【선형대수학】 rank-nullity theorem

rank-nullity theorem

 

추천글 : 【선형대수학】 선형대수학 목차

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1. 명제 [본문]

2. 첫 번째 증명 방법 [본문]

3. 두 번째 증명 방법 [본문]

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1. 명제 [목차]

⑴ 첫 번째 표현

 

 

⑵ 두 번째 표현 

 

 

 

2. 첫 번째 증명 방법 [목차]

⑴ 전제

ker (T)의 기저를 B = {v1, …, vr}이라 하자. 

이때 B ⊆ V이므로 자명하게 r ≤ n이 성립한다. 

이 기저공간을 확장하여 V의 기저공간 E = {v1, …, vn}을 얻을 수 있다. 

이제 준명제를 증명하는 것은 C = {T(vr+1), …, T(vn)}이 im(T)의 기저가 됨을 보이는 것과 같다. 

그것을 증명하기 위해 T(vr+1), …, T(vn)이 모두 일차독립이고, im(T)를 포함(span)함을 보일 것이다. 

즉, 어떤 n-r개의 상이 다른 모든 상을 포함하는 기저공간을 이룸을 보일 것이다.   

⑵ lemma 1. C는 linearly independent subset이다. 

xr+1T(vr+1)+ … + xnT(vn) = O인 (xr+1, …, xn)을 구해보자. 

이때, xr+1T(vr+1)+ … + xnT(vn) = T(xr+1 vr+1+ … +xn vn) = T(O) = O이므로  

xr+1 vr+1+ … +xn vn가 ker (T)의 원소임을 의미한다. 

그런데 E가 V의 기저이므로 임의의 v ∈ V는 v1, …, vn의 선형 결합으로 유일하게 표현되고,  

ker (T)의 원소는 모두 v1, ··· , vr의 선형결합으로 나타낼 수 있으므로 xr+1 =… = xn = 0이 성립한다. 

따라서 C는 linearly independent하다. 

⑶ lemma 2. im(T) ⊆ C의 공간

w ∈ im(T)라는 것은 적당한 V의 원소 v에 대해 w = T(v)라는 뜻이다. 

v = x1 v1+ … +xn vn라고 나타낼 수 있으므로,  

w = T(x1 v1+ … +xn vn) = x1 T(v1) + ··· + xn T(vn) = xr+1 T(vr+1) + ··· + xn T(vn)  

(∵ T(v1) = … = T(vr) = O) 

따라서 C는 im(T)의 기저이다. 

⑷ 결론

그 결과, dim(ker(T)) + dim(im(T)) = r + (n-r) = n = dim(V)가 성립한다. 

 

 

3. 두 번째 증명 방법 : 사실상 첫 번째 증명과 동일함 [목차]

 

 

입력: 2015.08.26 21:21