【대수학】 3항 점화식

3항 점화식 

 

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Q.

다음 조건을 만족하는 수열 {a_n}_n≥1의 일반항은?

 

 

Solution.

p = 0인 경우 식은 다음과 같다.

 

 

이때 q = 0이든, q ≠ 0이든 a_n은 등비수열이다.

그 경우 일반항은 매우 쉽게 구할 수 있으므로 p ≠ 0이라고 가정하자.

비슷하게 q = 0 또는 r = 0인 경우도 제외하자.

 

 

경우 1. 다음 식이 서로 다른 두 근 α, β를 갖는 경우

 

 

점화식도 비슷한 형태로 고칠 수 있다.

 

 

이때 n = -1인 경우 (우변) = a₁이 성립한다.

비슷하게, n = 0인 경우 (우변) = a₂가 성립한다.

 

 

따라서 점화식을 풀 때 다음과 같은 꼴로 둘 수 있다.

 

 

경우 2. 다음 식이 중근 α ≠ 0을 갖는 경우

 

 

점화식도 비슷한 형태로 고칠 수 있다.

 

 

따라서 점화식을 풀 때 다음과 같은 꼴로 둘 수 있다.

 

 

입력: 2015.10.31