【선형대수학】 3강. 행렬식과 역행렬

3강. 행렬식과 역행렬

 

추천글 : 【선형대수학】 선형대수학 목차 

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1. 개요 [본문]

2. 행렬식 [본문]

3. 역행렬 [본문]

4. 크래머 공식 [본문]

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1. 개요 [목차]

⑴ consistent system : 해를 갖는 연립방정식계

 

 

2. 행렬식(determinant) [목차]

⑴ 치환의 정의 

① 치환(순열, permutation) : S = {1, 2, ···, n}의 치환이란 S에서 S로의 일대일 대응 함수 σ를 지칭함

○ 이때 함수를 간단히 (f(1), ···, f(n))으로 씀

○ 항등치환 : (1, 2, ···, n). 즉, f(i) = i인 경우

② 호환 : (f(1), ···, f(i), ···, f(j), ···, f(n))을 (f(1), ···, f(j), ···, f(i), ···, f(n))로 바꾸는 변환 

○ 즉, 호환은 치환의 정의역의 두 원소에서 서로의 치역을 맞바꾸는 것

○ (1, ···, n)에서 유한 번의 호환을 곱하면 임의의 치환을 만들 수 있음

③ 치환의 부호

○ 홀치환(기치환, odd permutation) : 홀수 개의 치환의 곱으로 항등치환을 만들 수 있는 치환

○ 짝치환(우치환, even permutation) : 짝수 개의 치환의 곱으로 항등치환을 만들 수 있는 치환

○ 치환 σ가 기치환인 경우 sgn(σ) = -1, 우치환인 경우 sgn(σ) = +1로 정의함

④ 대칭군의 기우성 : 짝치환이면서 홀치환일 수는 없음

○ 우선 f(0) = 0이라고 가정

○ 반전

○ α ≤ x ≤ β, f(x) ＞ f(y)인 x의 개수를 M(k)_{α, β} 혹은 반전이라고 정의 

○ 반전의 합

 

 

○ 정의

○ n₁ : f(n) > f(a)이고 0 < n < i인 n의 개수

○ n₂ : f(a) > f(n) > f(b)이고 0 < n < i인 n의 개수

○ n₃ : f(b) > f(n)이고 0 < n < i인 n의 개수

○ n₄ : f(n) > f(a)이고 i < n < j인 n의 개수

○ n₅ : f(a) > f(n) > f(b)이고 i < n < j인 n의 개수

○ n₆ : f(b) > f(n)이고 0 < n < i인 n의 개수

○ 상황 1. f(i) = a, f(j) = b인 경우 (단, f(a) ＞ f(b)라고 가정)

 

 

Figure. 1. 치환의 첫 번째 상황

 

 

○ 상황 2. f(i) = b, f(j) = a인 경우 (단, f(a) ＞ f(b)라고 가정)

 

 

Figure. 2. 치환의 두 번째 상황

 

 

○ 결론 : 치환은 기우성이 있음

 

 

⑵ 행렬식의 정의 : [A]^j를 행렬 A의 j번재 열 벡터라 할 때,

① 성질 1. det[I] = 1 

② 성질 2. 치환의 부호와 관련된 성질

 

 

○ 2-1. A = ([A]¹, ···, [A]ⁿ)에서 [A]^h = [A]^k (1 ≤ h ≠ k ≤ n)이면 det(A) = 0 

③ 성질 3. det(A) = det([A]¹, ···, [A]ⁿ)은 각 열 벡터들에 관한 다중선형함수

 

 

○ 3-1. A = ([A]¹, ···, [A]ⁿ)에서 [A]ⁱ = 0이면 det(A) = 0 (∵ 0 + 0 = 0) 

○ 3-2. 열에 대한 유용한 연산 : 전치행렬에서도 행렬식이 같으므로 행에 대한 연산도 허용됨

 

 

④ 성질 1, 성질 2, 성질 3을 만족하는 유일한 함수는 다음과 같음

 

 

⑶ 행렬식의 계산 

① 2 × 2 행렬의 행렬식

 

 

② 3 × 3 행렬의 행렬식

 

 

③ 여인수 전개(cofactor expansion) : 소행렬식을 이용한 행렬식 계산

 

 

⑷ 행렬식의 응용

① 정리 1. n × n 행렬 A의 계수가 n보다 작으면 det(A) = 0임 

○ 이유 : 행렬식은 역행렬과 관련하여 유일근의 존재성을 암시하므로

② 정리 2. 전치행렬의 행렬식 : A가 n × n 행렬이면 det(A^t) = det(A)

③ 정리 3. A, B가 n × n 행렬이면 det(AB) = det(A)det(B)

④ 정리 4. X ∈ ℳ_n, A ∈ ℳ_r, D ∈ ℳ_n-r, B ∈ ℳ_{r, n-r}에 대해 다음이 성립함

 

 

○ 정리 4-1. 

 

 

○ 정리 4-2. n × n 행렬 A, B, C, D가 있을 때, |D| ≠ 0이고 CD = DC인 경우

 

 

○ 정리 4-3. A ∈ ℳ_r, B ∈ ℳ_{r, n-r}, C ∈ ℳ_{n-r, r}, D ∈ ℳ_n-r에 대하여 다음 등식이 성립함

 

 

⑤ 정리 5. x와 y가 모두 n차원 열벡터일 때 다음 등식이 성립함

 

 

⑸ 행렬식의 용도

① 용도 1. 행렬식은 선형 변환에 의해 변형된 면적, 부피 등을 의미함 

 

Figure. 3. 2차원 선형변환의 행렬식과 넓이

 

② 용도 2. 주어진 행벡터 또는 역벡터들이 종속이면 행렬식이 0이고, 독립이면 행렬식이 0이 아님 (그 역도 성립)

○ 경우 1. 종속인 경우 : 행렬식의 성질 2에 의해 행렬식이 0이 됨

○ 경우 2. 독립인 경우

○ 가우스 소거법을 써서 역삼각행렬을 만들더라도 대각성분 중에 0인  게 나올 일이 없음

○ 그러한 역삼각행렬은 행렬식이 0이 아님이 자명

○ 가우스 소거법을 쓰는 과정에서 행렬식이 바뀌지 않음

○ 그러므로 주어진 행벡터 또는 역벡터들이 독립인 행렬은 행렬식이 0이 아님

③ 용도 3. 역행렬의 존재성 : 행렬식이 0인 것과 역행렬이 존재하지 않는 것은 필요충분조건

○ 행렬식 값이 변하지 않는 가우스 소거법으로 역행렬을 자동으로 찾아낼 수 있으므로 

④ 용도 4. x-y 평면에서 (x₁, y₁)', (x₂, y₂)'를 지나는 직선의 방정식

 

 

⑤ 용도 5. v = (v₁, v₂, v₃)와 w = (w₁, w₂, w₃)의 외적(cross product)

 

 

⑥ 용도 6. 론스키 행렬(Wronskian matrix)

 

 

⑦ 용도 7. 야코비 행렬(Jacobian matrix) 

 

 

⑧ 용도 8. 헤세 행렬(Hessian matrix) 

○ 2 × 2 행렬의 헤세 행렬

 

 

○ 3  ×3 행렬의 헤세 행렬

 

 

○ n × n 행렬의 헤세 행렬

 

 

 

3. 역행렬(inverse matrix) [목차]

⑴ 정의 

 

 

⑵ 가역행렬(invertible matrix) : 역행렬이 존재하는 행렬

① 정리 1. A의 역행렬이 존재하면 그것은 유일함 

② 정리 2. A가 가역행렬이면 A^-1도 가역행렬임

 

 

③ 정리 3. A, B가 가역행렬이면 AB도 가역행렬임 

 

 

④ 정리 4. A가 가역행렬이면 cA도 가역행렬임

 

 

⑤ 정리 5. 역행렬과 전치행렬

 

 

⑥ 정리 6. det (A^k) ≠ 0 (단, A는 3 × 3 행렬)인 자연수 k가 존재하면 A는 가역행렬

⑦ 정리 7. (I - A^k) = O (단, A는 3 × 3 행렬이고 I는 단위행렬)인 자연수 k가 존재하면 A는 가역행렬 

⑧ 정리 8. Av₁ ∪ Av₂ ∪ ··· ∪ Av_k = ℝ³인 v₁, v₂, ···, v_k가 존재하면 A는 가역행렬 

○ 이유 : rank (A) = 3이라는 의미이므로 

⑨ Av_i ≠ O인 세 개의 직교벡터 v₁, v₂, v₃가 있다는 사정만으로 A를 가역행렬로 볼 수 없음

○ 이유 : A에 의한 사상이 0이 아닌 하나의 벡터로만 가는 경우도 있기 때문

 

 

⑶ 역행렬의 계산 1. 삼각행렬로 변형하여 행렬식 구하기

① 행에 관한 기본 연산 : 역행렬을 구할 수 있는 알고리즘을 제공

 

 

○ ⓐ A의 i 행 행벡터와 j 행 행벡터의 위치를 교환하는 기본연산은 C의 i 행과 j 행의 순서를 바꾼 것과 동일

○ ⓑ A의 i 행 행벡터에 c를 곱하는 기본연산은 C의 i 행에 c를 곱한 행렬과 같음

○ ⓒ A의 j 행 행벡터에 c를 곱하여 다른 i 행 행벡터에 더하는 기본연산은 C에 그러한 연산을 한 것과 동일

② 기본행렬(elementary matrix) : 단 한 번의 행에 관한 기본 연산을 한 것과 같은 효과를 주는 행렬

○ 1형 기본행렬(type 1 elementary matrix) : 첫 번째 기본연산(ⓐ)을 표현하는 행렬

○ 2형 기본행렬(type 2 elementary matrix) : 두 번째 기본연산(ⓑ)을 표현하는 행렬

○ 3형 기본행렬(type 3 elementary matrix) : 세 번째 기본연산(ⓒ)을 표현하는 행렬 

③ 정리 1. 기본행렬들은 모두 가역행렬임

○ 1형 기본행렬의 역행렬은 자기 자신

○ 2형 기본행렬의 역행렬

 

 

○ 3형 기본행렬의 역행렬

 

 

④ 정리 2. 모든 가역행렬은 기본행렬들의 곱으로 표시됨

 

 

⑤ 정리 3. 모든 삼각행렬은 역행렬이 존재함

○ 삼각행렬(triangular matrix) : 상삼각행렬(upper triangular matrix)이거나 하삼각행렬(lower triangular matrix)인 경우

○ n × n 삼각행렬 A는 기본행렬들의 곱으로 표현할 수 있음

○ 우선 주어진 삼각행렬이 상삼각행렬이라고 가정

○ 1단계. 단위행렬로부터 2행에 a₁₂를 곱한 뒤 1행에 더함 

○ 2단계. 1단계 이후 3행에 a₁₃를 곱한 뒤 1행에 더하고, a₂₃를 곱한 뒤 2행에 더함

○ 3단계. 2단계 이후 4행에 a₁₄를 곱한 뒤 1행에 더하고, a₂₄를 곱한 뒤 2행에 더하고, a₃₄를 곱한 뒤 3행에 더함

○ 4단계. 위와 같은 방법으로 주어진 상삼각행렬을 단위행렬로만 표현할 수 있음

○ 하삼각행렬도 동일한 과정을 거칠 수 있음

○ 그러므로 삼각행렬은 역행렬이 존재하고 그 형태를 특정할 수 있음

⑷ 역행렬의 계산 2. 수반행렬(adjoint matrix)

① A가 n × n 행렬일 때 A에서 i행과 j열을 없애고 나면 (n-1) × (n-1) 행렬을 얻음

 

 

② a_ij의 여인수(cofactor)

 

 

③ 라플라스 전개(Laplace expansion)

 

 

④ 수반행렬

 

 

⑤ 역행렬의 계산

 

 

 

4. 크래머 공식(Cramer's rule) [목차]

⑴ A를 n × n 행렬, x = (x₁, ···, x_n)', b = (b₁, ···, b_n)'라 할 때, 연립방정식 Ax = b의 유일해 x₀의 j번째 원소는 다음과 같음

 

 

⑵ 증명  

 

 

입력: 2020.04.22 09:51