수열 {a_n}에 대하여 ∑_{k=1 to 4} (2a_k - k) = 0일 때, ∑_{k=1 to 4} a_k의 값은? 

 

풀이.

2∑a_k - ∑k = 2∑a_k - 10 = 0 ⇔ ∑a_k = 5

 

 

4. 함수

 

 

이 실수 전체의 집합에서 연속일 때, 상수 a의 값은?

 

풀이.

1 = f(1-0) = f(1+0) = 1 - 3 + a ⇔ a = 3

 

 

5. 함수 f(x) = (x + 2)(2x² - x - 2)에 대하여 f'(1)의 값은?

 

풀이.  

f'(x) = (2x² - x - 2) + (x + 2)(4x - 1)

∴ f'(1) = (2 - 1 - 2) + 3 · 3 = 8

 

 

6. 1보다 큰 두 실수 a, b가 log_ab = 3, log₃ (b/a) = 1/2을 만족시킬 때, log₉ ab의 값은?

 

풀이. 

log b / log a = 3, log b - log a = log 3 · 0.5

∴ log b = 3 log a, log a = log 3 · 0.5 / 2, 

log₉ ab = log ab / log 9 = (log a + log b) / log 9 = 4 log a / log 9 = 0.5 

 

 

7. 두 곡선 y = x² + 3, y = -0.2x² + 3과 직선 x = 2로 둘러싸인 부분의 넓이는?

 

 

풀이. 

 

 

 

8. sin θ + 3 cos θ = 0이고 cos(π - θ) > 0일 때, sin θ의 값은?

 

풀이. 

cos θ = t < 0, sin θ > 0

√(1 - t²) = 3|t| ⇔ 1 - t² = 9t² ⇔ t = -1 / √10

sin θ = √(1 - t²) = √(1 - 1/10) = 3 / √10 

 

 

9. 양수 a에 대하여 함수 f(x)를 f(x) = x³ + 3ax² - 9a²x + 4라 하자. 직선 y = 5가 곡선 y = f(x)에 접할 때, f(2)의 값은

 

풀이.

f'(x) = 3x² + 6ax - 9a² = 3(x-a)(x+3a) = 0 ⇔ x = -3a, a

f(x)의 개형을 보면 왼쪽에 극대점, 오른쪽에 극소점을 갖는데 f(0) = 4이므로 y = 5에서 접하려면 극대점에서 접해야 함

f(-3a) = -27a³ + 27a³ + 27a³ + 4 = 27a³ + 4 = 5 ⇔ a³ = 1/27 ⇔ a = 1/3

f(2) = 8 + 12a - 18a² + 4 = 12 + 4 - 2 = 14 

 

 

10. 상수 a (a > 1)에 대하여 곡선 y = a^x - 2 위의 점 중 제1사분면에 있는 점 A를 지나고 y축에 평행한 직선이 x축과 만나는 점을 B, 곡선 y = a^x - 2의 점근선과 만나는 점을 C라 하자. AB = BC이고 삼각형 AOC의 넓이가 8일 때, a × OB의 값은? (단, O는 원점이다.)

 

풀이.

 

 

A = (x, ax - 2), B = (x, 0), C = (x, -2)

AB = BC ⇔ a^x - 2 = 2 ⇔ a^x = 4

△AOC = 8 ⇔ x = 4

a × OB = ax = 4^1/4 × 4 = 2^1/2 × 2² = 2^2.5

 

 

11. 시각 t = 0일 때 원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 P가 있다. 실수 k에 대하여 시각이 t (t ≥ 0)일 때 점 P의 속도 v(t)가 v(t) = t2 - kt + 4이다. ⟨보기⟩에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

 

 

풀이.

ㄱ. k = 0이면, 시각 t = 1일 때 점 P의 위치는 ∫_{t=0 to 1} v(t) dt = 1/3 + 4 = 13/4 (참)

ㄴ. k = 3이면, v(t) = t² - 3t + 4 = (t-1.5)² + 1.25 > 0이므로 운동 방향이 바뀌지 않음 (거짓)

ㄷ. k = 5이면, v(t) = t² - 5t + 4 = (t-1)(t-4)이므로 t = 1에서 운동 방향이 바뀜, 그러므로 움직인 거리 = ∫_{t=0 to 1} (t2 - 5t + 4) dt + ∫_{t=1 to 2} (-t² + 5t - 4) dt = (1/3 - 5/2 + 4) + (-7/3 + 5(4 - 1)/2 - 4) = 3 (참)

 

 

12. 등비수열 {a_n}이 2(a₁ + a₄ + a₇) = a₄ + a₇ + a₁₀ = 6을 만족시킬 때, a₁₀의 값은?

 

풀이.

a_n = a₁r^n-1 

2a₁(1 + r³ + r⁶) = a₁(r³ + r⁶ + r⁹) = a₁r³(1 + r³ + r⁶) = 6

∴ 2 = r³, 2a₁(1 + 2 + 4) = 14a₁ = 6

∴ a₁₀ = a₁r⁹ = (6/14) × 2³ = 24/7

 

 

13. 함수 f(x) = x² - 4x - 3에 대하여 곡선 y = f(x) 위의 점 (1, -6)에서의 접선을 l이라 하고, 함수 g(x) = (x³ - 2x) f(x)에 대하여 곡선 y = g(x) 위의 점 (1, 6)에서의 접선을 m이라 하자. 두 직선 l, m과 y축으로 둘러싸인 도형의 넓이는?

 

풀이.

f'(1) = (2x-4)|_x=1 = -2

l : y = -2(x-1) - 6 = -2x - 4

g'(1) = ((3x² - 2)f(x) + (x³ - 2x)f'(x))|_x=1 = f(1) - f'(1) = -6 + 2 = -4

m : y = -4(x - 1) + 6 = -4x + 10

-4x + 10 = -2x - 4 ⇔ 14 = 2x ⇔ x = 7넓이 = (1/2) × 14 × 7 = 49

 

 

14. 그림과 같이 AB = 3, BC = 4이고 ∠B = π/2인 직각삼각형 ABC가 있다. 선분 AB를 2 : 1로 내분하는 점을 D, 점 A를 중심으로 하고 반지름의 길이가 AD인 원이 선분 AC와 만나는 점을 E, 직선 AB가 이 원과 만나는 점 중 D가 아닌 점을 F라 하고, 호 EF 위의 점 G를 CG = 2√6이 되도록 잡는다. 세 점 C, E, G를 지나는 원 위의 점 H가 ∠HCG = ∠BAC를 만족시킬 때, 선분 GH의 길이는?

 

 

풀이.

 

 

 

15. 함수 f(x)가 

 

 

이고, 양수 a에 대하여 함수 g(x)를 

 

 

이라 하자. 함수 h(x) = ∫_{0 to x} (g(t) - f(t)) dt가 오직 하나의 극값을 갖도록 하는 a의 최댓값을 k라 하자. a = k일 때, k + h(3)의 값은?

 

풀이.

 

 

오른쪽은 a > 0이 어떤 값을 가져도 극값이 1개이다. 왜냐하면 g(x) - f(x) = ax - a - (x² - x) = (x-1)(a - x)인데 a ≤ 1이면 위 그래프와 같이 나오고, a > 1이면 x = 1이 극점이 아니게 되고 (cf. 하트의 윗부분 모양이 됨) x = a가 극점이 되기 때문이다. 따라서 h(x)가 오직 하나의 극값을 가지려면 다음 조건을 만족해야 한다. 

min_a>0 ax + a - (-x²) subject to x ≤ -1 ≥ 0 ⇔ 0 < a ≤ 4 (∵ -a/2 ≤ -1과 -a/2 > -1로 나누어서 생각)

∴ k = 4

∴ k + h(3) = 4 + ∫0 to 1 (-x² + x) dx + ∫1 to 3 (4x - 4 - x² + x) dx = 15/2 

 

 

16. 수열 {a_n}은 a₁ = 1이고, 모든 자연수 n에 대하여 a_n+1 = n²a_n + 1을 만족시킨다. a₃의 값을 구하시오. 

 

풀이.

a₁ = 1

a₂ = a₁ + 1 = 2

a₃ = 4a₂ + 1 = 9 

 

 

17. 함수 f(x) = 4x³ - 2x의 한 부정적분 F(x)에 대하여 F(0) = 4일 때, F(2)의 값을 구하여라.

 

풀이.

F(x) = x⁴ - x² + C

F(0) = C = 4

F(2) = 16 - 4 + C = 12 + C = 16

 

 

18. AB = 5, AC = 6이고 cos(∠BAC) = -3/5인 삼각형 ABC의 넓이를 구하시오.

 

풀이.

sin(∠BAC) = 4/5 

△ABC = 1/2 × AB × AC sin(∠BAC) = 12

 

 

19. -2 ≤ x ≤ 2인 모든 실수 x에 대하여 부등식 -k ≤ 2x³ + 3x² - 12x - 8 ≤ k가 성립하도록 하는 양수 k의 최솟값을 구하시오.

 

풀이.

f(x) = 2x³ + 3x² - 12x - 8

f'(x) = 6x² + 6x - 12 = 6(x² + x - 2) = 6(x+2)(x-1)

f(x) ≤ max{f(-2), f(2), f(1)} = max{-16 + 12 + 24 - 8, 16 + 12 - 24 - 8, 2 + 3 - 12 - 8} = max{12, -4, -15} = 12

f(x) ≥ min{f(-2), f(2), f(1)} = -15 

∴ k = 15

 

 

20. 수열 {a_n}이 다음 조건을 만족시킨다.

 

 

다음은 ∑_{k=1 to 12} a_k + ∑_{k=1 to 5} a_2k+1 의 값을 구하는 과정이다.

 

 

위의 (가)에 알맞은 식을 f(n)이라 하고, (나), (다)에 알맞은 수를 각각 p, q라 할 때, p × q / f(12) 의 값을 구하시오.

 

풀이.

(가) = (1/6) ((n+1)² - n²) - (1/6) ((n+1) - n) = n/3 = f(n)

a₁ + a₂ = (2/3) a₂ + 2/3 - 1/3 + 10 = (2/3) a₂ + 31/3 ⇔ a₂ = 31 - 3a₁ = 10 = (나) = p

2a2k+1 + a2k+2 = 3 × f(2k+1) = 2k+1 이므로 (다) = 7 + 10 + (3 + 5 + 7 + 9 + 11) = 52 = q

∴ p × q / f(12) = 10 × 52 / 4 = 130

 

 

21. 최고차항의 계수가 양수인 삼차함수 f(x)와 실수 t에 대하여 함수

 

 

는 실수 전체의 집합에서 연속이고 다음 조건을 만족시킨다.

 

 

g(-5)의 값을 구하시오. (단, g(-1) ≠ -3.5 g(1))

 

풀이.

g(x)는 실수 전체의 집합에서 연속이므로 t = 0 또는 2이다. (잘 안 보이는 조건...)

(가) 조건에 의하여 g(0) = g(2) = 0이므로 f(0) = f(2) = 0을 얻을 수 있다.

따라서 f(x) = x(x-2) h(x) (단, h(x)는 우상향하는 직선함수) 를 얻을 수 있다.

또한, g(-1) > 0, -3.5 g(1) > 0을 쉽게 얻을 수 있다.

따라서 g(x) / (x(x-2)) 를 그래프로 나타내면 다음을 얻을 수 있다. 

 

 

따라서 t = 2이고 자연수 m의 집합은 {2, 3}이다.

경우 1.

○ 2 = g(-1) = (-1) · (-1 - 2) · (-1) · h(-1) 이고, 3 = -3.5g(1) = (-3.5) · (1) · (1 - 2) · (-1) · h(1) 인 경우

○ h(x) = (-2/21) x - (16/21)이므로 우하향이므로 기각 

경우 2.

○ 3 = g(-1) = (-1) · (-1 - 2) · (-1) · h(-1) 이고, 2 = -3.5g(1) = (-3.5) · (1) · (1 - 2) · (-1) · h(1) 인 경우

○ h(x) = (3/14) x - (11/14) 이므로 우상향이므로 채택

따라서 g(-5) = (-5) · (-5 - 2) · (-1) · h(-5) = 65

 

 

22. 곡선 y = log₁₆(8x + 2) 위의 점 A(a, b)와 곡선 y = 4^x-1 - 1/2 위의 점 B가 제1사분면에 있다. 점 A를 직선 y = x 에 대하여 대칭이동한 점이 직선 OB 위에 있고 선분 AB의 중점의 좌표가 (77/8, 133/8)일 때, a × b = q / p이다. p + q의 값을 구하시오. (단, O는 원점이고, p와 q는 서로소인 자연수이다.)

 

풀이.

A = (a, log₁₆(8a+2))

B = (klog₁₆(8a+2), ka) ∈ {(x, y) | y = 4x^-1 - 1/2}

⇔ 4^{klog₁₆(8a+2)-1} - 1/2 = ka

⇔ (8a+2)^k = (4ka+2)² 

위 식으로부터 k = 2를 얻을 수 있다.

 

중점의 좌표로부터 a + klog₁₆(8a+2) = 77/4, ka + log16(8a+2) = 133/4 를 얻는다. 두 번째 식에 k를 곱한 뒤 변변 빼면 a = (77/4 - 133k/4) / (1-k²) 를 얻는다. k = 2를 대입하면 a = 63/4, b = log₁₆(8a + 2) = 7/4 를 얻는다. 그러므로 a × b = (63 / 4) × (7/4) = 441/16 이므로 p + q = 457 이다.

 

 

(확률과 통계) 23. 네 문자 a, b, c, d 중에서 중복을 허락하여 3개를 택해 일렬로 나열하는 경우의 수는?

 

풀이.

4 × 4 × 4 = 64 

 

 

(확률과 통계) 24. 두 사건 A, B에 대하여 P(A) = 2/5, P(B | A) = 1/4, P(A ∪ B) = 1일 때, P(B)의 값은?

 

풀이.

P(A ∩ B) = P(A) P(B | A) = 1/10

P(A) + P(B) - P(A ∩ B) = P(A ∪ B) (∵ 포함배제의 원리)

∴ P(B) = P(A ∪ B) - P(A) + P(A ∩ B) = 1 - 2/5 + 1/10 = 7/10

 

 

(확률과 통계) 25. 주머니에 숫자 1, 2, 3, 4, 5가 하나씩 적혀 있는 흰 공 5개와 숫자 2, 3, 4, 5, 6이 하나씩 적혀 있는 검은 공 5개가 들어 있다. 이 주머니에서 임의로 2개의 공을 동시에 꺼낼 때, 꺼낸 2개의 공이 서로 같은 색이거나 꺼낸 2개의 공에 적힌 수가 서로 같을 확률은?

 

 

풀이.

P = (#{흰색 공 2개} + #{검은색 공 2개} + #{같은 수} - #{같은 색, 같은 수} ) / {임의의 공 2개}

P = (₅C₂ + ₅C₂ + 4 - 0) / ₁₀C₂ = 8/15 

 

 

(확률과 통계) 26. 평균이 m이고 표준편차가 5인 정규분포를 따르는 모집단에서 크기가 36인 표본을 임의추출하여 얻은 표본평균을 이용하여 구한 모평균 m에 대한 신뢰도 99%의 신뢰구간이 1.2 ≤ m ≤ a이다. a의 값은? (단, Z가 표준정규분포를 따르는 확률변수일 때, P(|Z| ≤ 2.58) = 0.99로 계산한다.)

 

풀이.

a - 1.2 = 2 × 2.58 × 5/√36 ⇔ a = 5.5

 

 

(확률과 통계) 27. 이산확률변수 X가 가지는 값이 0부터 4까지의 정수이고

 

 

일 때, V((1/a) X)의 값은? (단, a는 0이 아닌 상수이다.)

 

풀이.

 

 

 

(확률과 통계) 28. 16개의 공과 1부터 6까지의 자연수가 하나씩 적혀 있는 여섯 개의 빈 상자가 있다. 한 개의 주사위를 사용하여 다음 시행을 한다: 주사위를 한 번 던져 나온 눈의 수가 k일 때,

○ k가 홀수이면 1, 3, 5가 적힌 상자에 공을 각각 1개씩 넣고, 

○ k가 짝수이면 k의 약수가 적힌 상자에 공을 각각 1개씩 넣는다.

이 시행을 4번 반복한 후 여섯 개의 상자에 들어 있는 모든 공의 개수의 합이 홀수일 때, 3이 적힌 상자에 들어 있는 공의 개수가 2가 적힌 상자에 들어 있는 공의 개수보다 1개 더 많을 확률은?

 

 

풀이.

k = 1, 3, 5 → 3개 (1, 3, 5) [홀수]

k = 2 → 2개 (1, 2) [짝수]

k = 4 → 3개 (1, 2, 4) [홀수]

k = 6 → 4개 (1, 2, 3, 6) [짝수]

모든 공의 개수의 합이 홀수일 확률 = P(홀수 3개, 짝수 1개) + P(홀수 1개, 짝수 3개)

모든 공의 개수의 합이 홀수일 확률 = 4 × (2/6) × (4/6)³ + 4 × (4/6) × (2/6)³ (①)

이제 모든 공의 개수의 합이 홀수일 때 상자 3이 상자 2보다 1개 많을 확률을 계산하자.

홀수 3개, 짝수 1개일 때 k = 1, 3, 5가 홀수 3개에 모두 할당되면 상자 3에 공이 너무 많아진다

홀수 3개, 짝수 1개일 때 k = 1, 3, 5가 홀수 1개에만 할당되면 나머지 두 홀수에는 k = 4가 할당되고 그러면 상자 2에 공이 너무 많아진다.

홀수 3개, 짝수 1개일 때 k = 1, 3, 5가 2번 나타나고 k = 4가 1번 나타나며 자연스럽게 k = 6이 짝수에 할당돼야 한다. (②)

홀수 1개, 짝수 3개일 때 k = 1, 3, 5가 홀수 1개에 할당되고, 자연스럽게 k = 6이 짝수 3개에 할당돼야 한다. (③)

모든 공의 개수의 합이 홀수일 때 상자 3이 상자 2보다 1개 많을 확률 = 확률 ② + 확률 ③

모든 공의 개수의 합이 홀수일 때 상자 3이 상자 2보다 1개 많을 확률 = 4 × 3 × (3/6)² × (1/6) × (1/6) + 4 × (3/6) × (1/6)³ (④)

따라서 ① ÷ ④ = 3/16 

 

 

(확률과 통계) 29. 6 이하의 자연수 a에 대하여 한 개의 주사위와 한 개의 동전을 사용하여 다음 시행을 한다.

○ 주사위를 한 번 던져 나온 눈의 수가 a보다 작거나 같으면 동전을 5번 던져 앞면이 나온 횟수를 기록하고, 

○ 나온 눈의 수가 a보다 크면 동전을 3번 던져 앞면이 나온 횟수를 기록한다.

이 시행을 19200번 반복하여 기록한 수가 3인 횟수를 확률변수 X라 하자. E(X) = 4800일 때, P(X ≤ 4800 + 30a)의 값을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 값이 k이다. 1000 × k의 값을 구하시오.

 

 

풀이.

4800 / 19200 = 1/4 = (a/6) × ₅C₃ × (1/2)⁵ + (1 - a/6) × ₃C₃ × (1/2)³ ⇔ a = 4 

Var(X) = npq = 19200 × (1/4) × (3/4) = 60² 

P(X ≤ 4800 + 30a) = P(Z = (X - 4800) / 60 ≤ 0.5a = 2) = 0.5 + 0.477 = 0.977 = k

∴ 1000 × k = 977

 

 

(확률과 통계) 30. 비어 있는 주머니 10개가 일렬로 놓여 있고, 공 8개가 있다. 각 주머니에 들어 있는 공의 개수가 2 이하가 되도록 공을 주머니에 남김없이 나누어 넣을 때, 다음 조건을 만족시키는 경우의 수를 구하시오. (단, 공끼리는 서로 구별하지 않는다.)

○ (가) 들어 있는 공의 개수가 1인 주머니는 4개 또는 6개이다.

○ (나) 들어 있는 공의 개수가 2인 주머니와 이웃한 주머니에는 공이 들어 있지 않다.

 

풀이.

경우 1. 공의 개수가 1인 주머니가 4개 → 2인 주머니 2개가 양쪽 끝에 붙어 있음 : ₆C₄ = 15

경우 2. 공의 개수가 1인 주머니가 4개 → 2인 주머니 1개가 끝에 붙어 있고, 나머지 2인 주머니 1개가 1칸 떨어져 있음 : 2 × ₆C₄ = 30

경우 3. 공의 개수가 1인 주머니가 4개 → 2인 주머니 1개가 끝에 붙어 있고, 나머지 2인 주머니가 2칸 이상 이격 / 끝에 없음 : 2 × 6 × ₅C₄ = 60

경우 4. 공의 개수가 1인 주머니가 4개 → 2인 주머니 2개가 어느 것도 끝에 있지 않음 / 1칸 이격 : 6 × ₅C₄ = 30

경우 5. 공의 개수가 1인 주머니가 4개 → 2인 주머니 2개가 어느 것도 끝에 있지 않음 / 2칸 이상 이격 : 15 × ₄C₄ = 15

경우 6. 공의 개수가 1인 주머니가 6개 → 2인 주머니 1개가 끝에 붙어 있음 : 2 × ₈C₆ = 56

경우 7. 공의 개수가 1인 주머니가 6개 → 2인 주머니 1개가 끝에 붙어 있지 않음 : 8 × ₇C₆ = 56

답은 이들을 모두 합한 262개

 

 

(미적분) 23. lim_x→0 tan 6x / 2x 의 값은?

 

풀이.

tan 6x ≃ 6x

답은 3

 

 

(미적분) 24. 다음 값은? 

 

 

풀이.

 

 

 

(미적분) 25. 수열 {a_n}이 모든 자연수 n에 대하여 √(9n² - 5) + 2n < a_n < 5n+1 을 만족시킬 때, lim_n→∞ (a_n+2)² / (na_n + 5n² - 2) 의 값은?

 

풀이.

a_n = 5n 으로 두면, 25 / (5 + 5) = 5/2

 

 

(미적분) 26. 그림과 같이 곡선 y = √(x + x ln x) 와 x축 및 두 직선 x = 1, x = 2로 둘러싸인 부분을 밑면으로 하는 입체도형이 있다. 이 입체도형을 x축에 수직인 평면으로 자른 단면이 모두 정삼각형일 때, 이 입체도형의 부피는?

 

 

풀이

 

 

 

(미적분) 27. 매개변수 t로 나타내어진 곡선 x = e^4t(1 + sin²πt), y = e^4t(1 - 3cos²πt)를 C라 하자. 곡선 C가 직선 y = 3x - 5e와 만나는 점을 P라 할 때, 곡선 C 위의 점 P에서의 접선의 기울기는?

 

풀이

 

 

 

(미적분) 28. 함수 f(x) = (1/2) x² - x + ln (1+x) 와 양수 t에 대하여 점 (s, f(s)) (s > 0)에서 y축에 내린 수선의 발과 곡선 y = f(x) 위의 점 (s, f(s))에서의 접선이 y축과 만나는 점 사이의 거리가 t가 되도록 하는 s의 값을 g(t)라 하자. 다음 값은? 

 

 

풀이

점 (s, f(s))에서 y축에 내린 수선의 발 : (0, f(s))

점 (s, f(s))에서의 접선 : y = (s - 1 + 1 / (1+s)) (x-s) + f(s)

점 (s, f(s))에서의 접선이 y축과 만나는 점 : f(s) - s(s - 1 + 1 / (1+s)) < f(s)

t = s(s - 1 + 1 / (1+s)) → s = g(t)

참고로, g(t)는 t에 대한 증가함수 (∵ 우변은 증가함수 곱이므로 증가함수 → 양변 모두 증가함수)

t = 1/2일 때, s = 1

t = 27/4일 때, s = 3

따라서 역함수의 적분공식에 따라 다음을 얻는다.

 

 

 

(미적분) 29. 첫째항과 공차가 같은 등차수열 {a_n}과 등비수열 {b_n}이 다음 조건을 만족시킨다. 

○ 어떤 자연수 k에 대하여 b_k+i = 1 / a_i - 1 (i = 1, 2, 3)이다.

부등식

 

 

이 성립할 때, a₂ × ∑_{n=1 to ∞} b_2n = q / p이다. p + q의 값을 구하시오. (단, a₁ ≠ 0이고, p와 q는 서로소인 자연수이다.)

 

풀이

a_n = na₁, b_n = b₁ r^n-1 

b₁ r^k = 1 / a₁ - 1

b₁ r^k+1 = 1 / (2a₁) - 1

b₁ r_k+2 = 1 / (3a₁) - 1

∴ r / a₁ - r = 1 / (2a₁) - 1, r / (2a₁) - r = 1 / (3a₁) - 1

변변 나누면 r이 약분되어 a₁ = 1/4를 먼저 얻을 수 있고, 이를 대입하면 r = 1/3을 얻는다.

주어진 부등식으로부터 ∑ b_n - ∑ 1 / (a_na_n+1) = b₁ / (1 - 1/3) - 4 ∈ (0, 30) ⇔ 8/3 < b1 < 68 / 3을 얻는다.

b₁ = (1 / a₁ - 1) / r^k = 3^k+1, k ∈ ℕ과 위 b₁의 범위로부터 b₁ = 9, k = 1을 얻을 수 있다.

그러므로 a₂ × ∑b_2n = (1/2) × b₁ / (1 - 1/9) = 81 / 16 = q / p이므로 p + q = 97이다.

 

 

(미적분) 30. 실수 전체의 집합에서 증가하는 연속함수 f(x)의 역함수 f^-1(x)가 다음 조건을 만족시킨다.

○ (가) |x| ≤ 1일 때, 4 × (f^-1(x))² = x²(x² - 5)²이다.

○ (나) |x| > 1일 때, |f^-1(x)| = e^|x|-1 + 1이다.

실수 m에 대하여 기울기가 m이고 점 (1, 0)을 지나는 직선이 곡선 y = f(x)와 만나는 점의 개수를 g(m)이라 하자. 함수 g(m)이 m = a, m = b (a < b)에서 불연속일 때, g(a) × (lim_m→a⁺ g(m)) + g(b) × (ln b / b)²의 값을 구하시오. (단, lim_x→∞ ln x / x = 0)

 

풀이

f(x)가 증가함수이므로 f^-1(x)도 증가함수이다. 따라서

 

 

이를 y = x 반전하면 f(x) 개형을 그릴 수 있다.

 

 

첫 불연속은 a = 0에서 발생한다. 따라서 g(a) = 1, lim_m→a⁺ g(a) = 3 

두 번째 불연속 b는 왼쪽 로그가지에서 발생한다. 따라서 g(b) = 2

해당 부분의 접선의 방정식이 y = m(x-1)이므로, 

 

 

그러므로 (준식) = 1 × 3 + 2 × 4 = 11 

 

 

(기하) 23. 두 벡터 a = (4, 1), b = (-1, -1)에 대하여 a + b의 모든 성분의 합은?

 

풀이

a + b = (3, 0) → 3

 

 

(기하) 24. 포물선 y² = 12(x-2)의 초점과 준선 사이의 거리는?

 

풀이

y² = 12x를 고려해도 충분하다.

초점 : y² = 4px로부터 p = 3

준선 : x = -p

이 둘 사이의 거리는 6

 

 

(기하) 25. 좌표공간의 점 A(3, -1.5, -2)를 yz 평면에 대하여 대칭이동한 점을 B, 점 A를 원점에 대하여 대칭이동한 점을 C라 할 때, 선분 BC의 길이는?

 

풀이

B = (-3, -1.5, -2)

C = (-3, 1.5, 2) 

BC = |0, 3, 4| = 5 

 

 

(기하) 26. 양수 a에 대하여 두 초점이 F, F'인 쌍곡선 x² / a² - y² / a² = -1 위의 점 (a, √2 a)에서의 접선이 y축과 만나는 점을 P라 하자. PF × PF' = 8일 때, a의 값은? 

 

풀이

F = (0, √2 a), F' = (0, -√2 a)

쌍곡선의 접선의 방정식에 의해 xx₁ / a² - yy₁ / a² = ax / a² - √2 ay / a² = x / a - √2y / a = -1을 얻는다.

그러므로 P = (0, a / √2) 

PF × PF' = (√2 - 1/√2) × (1/√2 + √2) a² = 1.5 a² = 8 ⇔ a² = 16 / 3 ⇔ a = 4√3 / 3

 

 

(기하) 27. 그림과 같이 지름의 길이가 5인 두 원 C₁, C₂를 두 밑면으로 하는 원기둥이 있고, 원 C₁ 위의 AB = 5인 두 점 A, B와 원 C₂ 위의 CD = 3인 두 점 C, D에 대하여 AD = BC이다. 점 D에서 원 C₁을 포함하는 평면에 내린 수선의 발을 H라 하자. 사각형 ABCD의 넓이가 삼각형 ABH의 넓이의 4배일 때, 이 원기둥의 높이는?

 

 

풀이

AB = 5이므로 AB는 지름이다. 

ABCD가 등변사다리꼴이므로 H와 AB 사이의 거리는 2이고 △ABH = (1/2) × AB × 2 = 5이다. 

 

 

AH = √(1² + 2²) = √5

DH = h라 두면, AD = √(h² + AH²) = √(h² + 5), D와 AB 사이의 거리 = √(AD² - 1²) = √(h² + 4)

∴ □ ABCD = (5+3)/2 × √(h² + 4) = 4△ABH = 20 ⇔ √(h² + 4) = 5 ⇔ h = √21 

 

 

(기하) 28. 그림과 같이 AB = CD = 4, BC = BD = 2√5 인 사면체 ABCD가 있고, 점 A에서 직선 CD에 내린 수선의 발 H에 대하여 두 평면 ABH와 BCD는 서로 수직이고 AH = 4이다. 삼각형 ABH의 무게중심을 G라 하고, 점 G를 중심으로 하고 평면 ACD에 접하는 구를 S라 하자. ∠APG = π/2 인 구 S 위의 모든 점 P가 나타내는 도형을 T라 할 때, 도형 T의 평면 ABC 위로의 정사영의 넓이는?

 

 

풀이

HC = HD = 2 → BH = √(BC² - HC²) = 4 

∴ △ABC는 정삼각형

S의 반지름 = 정삼각형의 높이 / 3 = 2√3 / 3

그리고 ∠APG = π/2는 AG를 지름으로 하는 구의 궤적과 같고, 이 궤적과 S의 교집합은 반지름이 1인 원이 된다. (계산 생략)

이 원의 법선 벡터는 (0, 0, 1)이다. 

 

한편, A = (-2, 0, 2√3), B = (-4, 0, 0), C = (0, -2, 0), H = (0, 0, 0)으로 두자.

AB × AC / |AB × AC| = (-√3 / 4, -2√3 / 4, 1/4)이다. 

∴ T의 △ABC 위로의 정사영의 넓이 = π × 1² (0, 0, 1) · (-√3 / 4, -2√3 / 4, 1/4) = π / 4

 

 

(기하) 29. 그림과 같이 초점이 F(p, 0) (p > 0)이고 준선이 x = -p인 포물선 위의 점 중 제1사분면에 있는 점 A 에서 포물선의 준선에 내린 수선의 발을 H라 하고, 두 초점이 x축 위에 있고 세 점 F, A, H를 지나는 타원의 x좌표가 양수인 초점을 B라 하자. 삼각형 AHB의 둘레의 길이가 p + 27, 넓이가 2p + 12일 때, 선분 HF의 길이를 k라 하자. k²의 값을 구하시오.

 

 

풀이

A = (x, y), y² = 4px

H = (-p, y) → AH = p + x

2p + 12 = (1/2) × (p + x) × y ⇔ 4p + 24 = py + xy 

A와 H는 타원 상에서 높이가 같으므로 AB + HB = HB' + HB (B'은 타원의 또다른 초점) = 2a = p + 27 - (p + x) = 27 - x

타원의 중심의 x 좌표 = A와 H의 중점 x 좌표 = ((x-p)/2, 0) 

∴ F의 x 좌표 = p = 타원의 중심의 x 좌표 + a = (x-p) / 2 + (27-x) / 2 = -p/2 + 27/2 ⇔ p = 9

∴ 4p + 24 = 60 = py + xy = 9y + xy, y² = 36x ⇒ x = 1, y = 6

∴ k² = HF² = 4p² + y² = 4p² + 4px = 360 

 

 

(기하) 30. 좌표평면에서 길이가 10√2인 선분 AB를 지름으로 하는 원 위의 두 점 P, Q가 (PA + PB) · (PQ + PB) = 2 |PQ|² 을 만족시킨다. |PB| = 14일 때, |PA · QB| = q / p 이다. p + q의 값을 구하시오. (단, |QB| > 0이고, p와 q는 서로소인 자연수이다.)

 

풀이

PA·PQ + PB·PQ + PA·PB + PB·PB = PA·PQ + PB·PQ + 196 = 2|PQ|² 

∴ 196 = PQ·(2PQ - PA - PB) = PQ·(2PQ - 2PO) = 2PQ·OP

∴ 98 = |OP|² - OQ·OP

∴ OQ·OP = -48 

이때 Q는 2개가 가능한데 하나는 B이고 |QB| > 0이므로 B는 OP에 대한 B의 대칭점이다.

O = (0, 0), A = (-5√2, 0), B = (5√2, 0), P = (-48 / 5√2, 14 / 5√2)로 두면 Q = (527√2 / 125, -336√2 / 125)를 얻을 수 있다.

따라서 PA·QB = -196 / 25이다.

그러므로 p + q = 25 + 196 = 221이다.

 

입력: 2025.11.18 00:34