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【선형대수학】 4강. 고유치와 고유형식

 

4강. 고유치와 고유형식

 

추천글 : 【선형대수학】 선형대수학 목차 


1. 고유치와 고유벡터 [본문]

2. 행렬의 대각화 [본문]

3. 이차형식 [본문]

4. 미분방정식과 고유치 [본문]


 

1. 고유치와 고유벡터 [목차]

⑴ 고유치(고유값, eigenvalue)와 고유벡터(eigenvector)

 

 

① 대각화 가능성, spectral clustering 등에서 사용

정리 1. (A - λI)x = 0에서 A - λI가 non-zero kernel을 가질 필요충분조건은 det(A - λI) = 0

○ 증명 : rank-nullity theorem 

정리 2. A ∈ ℝ2×2의 고유치가 λ1, λ2일 때 A2 - (λ1 + λ2)A + λ1λ2I = O가 성립

○ 증명

고유치의 정의로부터 다음이 성립 

 

 

이로부터 쉽게 λ1 + λ2 = a + d, λ1λ2 = ad - bc가 성립함을 앎

그러므로 케일리-헤밀턴 정리에 의해 준 명제가 성립함 

이를 응용하여 An = (A - λ1I)(A - λ2I) Q(A) + kA + sE와 같이 An (단, n ≥ 2)을 계산할 수 있음

정리 3. 행렬의 대각화를 응용하면, A = PDP-1로부터 An = PDnP-1을 구할 수 있음 

정리 4. 크기가 n × n인 실행렬 A와 B에 대하여, 행렬 AB의 고윳값은 행렬 BA의 고유값이 됨 (ref)

○ 증명 : λ는 AB의 고유값이라고 가정 

⇔ ABv = λv, v ≠ 0  

⇔ BABv = BA (Bv) = B · λv = λ (Bv)

⇔ 다음과 같이 가능한 모든 경우를 고려해 보았을 때, BA의 고유값은 AB의 고유값과 동일함

○ Bv ≠ O인 경우 : λ는 BA의 고유값 

○ Bv = O인 경우

⇔ ABv = AO = O = λv

⇔ λ = 0은 AB의 고유값

⇔ 0 = det(AB) = det(A) × det(B) = det(BA) 

⇔ 따라서 BAv' = O인 v' ≠ 0이 존재함

⇔ λ = 0도 BA의 고유값  

응용 1. 휘켈 근사와 해밀토니안 

⑵ 일반화된 고유벡터(generalized eigenvector)

 개요

정의 : 비대칭 행렬의 대수적 중복도보다 기하적 중복도가 작을 때, 모자라는 고유벡터들을 대신하는 벡터들

○ 행렬 A의 rank m의 일반화된 고유벡터는 다음과 같음

 

(A - λI)mxm = 0 & (A - λI)m-1xm0

 

○ m = 1인 경우 고유벡터의 정의와 동일함 

조르단 표준형에서 사용됨

② 예시 : 다음 행렬 A의 고유치는 1이고 그와 대응하는 고유벡터는 v1 = (1, 0)T

 

 

○ 고유치 1의 대수적 중복도는 2이고 기하학적 중복도는 1 

○ (A - λI)2 v2 = (A - λI) {(A - λI) v2} = 0 ⇔ (A - λI) v2 = v1 

○ (A - I)v2 = (1, 0)T를 만족하는 v2 = (*, 1)T (e.g., (0, 1)T)를 일반화된 고유벡터라고 함

⑶ 고유함수(eigenfunction)

Sturm-Liouville의 정리 : 서로 다른 고유함수끼리는 직교함 

 

 

2. 행렬의 대각화 [목차]

⑴ 대각행렬(diagonal matrix)

대각선 이외의 성분은 전부 0인 n × n 행렬

 

 

② 성질

성질 1. 행렬식은 대각선 성분들의 곱

성질 2. 역행렬은 주어진 대각행렬의 각 대각선 성분들이 역수인 행렬 

⑵ 블록 대각행렬(block diagonal matrix)

① 정의 : Ai ∈ ℳni,ni (F)일 때 (단, i = 1, ···, k), n1 + ··· + nk = n일 때 다음과 같은 형태의 행렬 A를 지칭함 

 

 

② 성질 : Ai, Bini,ni (F)일 때, 

 성질 1. diag(A1, ···, Ak)·diag(B1, ···, Bk) = diag(A1B1, ···, AkBk)

성질 2. Ai가 가역이면, (diag(A1, ···, Ak))-1 = diag(A1-1, ···, Ak-1)

⑶ 대각화 가능성

① 정의 : 다음을 만족하는 대각행렬 D, 정칙행렬 P가 있다면 A는 대각화가 가능(diagonalizable)하다고 함

 

 

② 직교대각화(orthogonal diagonalization) : 정규직교기저로 구성된 행렬 P에 대해 

 

 

정리 1. n × n 행렬 A가 대각화 가능하기 위한 필요충분조건은 A가 n개의 일차독립인 고유벡터를 가짐

정리 2. n × n 행렬 A가 n개의 서로 다른 고유값 λ1, λ2, ···, λn을 가지면, A는 대각화가 가능함

P가 A의 선형독립인 고유벡터들을 열로 갖는 행렬이라 했을 때, 대각행렬 D는 다음과 같음 

 

 

정리 3. spectral theorem : n × n 행렬 A가 직교 대각화가 가능하기 위한 필요충분조건은 A가 대칭행렬(symmetric)인 것

정리 4. n × n 행렬 A의 일반화된 고유벡터들은 항상 ℝn을 span하므로, 그러한 행렬 A는 대각화가 가능함

: A2 = A인 n × n 행렬은 λ = 0, 1의 고유치를 가지며 대각화 가능함  

⑷ 조르단 표준형(Jordan canonical form)

행렬이 대각화 가능하지 않지만, 여전히 고유값에 대응하는 일반화된 고유벡터가 존재하는 경우에는 조르당 표준형으로 변환할 수 있음

② 조르당 표준형 : A = PJP-1 (단, J는 완전한 대각행렬은 아니고, 조르당 블록으로 이루어진 행렬)

⑸ 예제

① 행렬 A가 주어져 있음

 

 

② 고유치와 고유벡터 계산

 

 

③ P와 D의 계산

 

 

 

3. 이차형식(quadratic form) [목차]

⑴ 정의 : 4x12 + 2x1x2 + 3x22은 이차형식이지만, 4x12 + 2x1은 이차형식이 아님

 

 

⑵ 대칭행렬을 이용한 표현

 

 

⑶ 이차형식의 부호 정의 : 대칭행렬 A ∈ n와 n상의 모든 벡터 x0에 대하여

① 양정부호 행렬(positive definite matrix) : A의 모든 고유치가 0보다 큼 ⇔ Q(x) > 0 ∀x0  

 

 

② 양반정부호 행렬(positive semi-definite matrix) : A의 모든 고유치가 0보다 크거나 같음 ⇔ Q(x) ≥ 0 ∀x  0  

 

 

③ 음정부호 행렬(negative definite matrix) : A의 모든 고유치가 0보다 작음 ⇔ Q(x) < 0 ∀x  0  

 

 

④ 음반정부호 행렬(negative semi-definite matrix) : A의 모든 고유치가 0보다 작거나 같음 ⇔ Q(x) ≤ 0 ∀x  0  

 

 

⑤ 부정부호 행렬(indefinite matrix) : ① ~ ④와 달리 부호가 일정하지 않은 경우. A의 고유치 중 부호가 다른 게 존재

⑥ 증명  

A = PΛPT (단, Λ는 대각행렬), y = PTx이라고 할 때,

○ xTAx = yTΛy와 같아서 고유치의 부호와 xTAx의 관계를 쉽게 확인할 수 있음

⑦ 응용

 

 

⑷ 이차형식의 부호 판정 : 대칭행렬 A ∈ n과 {1, 2, ···, n}의 부분집합 S ={i1, i2, ···, ik}에 대하여 

① 주소행렬(principal submatrix) : A에서 S에 해당하는 순서의 행과 열을 선택한 k × k 행렬

 

 

② 선도주소행렬(leading principal submatrix) : A의 마지막 n-k개의 행벡터와 열벡터를 생략하고 남은 k × k 행렬

 

 

정리 1. 대칭행렬 A ∈ n가 양정부호인 것과 sgn(det(Ak)) = 1, k = 1, 2, ···, n인 것은 필요충분조건

정리 2. 대칭행렬 A ∈ n가 음정부호인 것과 sgn(det(Ak)) = (-1)k, k = 1, 2, ···, n인 것은 필요충분조건 

정리 3. 대칭행렬 A ∈ n가 양반정부호인 것과 A의 모든 주소행렬식이 0 이상인 것은 필요충분조건

○ (주석) 정리 1 또는 2를 시도할 때 어느 선도주소행렬식이 0인 경우 정리 3을 시도함

○ 명백히 선도주소행렬식의 부호가 바뀌는 경우 부정부호행렬로서 정리 3 또는 4를 시도하지 않아도 됨

정리 4. 대칭행렬 A ∈ n가 음반정부호인 것과 -A의 모든 주소행렬식이 0 이상인 것은 필요충분조건

○ (주석) 정리 3을 시도하다가 주소행렬식의 부호가 일정하지 않으면 정리 4를 시도함

⑦ (참고) sgn은 판별식을 직접 계산하여 부호를 확인했을 때 양의 값이면 1, 음의 값이면 -1을 나타냄

⑸ 영역 Ω ⊂ ℝn에서 정의된 C2 함수 f : Ω → ℝ이 점 p ∈ Ω에서 ∇f(p) = 0라 하면 다음이 성립

① Hf(p)가 양정부호행렬이면 f는 점 x = p에서 극소값을 가짐

② Hf(p)가 음정부호행렬이면 f는 점 x = p에서 극대값을 가짐

③ Hf(p)가 부정부호행렬이면 점 x = p는 f의 안장점

④ Hf(p)가 양반정부호행렬이면 f는 점 x = p에서 상대적 극소

⑤ Hf(p)가 음반정부호행렬이면 f는 점 x = p에서 상대적 극대

⑹ 제약이 부여된 이차형식의 부호 판별 : 대칭행렬 A ∈ n와 B ∈ m, n (n > m) (즉, m행 n열) 에 대하여 n차원 이차형식 QA(x) = xtAx에 선형제약{x ∈ n | Bx = 0}가 부여되어 있다. 새로운 (m+n) × (m+n) 행렬 H를 다음과 같이 정의했을 때 다음 명제가 성립한다.

 

 

정리 1. sgn(|Hm+i|) = (-1)m, i = m+1, m+2, ···, n이면 QA(x) > 0이 성립

○ (주석) 필요충분조건이 아님을 유의

정리 2. sgn(|Hm+i|) = (-1)i, i = m+1, m+2, ···, n이면 QA(x) < 0이 성립

○ (주석) 필요충분조건이 아님을 유의

③ 예제 : 다음 예제는 음정부호인 대칭행렬 A를 보고 있음

 

 

④ (참고) 부호가 없는 이차형식이라도 일정한 제약 하에서 부호를 가질 수 있음

 

 

4. 미분방정식과 고유치 [목차]

⑴ 연립 선형 상미분방정식 : 2 × 2 행렬 A로 표현되는 연립 선형 상미분방정식에 대하여,

 

 

① 경우 1. A가 고유치 λ1, λ2를 갖고 대각화가 가능한 경우 : λ1, λ2와 각각 대응되는 고유벡터 v1, v2에 대해, 해는 다음과 같이 표현됨

 

 

경우 2. A가 복소수 고유치 p ± qi를 갖는 경우 : 해는 다음과 같이 표현됨

 

 

경우 3. A가 다중도가 2인 고유치 λ 1개를 갖고 있고, 대각화가 안 된다면 일반해 x는 일반화된 고유벡터와 함께 다음과 같음

 

 

선형 근사(linearization) 

① 예제 : x' = x3 - y, y' = x인 경우 평형점(equilibrium point) (0, 0)의 분류 

단계 1. 다음 근사식을 찾을 수 있음  

 

 

단계 2. Jacobian 행렬 구성 

 

 

단계 3. 고유치 계산 

○ 고유치가 모두 음수인 실수인 경우 : 해당 평형점은 안정(stable)

○ 고유치가 하나는 양수이고 다른 하나는 음수인 경우 : 해당 평형점은 안장점(saddle)

○ 고유치가 모두 양수인 실수인 경우 : 해당 평형점은 불안정(unstable)

고유치가 모두 복소수인 경우 : 해당 평형점은 spiral 

A의 고유치는 ± i이므로 (0, 0) 주변에 spiral 패턴이 나타

 

 

Figure. 1. 주어진 시스템의 유선도

 

입력: 2020.05.19 23:48

수정: 2024.11.12 09:45