【선형대수학】 1강. 벡터공간

1강. 벡터공간(vector space)

 

추천글 : 【선형대수학】 선형대수학 목차 

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1. 행렬의 연산 [본문]

2. 벡터공간 [본문]

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1. 행렬의 연산 [목차]

⑴ 행렬의 정의

① m × n 행렬 A, i 번째 행 벡터(row vector), j 번째 열 벡터(column vector)를 다음과 같이 정의

 

 

② 영행렬(zero matrix) 또는 널행렬(null matrix) : 모든 원소가 0인 행렬

③ 정사각행렬(square matrix)

⑵ 행렬의 덧셈

 

 

⑶ 행렬의 곱셈

① 행렬 X의 i 행, j 열의 원소를 X[i][j]라 하고, A ∈ ℝ^l×m, B ∈ ℝ^m×n, C ∈ ℝ^l×n, C = A × B라고 할 때 다음이 성립

 

 

② 성질 1. 일반적으로 AB ≠ BA

 

 

③ 성질 2. AB = O라고 해서 A = O 또는 B = O라고 할 수 없음

 

 

④ 성질 3. 행렬의 곱셈과 덧셈 사이에 다음 관계가 성립함

○ A(B+C) = AB + AC,    (A+B)C = AC + BC

○ A(BC) = (AB)C

○ c(A + B) = cA + cB

⑤ 정리 1. 케일리-해밀턴 정리(Cayley–Hamilton theorem)

 

 

○ 이를 응용하여 Aⁿ = (A² - (a + d)A + (ad - bc)E) Q(A) + kA + sE와 같이 Aⁿ (단, n ≥ 2)을 계산할 수 있음

⑥ 프로그래밍 코드 

○ C 언어로 행렬의 곱 구현하기

○ 파이썬 numpy 이용

 

import numpy as np

# 두 행렬 정의
A = np.array([[1, 2], [3, 4]])
B = np.array([[5, 6], [7, 8]])

# 행렬 출력
print("Matrix A:")
print(A)
print("\nMatrix B:")
print(B)

# 행렬 곱셈
result = np.dot(A, B)
## Alternatively, result = A@B

print("\nNumpy 행렬 곱 결과:")
print(result)

 

○ 파이썬 sympy 이용 

 

from sympy import Matrix, init_printing

# LaTeX 스타일 출력 초기화
init_printing()

# 두 행렬 정의
A = Matrix([[1, 2], [3, 4]])
B = Matrix([[5, 6], [7, 8]])

# 행렬 출력
print("Matrix A:")
display(A)

print("Matrix B:")
display(B)

# 행렬 곱셈
result = A * B

print("Sympy 행렬 곱 결과:")
display(result)

 

⑷ 전치행렬(transposed matrix)  

① 정의

 

 

② 대칭행렬(symmetric matrix, sym) : A가 정사각행렬이고 A와 A의 전치행렬이 같은 경우 

③ X ∈ ℝ^N×d (N개의 d차원 데이터)가 주어져 있을 때,

○ X^tX ∈ ℝ^d×d는 μ = 0일 때의 covariance matrix

○ XX^t ∈ ℝ^N×N는 dot matrix (similarity matrix)

④ 성질 1. (A^t)^t = A

⑤ 성질 2. (A + B)^t = A^t + B^t

⑥ 성질 3. (rA)^t = rA^t

⑦ 성질 4. AB의 전치행렬 (AB)^t = B^tA^t 

 

 

⑧ 성질 5. A, B가 symmetric이고 AB = BA라면 AB는 symmetric

 

 

⑸ 대각합 : trace 또는 tr로 표시함

 

 

① 성질 1. tr(E) = n, tr(O) = 0

② 성질 2. tr(A + B) = tr(A) + tr(B)

③ 성질 3. tr(cA) = ctr(A), c ∈ ℝ

④ 성질 4. tr(A^T) = tr(A)

⑤ 성질 5. A가 m×n 행렬이고 B가 n×r 행렬일 때 tr(AB) = tr(A) × tr(B)가 성립

⑹ 가우스 소거법(Gaussian elimination)

① 선형연립방정식

 

 

② 확장행렬(augmented matrix) : m × (n + ℓ) 행렬 (A | B)를 지칭

 

 

③ 가우스-요르단 소거법(Gauss-Jordan elimination) : 행 단위로 연산

○ 연산 1. 두 행 벡터의 위치를 서로 교환 : 방정식의 순서를 바꿈

○ 연산 2. 특정 행 벡터에 c를 곱함 : 한 방정식의 양변에 c를 곱함

○ 연산 3. 한 행 벡터에 c를 곱하여 다른 행 벡터를 더함 : 한 방정식에 c를 곱하여 다른 방정식에 더함

○ 최종 단계 : 행간소 사다리꼴(reduced row echelon form, RREF)을 만들어야 함

 

 

④ 장점 : 프로그래밍으로 구현할 수 있음

 

 

2. 벡터공간(vector space) [목차]

⑴ 벡터공간의 조건

① 덧셈에 대한 항등원 : V의 임의의 원소 x에 대하여 x + 0 = x인 0이 V에 존재

② 덧셈에 대한 역원 : x ∈ V이면 x + (-x) = 0인 -x가 V에 존재

③ 덧셈에 대한 교환법칙 : x, y ∈ V이면 x + y = y + x

④ 덧셈에 대한 결합법칙 : x, y, z ∈ V이면 (x + y) + z = x + (y + z)

⑤ 분배법칙 : c(x + y) = cx + cy

⑥ 분배법칙 : (c₁ + c₂)x = c₁x + c₂x

⑦ 곱셈에 대한 항등원 : 1x = x 

⑧ 곱셈에 대한 결합법칙 : c₁(c₂x) = (c₁c₂)x

⑵ 선형사상

① 선형사상(linear transformation) : 사상 T : U → V가 x, y ∈ U, c ∈ F에 대해 다음 조건을 만족하는 경우

 

 

② 선형결합(linear combination)

 

 

③ 선형종속(linearly dependent)

 

 

④ 선형독립(linearly independent) 

 

 

⑤ 생성집합(spanning set) : 벡터공간 V의 임의의 벡터가 S의 원소들의 선형결합으로 표시되는 경우 그 S를 지칭함

 

 

⑥ 기저(basis) : 생성집합 중에서 선형독립인 것

⑶ T의 역사상 T^-1 : V → U가 존재하면 T^-1도 선형사상

    

 

⑷ 내적공간(inner product space)

① 내적(inner product, dot product)의 조건

 

② 표준내적(standard inner product) : V = ℂⁿ에서 표준내적을 다음과 같이 정의

 

 

③ 내적의 성질

 

 

④ 내적공간(inner product space) : 내적이 정의되어 있는 벡터공간

○ 실내적공간 : 스칼라체가 실수 집합인 경우

○ 복소내적공간 : 스칼라체가 복소수 집합인 경우

⑤ 노음(노름, norm)

 

 

⑥ 정리 1. 코시-슈바르츠 부등식(Cauchy-Schwartz inequality)

 

⑦ 정리 2. 삼각부등식(triangular inequality)

 

⑷ 거리공간(metric space)

① 거리함수(distance function, metric)

 

 

○ 거리함수의 종류 

② 노음과 거리(distance)의 관계

○ 노음이 정의되면 거리(distance) d를 정의할 수 있음 

 

 

○ 거리가 정의돼 있다고 하여 대응되는 노음이 항상 존재하는 것은 아님 

③ 커널(kernel)

○ 비선형사상(non-linear map) φ(x) : X → H를 이용하여 거리 d를 달리 정의할 수도 있음

 

 

○ 커널의 정의 : k(x_i, y_i) ≡ φ(x_i)^Tφ(x_j)

 

 

○ 커널의 특징

 

 

○ 커널 예시 

○ φ(x, y) = (x, y, x² + y²)^T

○ k(v, u) = u^Tv (단, 이 경우 φ(·)는 항등함수)

○ 가우시안 커널(Gaussian kernel) : k(v, u) = exp(-||v - u||² / 2σ²) 

○ 다항 커널(polynomial kernel) : k(v, u) = (u^Tv + 1)^d (단, d는 다항 차수(polynomial degree))

○ 시그모이드 커널(sigmoid kernel) : k(v, u) = tanh(αu^Tv + β)

○ RBF 커널(radial basis function kernel) : k(v, u) = exp(-γ ||v - u||²)

⑸ 부분공간(subspace) : 생성집합은 부분공간을 span한다

 

 

입력: 2020.04.07 21:36

수정: 2024.10.10 08:12