【대수경】 제 35회 전국 대학생 수학 경시대회 제 1 분야

제 35회 전국 대학생 수학 경시대회 제 1 분야

 

추천글 : 【전국 대학생 수학경시대회】 전국 대학생 수학경시대회 풀이 모음 

---

 

제 35회 전국 대학생 수학경시대회

제 1 분야

 

2016년 (10:00 - 13:00)

 

1. 다음 극한값을 구하여라 (단, log는 자연로그). 

 

 

Solution. 

 

 

 

2. 수열 {a_n}_n≥1은 감소하는 실수열이고 lim_n→∞ a_n = 0이다. 모든 양의 정수 k에 대하여 S_2^k - 2^ka_2^k ≤ 1을 만족할 때 ∑_{n=1 to ∞} a_n ≤ 1이 성립함을 보여라 (단, S_m = ∑_{n=1 to m} a_n은 수열 {a_n}_n≥1의 m번째 항까지의 부분합). 

 

 

Solution. 

임의의 k에 대하여 (1/2) a_2^k  ≥ a_2^l 이 성립하는 k > l을 찾을 수 있으므로, 2^k a_2^k < ∞임을 다음과 같이 보일 수 있다. 

 

 

S_2^k ≤ 2^ka_2^k + 1 ≤ 3으로부터 완비성 공리에 의해 S_m은 수렴한다.

이제 lim_k→∞ 2^ka_2^k = α ≠ 0이라고 가정하자. 그러면 다음과 같은 모순이 발생한다.

 

 

따라서 다음이 성립한다. 

 

 

 

3. 양의 정수 m, n에 대하여 크기가 m × n인 실행렬 A가 주어져 있다. 

⑴ 행렬 X = I_m + AA^T와 Y = I_n + A^TA는 가역임을 보여라. 

⑵ tr(X^-1) - tr(Y^-1)의 값을 구하여라. 

(단, A^T는 A의 전치행렬, 양의 정수 ℓ에 대하여 I_ℓ은 크기가 ℓ × ℓ인 단위행렬)

 

 

Solution. 

⑴ 

행렬 AA^T는 대칭행렬이므로 AA^T는 직교 대각화 가능하다. (∵ spectral theorem)

즉, AA^T = PDP^T = PDP^-1 

또한, 임의의 x ≠ 0에 대하여 x^TAA^Tx = |A^Tx|² ≥ 0이므로 AA^T는 양반정부호 행렬(positive semi-definite matrix)이다.

따라서 AA^T의 모든 고유치 λ₁, ···, λ_m은 0보다 크거나 같다. 

X = I_m + PDP^-1 = P(I_m + D)P^-1이므로 X의 고유치는 (λ_X,1 + 1), ···, (λ_X,1 + 1) ≥ 1이다.

따라서 det(X) = (λ_X,1 + 1) × ··· × (λ_X,m + 1)이므로 X는 가역이다.

일반성을 잃지 않고, 행렬 Y도 가역이다.

 

⑵

AA^T ∈ ℝ^m×m, A^TA ∈ ℝ^n×n이 비록 행렬의 크기가 다르더라도 0이 아닌 고유치의 개수와 종류는 동일하다.

한편, tr(X^-1) = tr(P(I_m + D^-1)P^-1) = tr(I_m + D^-1) = ∑_i (1 + λ_X,i)^-1이 성립한다.

비슷하게, tr(Y^-1) = ∑_i (1 + λ_Y,i)^-1이 성립한다.

따라서 0이 아닌 고유치끼리는 서로 상쇄되어, tr(X^-1) - tr(Y^-1) = |m - n|이다.

 

 

4. 연속함수 f : [-π/4, π/4] → [-1, 1]가 구간 (-π/4, π/4)에서 미분가능할 때, 다음 부등식을 만족하는 점 x₀가 구간 (-π/4, π/4)에 존재함을 보여라.

 

 

Solution.

귀류법을 사용하여 f'(x) > 1 + f(x)² 혹은 f'(x) < -(1 + f(x)²)이라고 가정하자.

f(x)는 연속이므로 f'(x) > 1 + f(x)²와 f'(x) < -(1 + f(x)²) 중 하나만 성립한다.

우선, f'(x) > 1 + f(x)²이라고 가정하면 다음과 같은 모순이 있다.

 

 

또한, f'(x) < -(1 + f(x)²)이라고 가정하면 다음과 같은 모순이 있다.

 

 

따라서 준 명제가 성립한다. 

 

 

5. 함수 

 

 

에 대하여 다음 값을 구하여라. 

 

 

Solution. 

0 ≤ x - x³ ≤ 2 / 3√3로부터 1 / √2 = cos(π / 4) ≤ f(x) ≤ cos(0) = 1를 얻는다.

직관적으로 lim_t→∞ (∫_{0 to 1} f(x)^t dx)^1/t 는 f(x)의 최댓값을 구하는 것과 같다. 

또한, 직관적으로 lim_t→∞ (∫_{0 to 1} (1/ f(x))^t dx)^1/t는 1 / f(x)의 최댓값을 구하는 것과 같다.

그러므로 (준식)의 값은 1 + (√2)^-1 = 1 + 1/√2이다.  

엄밀하게는 엡실론-델타 논리를 쓰면 될 테지만, 그럴 필요가 없을 정도로 자명하다. 

 

참고로, 각 차원 간의 값을 비교하여 가장 큰 값을 거리로 정의하는 방법을 maximum metric으로 부르며, 다음과 같은 이름으로도 알려져 있다.

○ Chebyshev distance supremum distance

○ uniform distance

○ chessboard distance

○ d_∞ distance

 

 

6. 크기가 2 × 2인 실행렬 A, B가

 

 

를 만족할 때, A와 B는 공통의 고유벡터를 가짐을 보여라.

 

 

Solution. 

det(A) = λ_A,1·λ_A,2 = 1, tr A = λ_A,1 + λ_A,2 > 2

∴ λ_A,1 = λ_A > 1 > λ_A,2 = 1 / λ_A > 0

det(B) = λ_B,1·λ_B,2 = 1, tr B = λ_B,1 + λ_B,2 > 2

∴ λ_B,1 = λ_B > 1 > λ_B,2 = 1 / λ_B > 0

M = ABA^-1B^-1이 det(M) = 1이고 tr(M) = λ_M,1 + λ_M,2 = λ_M + 1 / λ_M = 2이므로 λ_M = 1, M = I (단, I는 단위행렬)이다.

따라서, AB = BA가 성립한다. 

 

B의 한 고유벡터 v_B,1에 대하여, B(Av_B,1) = A(Bv_B,1) = λ_B,1 (Av_B,1)이 성립한다.

비슷하게 B(Av_B,2) = λ_B,2 (Av_B,2)가 성립한다.

Av_B,1은 v_B,1의 상수배이고, Av_B,2는 v_B,2의 상수배이므로 A는 v_B,1, v_B,2를 고유벡터로 가진다.

그러므로 준 명제를 증명하였다. 

 

 

7. 양의 실수 M에 대하여 연속함수 f : [0, ∞) → [0, M]가 

 

 

를 만족할 때, 다음 부등식을 증명하여라.

 

 

 

Solution.

우선 확률밀도함수 p(x)를 다음과 같이 정의하자.

 

 

따라서 주어진 식은 다음과 같이 표현할 수 있다.

 

 

이때, M₀는 p(x)의 최댓값이며, 이제 이 부등식이 성립하지 않도록 더 극단적인 상황으로 만드는 변환을 해보자.

M₀가 동일할 때, 𝔼[X]를 최소화하려면 다음과 같이 주어진 p(x)를 빈 공간 없이 왼쪽으로 밀착시켜야 한다. 

 

 

또한, M₀가 동일할 때, 𝔼[X]를 최소화하려면 다음과 같이 주어진 p(x)를 재배열하여 p(x)가 감소함수가 되도록 해야 한다.

 

 

그런데, 감소함수인 p(x)에서 square-like하게 변형을 해주어야 (다음 그림에서 빨강 → 파랑), M₀가 동일하면서 𝔼[X]를 최소화할 수 있다.

 

 

따라서 다음과 같이 가장 극단적인 경우에도 준 명제가 성립하므로, (준식)은 언제나 성립한다.

 

 

 

8. 양의 정수 n에 대하여 크기가 n × n인 복소행렬 A가 주어져 있다. 다음 두 조건이 동치임을 보여라.

⑴ AB - BA = A를 만족하는 크기가 n × n인 복소행렬 B가 존재한다.

⑵ A^k = O을 만족하는 양의 정수 k가 존재한다 (단, O는 영행렬).

 

 

Solution.

공식 풀이를 참고하였다.

A = O인 경우는 자명하다. 그러므로 A ≠ O라고 가정하자. 

 

⑴ → ⑵ 증명

임의의 행렬 X ∈ V에 대하여 f_B(X) = XB - BX로 정의하면, f_B는 선형 사상이다.

AB - BA = A는 f_B(A) = 1·A라는 형태이므로 고윳값 λ = 1에 대응하는 고유벡터가 A ≠ O라는 뜻이다. 

f_B(A^k) = A^kB - BA^k = kA^k라고 가정하면,

f_B(A^k+1) = (A^kA)B - B(A^kA) = A^k(BA + A) - BA^k+1 = (BA^k + kA^k)A + A^k+1 - BA^k+1 = (k+1)A^k+1

따라서 수학적 귀납법에 의해 fB(A^k) = kA^k임을 확인할 수 있다.

만약 모든 k에 대하여 A^k ≠ O라고 한다면 선형함수 f_B는 무수히 많은 고유치를 갖게 되므로 모순이다.

그러므로 적당한 k에 대하여 A^k = O가 성립한다.

 

⑵ → ⑴ 증명 

양의 정수 k > 1에 대하여 행렬 A_k를 다음과 같이 정의하자.

 

 

또한, 행렬 B_k를 대각선에 1, 2, ···, k를 배치한 대각행렬로 정의하자.

 

 

이 경우 A_kB_k - B_kA_k = A_k를 만족한다.

 

 

A^k = O (nilpotent)는 행렬 A의 Jordan 형식을 생각하면, A는 적당한 A_k들로 이루어진 볼록대각행렬이 된다.

 

 

A의 블록 대각성분에 해당하는 A_k에 대응하는 B_k로 이루어진 블록 대각행렬을 B라고 하면 AB - BA = A를 만족한다.

 

입력: 2025.03.10 22:32