【선형대수학】 5강. 선형대수학과 미적분

5강. 선형대수학과 미적분

 

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1. 다변량함수의 미분 [본문]

2. 미분방정식과 고유치 [본문]

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1. 다변량함수의 미분 [목차]

⑴ 다변수함수의 미분의 정의

 

 

⑵ 야코비 행렬(Jacobian matrix) : 영역 Ω ⊂ ℝn에서 정의된 함수 F = (f₁, ···, f_m)' : Ω → ℝ^m가 점 p ∈ Ω에서 미분가능하다고 했을 때 야코비 행렬을 다음과 같이 정의함 

 

 

① 야코비 행렬을 이용한 다변수함수의 미분의 연쇄법칙

 

 

② 야코비 행렬을 이용한 다변수함수의 역함수 정리

 

 

③ 야코비 행렬을 이용한 다변수함수의 음함수 정리 

 

 

⑶ 헤세 행렬(Hessian matrix)

① 2 × 2 행렬의 헤세 행렬

 

 

② 3 × 3 행렬의 헤세 행렬

 

 

③ n × n 행렬의 헤세 행렬

 

 

 

2. 미분방정식과 고유치 [목차]

⑴ 연립 선형 상미분방정식 : 2 × 2 행렬 A로 표현되는 연립 선형 상미분방정식에 대하여,

 

 

① 경우 1. A가 고유치 λ1, λ2를 갖고 대각화가 가능한 경우 : λ₁, λ₂와 각각 대응되는 고유벡터 v₁, v₂에 대해, 해는 다음과 같이 표현됨

 

 

② 경우 2. A가 복소수 고유치 p ± qi를 갖는 경우 : 해는 다음과 같이 표현됨

 

 

③ 경우 3. A가 다중도가 2인 고유치 λ 1개를 갖고 있고, 대각화가 안 된다면 일반해 x는 일반화된 고유벡터와 함께 다음과 같음

 

 

⑵ 선형 근사(linearization) 

① 예제 : x' = x³ - y, y' = x인 경우 평형점(equilibrium point) (0, 0)의 분류 

② 단계 1. 다음 근사식을 찾을 수 있음  

 

 

③ 단계 2. Jacobian 행렬 구성 

 

 

④ 단계 3. 고유치 계산 

○ 고유치가 모두 음수인 실수인 경우 : 해당 평형점은 안정(stable)

○ 고유치가 하나는 양수이고 다른 하나는 음수인 경우 : 해당 평형점은 안장점(saddle)

○ 고유치가 모두 양수인 실수인 경우 : 해당 평형점은 불안정(unstable)

○ 고유치가 모두 복소수인 경우 : 해당 평형점은 spiral 

○ A의 고유치는 ± i이므로 (0, 0) 주변에 spiral 패턴이 나타남

 

 

Figure. 1. 주어진 시스템의 유선도

 

입력: 2024.11.24 13:29