【선형대수학】 rank(AB) ≤ min{rank(A), rank(b)}

$rank(AB)\; \le \; min\{rank(A),\; rank(b)\}$

 

추천글 : 【선형대수학】 선형대수학 목차

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1. 명제 [본문]

2. 증명 [본문]

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1. 명제 [목차]

 

l × m 행렬 A와 m × n 행렬 B에 대하여, rank (AB) ≤ min {rank (A), rank (B)} 가 성립한다.

 

 

2. 증명 [목차]

⑴ 계수정리 : 임의의 행렬의 열 벡터들의 계수(rank)와 행 벡터들의 계수(rank)는 같다.

⑵ lemma 1. rank (AB) ≤ rank (B)

AB = A(B₁, ···, B_n) = (AB₁, ···, AB_n)

Bi₁, Bi₂, ···, Bi_k (단, k = rank(B))가 일차독립이라고 하자. 

그러면 B_t, t ≠ i₁, ···, i_k는 Bi₁, Bi₂, ···, Bi_k의 일차결합으로 표현된다.

즉, B_t = x1 Bi₁ + ··· + xk Bi_k인 (x1, ···, xk)가 존재한다.

이때 AB_t = A(x1 Bi₁ + ··· + xk Bi_k) = x1 ABi₁ + ··· + xk ABi_k으로 표현된다.

그런데 ABi₁, ABi₂, ···, ABi_k (단, k = rank(B))에서 어떤 열벡터가 다른 k-1개의 벡터들의 일차결합으로 표현될 수는 있다.

즉, rank (AB) < rank (B)일 수도 있다는 것.

따라서 rank (AB) ≤ rank (B)가 성립한다.

⑶ lemma 2. rank (AB) ≤ rank (A) 

전치행렬에 관한 두 명제를 이용하자.

○ (AB)^T = B^TA^T

○ rank (X^T) = rank (X) 

lemma 1에서 rank (AB) ≤ rank (B)임을 밝혔으므로,

rank (AB) = rank ((AB)^T) = rank (B^TA^T) ≤ rank (A^T) = rank (A) 

⑷ lemma 1와 lemma 2에 의해 rank (AB) ≤ min {rank (A), rank (B)}가 성립한다.

 

입력: 2015.08.27 10:06

수정: 2022.04.28 16:51