【대학수학능력시험】 2024년도 수능 수학 22번 풀이

2024년도 수능 수학 22번 풀이

 

추천글 : 【수학】 수학 목차 

---

 

A. 문제

최고차항의 계수가 1인 삼차함수 f(x)가 다음 조건을 만족시킨다.

함수 f(x)에 대하여 f(k-1) × f(k+1) < 0을 만족시키는 정수 k는 존재하지 않는다.

 

f'(-1/4) = -1/4, f'(1/4) < 0일 때, f(8)의 값을 구하시오.

 

 

B. 풀이

○ 경우 1. f(x) = x³과 같이 극대점, 극소점이 없는 경우 당연히 위 조건을 만족하지 않음 (❌)

○ 경우 2. f(x)에 극대점, 극소점이 존재하면서 극대-극소 구간이 비교적 짧은 경우 (🤔)

○ x ≫ 0일 때 f(x) > 0이고, x ≪ 0일 때 f(x) < 0이 성립함 

○ 가장 중요한 명제 : f(x₁) < 0, f(x₃) ≤ 0이고, f(x₂) ≥ 0, f(x₄) > 0인 x₁ < x₂ ≤ x₃ < x₄인 연속적인 정수들이 존재함 

○ (주석) 위 조건을 이해하는 게 중요한데, 일단 k = x₂로 두어 x₁ - x₃ 쌍을 찾고, 그 다음 k = x₃으로 두어 x₂ - x₄ 쌍을 찾는 식으로 하면 쉽게 이해할 수 있음

○ x₂ = x₃이고 여기에서의 함숫값이 0인 경우, k = x₂ = x₃일 때 f(k-1) × f(k+1) < 0이므로 모순 (❌) 

○ k = x₁으로 두면 x1보다 작은 x에서의 함숫값은 음수이므로, (음수) × f(x₂) ≥ 0 ⇔ f(x₂) = 0이 성립

○ k = x₄로 두면 x4보다 큰 x에서의 함수값은 양수이므로, (양수) × f(x₃) ≥ 0 ⇔ f(x₃) = 0이 성립

○ 따라서, 가장 중요한 명제는 중간에 0이 연달아 2개가 와서 차단효를 만드는 상황으로 귀결됨

○ 경우 3. f(x)에 극대점, 극소점이 존재하면서 극대-극소 구간이 비교적 긴 경우 (🤔)

○ 약간의 시행착오를 거치면, 중간에 0이 연달아 2개가 오는 상황이 존재해야 함

○ 마무리 풀이

○ f(x) = (x-n)(x-n-1)(x-m) (단, n, m은 정수)와 같이 나타낼 수 있음

○ n = 0인 경우, 2개의 개형 중 f'(-1/4) < 0으로부터 m < 0이 나오고, f'(-1/4) = -1/4로부터 m = -5/8이 도출. 이 경우

 

f(8) = 8 × 7 × (8 + 5/8) = 7 × 69 = 483 (정답)

 

○ 다른 경우도 조사해 볼 수 있으나, f'(-1/4) = -1/4, f'(1/4) < 0 조건으로 인해 다른 경우는 존재하지 않게 됨 

 

입력: 2023.11.21 01:59