【대수학】 대수 기초 문제 (21~40)

대수 기초 문제 (21~40)

 

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문제 21. 아래의 주어진 저울이 모두 평형을 이룬다. ‘?’에 ⓐ만 놓을 때, ‘?’에 놓여야 할 ⓐ는 몇 개인가?

 

  ⓐ + ⓐ + ⓑ + ⓒ = ⓐ + ⓐ + ⓐ + ⓐ + ⓑ 

  ⓑ + ⓑ + ⓑ + ⓑ = ⓐ + ⓐ + ⓒ + ⓒ

  ⓑ + ⓑ + ⓒ = ?

 

풀이 21.

○ 첫 번째 식 : ⓒ = 2ⓐ

○ 두 번째 식 : 4ⓑ = 2ⓐ + 2ⓒ = 6ⓐ ⇔ 2ⓑ = 3ⓐ

○ ∴ ⓑ + ⓑ + ⓒ = 3ⓐ + 2ⓐ = 5ⓐ → 5개

 

 

문제 22. 무게가 다른 ⓐ, ⓑ, ⓒ, ⓓ 4가지 종류의 추가 있다. 천칭에 다음과 같이 추를 올려놓았을 때, 수평을 이루었다면 ⓐ는 ⓑ의 무게의 몇 배인지 구하여라.

  ⓐ + ⓑ = ⓒ
  ⓐ = ⓑ + ⓓ
  ⓒ + ⓒ = ⓓ + ⓓ + ⓓ 

 

풀이 22.

○ ⓒ = 1.5 ⓓ (∵ 3번째 식)

○ ⓐ + ⓑ = 2ⓑ + ⓓ = ⓒ = 1.5 ⓓ

○ ∴ ⓑ = 1/4 ⓓ

○ ∴ ⓐ = 1.5 ⓓ - ⓑ = 5/4 ⓓ

○ ∴ ⓐ는 ⓑ의 5배 

 

 

문제 23. 희준, 재원, 철현이는 두 명씩 저울에 올라갔다. 희준이와 재원이가 올라갔을 때는 130 kg, 재원이와 철현이가 올라갔을 때는 127 kg, 철현이와 희준이가 올라갔을 때는 123 kg이었다. 세 명 중 가장 무거운 사람은 누구인가?

 

풀이 23.

○ 희준 + 재원 = 130 

○ 재원 + 철현 = 127 

○ 철현 + 희준 = 123

○ 2  × (희준 + 재원 + 철현) = 130 + 127 + 123 = 380 → 희준 + 재원 + 철현 = 190

○ ∴ 희준 = 63, 재원 = 67, 철현 = 60

○ 세 명 중 가장 무거운 사람 : 재원

 

 

문제 24. 동현이는 한 개에 500원짜리 큰 구슬과 한 개에 250원짜리 작은 구슬을 합하여 12개를 사려고 한다. 동현이가 가지고 있는 돈은 4800원이고, 큰 구슬을 가능한 많이 사려고 한다. 이때, 동현이가 살 수 있는 큰 구슬과 작은 구슬의 개수는 각각 몇 개인가?

 

풀이 24.

○ 큰 구슬의 개수를 x, 작은 구슬의 개수를 y라고 하자.

○ 조건 1. x + y = 12

○ 조건 2. 500x + 250y ≤ 4800

○ 조건 3. x, y는 음이 아닌 정수 

○ (x, y) = (12, 0), (11, 1), (10, 2), ∙∙∙를 하나하나 위 조건에 대입하면 (x, y) = (7, 5)에서 지출액 4750원으로 조건에 부합함 

 

 

문제 25. 80가구가 사는 어느 아파트를 조사해 보니 자녀가 없는 가구가 38가구, 딸만 있는 가구가 10가구, 그리고 아들만 있는 가구가 25가구였다. 딸, 아들 모두가 있는 가구는 몇 가구인가?

 

풀이 25.

○ 80 - 38 - 10 - 25 = 7가구

 

 

문제 26. 진호네 반 학생은 모두 43명이다. 이 중에서 체육을 좋아하는 학생은 28명이고, 음악을 좋아하는 학생은 19명이다. 이때, 체육과 음악 모두를 좋아하는 학생은 최소 몇 명에서 최대 몇 명까지인지 구하여라.

 

풀이 26.

○ 포함배제의 원리를 이용하여야 함

○ 28 + 19 - 체육과 음악 모두를 좋아하는 학생 수 = 43

○ ∴ 체육과 음악 모두를 좋아하는 학생 수 = 4 

 

 

문제 27. 1과 28분의 5와 4와 20분의 19에 곱하여 자연수가 되게 하는 분수 중에서 가장 작은 분수를 구하여라.

 

풀이 27.

○ 1과 28분의 5 = 33 / 28

○ 4와 20분의 19 = 99 / 20

○ 결국 28과 20의 최소 공배수가 분자이고, 33과 99의 최대 공약수가 분모인 분수를 구해야 하므로 답은 140 / 33 

 

 

문제 28. 축적이 1/20000인 지도에서 둘레가 50 cm인 호수가 있다. 이 호수의 둘레를 A, B 두 사람이 같은 지점에서 서로 반대쪽으로 A는 시속 5 km의 속도로, B는 시속 3 km의 속도로 동시에 출발하였다. 두 사람이 출발 후 몇 시간 몇 분만에 다시 만나게 되는지 구하여라.

 

풀이 28.

○ 호수의 둘레 = 50 cm × 20000 = 10 km

○ A와 B가 가까워지는 속도 = 8 km/h

○ 두 사람이 출발 후 만나는 시간 = 10 / 8 h = 1시간 15분 

 

 

문제 29. 축척이 1 : 5000000인 지도에서 두 지역 사이의 직선 거리가 30 cm로 나타난 곳을 초속 500 m의 비행기로 간다면, 몇 분만에 가는지 구하여라.

 

풀이 29.

○ 두 지역 사이의 직선 거리 = 30 cm × 5000000 = 1500000 m

○ 비행기가 도달하는 시간 = 1500000 m / 500 m/s = 3000 s = 50 분

 

 

문제 30. 다음과 같은 규칙으로 수를 늘어놓았을 때, 100번째 수를 구하여라.

 

 

풀이 30.

○ 분모가 2, 3, 4, ∙∙∙인 분수가 1번, 2번, 3번, ∙∙∙만큼 반복하고 있음

○ 1 + 2 + ∙∙∙ + 13 = 91임을 이용

○ 즉, 92번째 분수는 1/15이고 1/15 ('92), 2/15 ('93), 3/15 ('94), 4/15 ('95), 5/15 ('96), 6/15 ('97), 7/15 ('98), 8/15 ('99), 9/15 ('100), ∙∙∙임을 이용하면 100번째 수는 9/15 

 

 

문제 31. 다음과 같이 분수가 일정한 규칙에 따라 나열되어 있다. 38번째 분수와 53번째 분수의 합을 구하여라.

 

풀이 31.

○ n번째 분수의 분모는 2n-1이므로, 38번째 분수의 분모는 75, 53번째 분수의 분모는 105

○ n번째 분수의 분자는 n을 3으로 나눈 나머지이므로, 38번째 분수의 분자는 2, 53번째 분수의 분자는 2

○ 38번째 분수 + 53번째 분수 = 2 / 75 + 2 / 105 = 8 / 175 (ref)

 

 

문제 32. 다음은 ⓐ, ⓑ, ⓒ, ⓓ의 네 가지 추를 이용하여 저울 양쪽의 무게를 같게 한 것이다. 이때, ⓐ의 무게는 ⓑ의 무게의 몇 배와 같은지 구하여라.

  ⓐ = ⓑ + ⓑ + ⓒ
  ⓐ + ⓑ + ⓑ = ⓒ + ⓓ
  ⓒ = ⓑ + ⓑ + ⓑ + ⓓ

 

풀이 32.

○ ⓐ + 2ⓑ = 2ⓑ + ⓒ + 2ⓑ = ⓒ + 4ⓑ = ⓒ + ⓓ 

○ ∴ ⓓ = 4ⓑ

○ ⓒ = 3ⓑ + ⓓ = 3ⓑ + 4ⓑ = 7ⓑ

○ ∴ ⓐ = 2ⓑ + ⓒ = 2ⓑ + 7ⓑ = 9ⓑ

○ ∴ ⓐ의 무게는 ⓑ의 무게의 9배

 

 

문제 33. 저울에 무게가 같은 붉은 구슬 20개를 왼쪽에, 흰 구슬 6개를 오른쪽 접시에 얹었다. 오른쪽이 무거워서 흰 구슬 2개를 왼쪽으로 옮겼더니 이번에는 왼쪽이 무거워져서, 다시 왼쪽 붉은 구슬 5개를 오른쪽으로 옮겼더니 평형을 이루었다. 붉은 구슬과 흰 구슬의 총 무게는 750 g이다. 붉은 구슬과 흰 구슬의 무게를 각각 구하여라.

 

풀이 33.

○ 붉은 구슬 1개의 무게 = r, 흰 구슬 1개의 무게 = w

○ 식 1. 15r + 2w = 4w + 5r

○ 식 2. 20r + 6w = 750

○ ∴ r = 15, w = 75 (ref)

 

 

문제 34. 다음과 같이 분수가 규칙적으로 나열되어 있다. 6/19는 몇 번째 분수인지 구하여라.

 

 

풀이 34.

○ 위 수열은 1, 1/2, 2/2, 1/3, 2/3, 3/3, 1/4, 2/4, 3/4, 4/4, 1/5, ∙∙∙와 같음을 확인

○ 분모가 1, 2, 3, ∙∙∙인 분수는 총 1번, 2번, 3번, ∙∙∙ 반복하여 나타남

○ 분모가 1 ~ 18인 분수의 총 개수는 1 + 2 + ∙∙∙ + 18 = 171개

○ {1/19, 2/19, 3/19, 4/19, 5/19, 6/19}는 원소가 6개이므로 6/19는 171 + 6 = 177번째 분수 

 

 

문제 35. 작은 물통에 5컵의 물을 부어 그 무게를 달아보니 2000 g이었다. 물을 모두 비우고 같은 컵으로 8컵의 물을 부은 후 그 무게를 달아보니 2.6 kg이었다. 이 물통의 무게는 몇 g인가?

 

풀이 35.

○ 물통의 무게 = x, 1컵의 물의 무게 = y

○ 식 1. x + 5y = 2000

○ 식 2. x + 8y = 2600

○ ∴ x = 1000 (g), y = 200 (g)

 

입력: 2022.05.20 11:12

수정: 2023.08.26 11:30