【선형대수학】 최소다항식과 기약다항식

$최소다항식과\; 기약다항식$

 

추천글 : 【선형대수학】 선형대수학 목차

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1. 정리 [본문]

2. 증명 [본문]

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1. 정리 [목차]

기약다항식 i ∈ F[x] 에 대해, i ∤ f 이면 i ∤ p이다. 

단, F[x]는 모든 다항식의 집합이고 a ∤ b는 a가 b를 나눌 수 없다, 즉 a가 b의 약수가 아니라는 의미이다.

또한, 어떤 행렬 n × n 행렬 A에 대해, f 는 A의 특성다항식(=고유다항식), p 는 A를 해로 갖는 임의의 다항방정식, i 는 A의 최소다항식이다.

 

 

2. 증명 [목차]

p(x)－p(y) = (x - y) × P(x, y) (단, P(x, y)는 x, y에 대한 어떤 다항식)

⇔ p(λI)－p(A) = (λI－A) × P(λI, A) (∵ x = λI, y = A를 대입)

⇔ p(λ)I = (λI－A) × P(λI, A) (∵ p(A) = O, p(λI) = p(λ)I)

⇔ (양변에 det를 씌우면) det(p(λ)I) = (p(λ))n = f (λ) × det(P(λI, A)) (∵ det(AB)=det(A)det(B))

(단, I 는 n × n 단위행렬, O는 영행렬이다.)

따라서 f(λ)의 기약다항식은 (p(λ))n의 약수, 곧 p(λ)의 약수이다.

 

입력: 2015.08.24 21:11