【대수경】 제 35회 전국 대학생 수학 경시대회 제 2 분야

제 35회 전국 대학생 수학 경시대회 제 2 분야

 

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제 35회 전국 대학생 수학경시대회

제 2 분야

 

2016년 (10:00 - 13:00)

 

1. 다음 극한값을 구하여라 (단, log는 자연로그). 

 

 

Solution. 

 

 

 

2. 실수 a, b가 a² + b² ≤ π² / 4를 만족할 때, 다음 부등식을 증명하여라.

 

 

Solution. 

 

 

 

3. 양의 정수 n에 대하여 크기가 n × n인 실행렬 A가 서로 다른 n개의 양의 고유치를 가질 때, B²⁰¹⁶ = A를 만족하는 실행렬 B의 개수를 구하여라.

 

 

Solution. 

A가 서로 다른 n개의 고유치를 가지고 있으므로 A는 대각행렬 D_A, 정칙행렬 P에 대하여 다음과 같이 대각화 가능하다.

 

A = PD_AP^-1

 

한편, AB = B²⁰¹⁶·B = B²⁰¹⁷ = B·B²⁰¹⁶ = BA이므로 A와 B는 가환(commutant)이다. 

따라서 B도 대각행렬 D_B, 위와 동일한 정칙행렬 P에 대하여 다음과 같이 대각화 가능하다.

 

B = PD_BP^-1, B²⁰¹⁶ = PD_B²⁰¹⁶P^-1

 

그러므로 A의 각 고유치 λ_A,i, i = 1, ···, n와 B의 각 고유치 λ_B,i, i = 1, ···, n에 대하여 다음과 성립한다.

 

λ_A,i = λ_B,i²⁰¹⁶

 

따라서, λ_B,i = ± ²⁰¹⁶√λ_A,i = ± λ_A,i^1/2016이 성립한다.

그러므로 λ_B,1, ··, λ_B,n이 부호 때문에 각각 2가지 경우가 존재하므로, 실행렬 B는 2ⁿ개가 존재한다.

 

 

4. 다음 미분방정식을 만족하는 함수 y(t)에 대하여 함숫값 y(π/4)를 구하여라.

 

 

Solution.

 

 

 

5. 연속함수 f : [-π/4, π/4] → [-1, 1]가 구간 (-π/4, π/4)에서 미분가능할 때, 다음 부등식을 만족하는 점 x₀가 구간 (-π/4, π/4)에 존재함을 보여라.

 

 

 

Solution.

귀류법을 사용하여 f'(x) > 1 + f(x)² 혹은 f'(x) < -(1 + f(x)²)이라고 가정하자.

f(x)는 연속이므로 f'(x) > 1 + f(x)²와 f'(x) < -(1 + f(x)²) 중 하나만 성립한다.

우선, f'(x) > 1 + f(x)²이라고 가정하면 다음과 같은 모순이 있다.

 

 

또한, f'(x) < -(1 + f(x)²)이라고 가정하면 다음과 같은 모순이 있다.

 

 

따라서 준 명제가 성립한다. 

 

 

6. 양의 정수 m, n에 대하여 크기가 m × n인 실행렬 A가 주어져 있다.

⑴ 행렬 X = I_m + AA^T와 Y = I_n + A^TA는 가역임을 보여라. 

⑵ tr(X^-1) - tr(Y^-1)의 값을 구하여라. 

(단, A^T는 A의 전치행렬, 양의 정수 ℓ에 대하여 I_ℓ은 크기가 ℓ × ℓ인 단위행렬)

 

 

Solution. 

⑴ 

행렬 AA^T는 대칭행렬이므로 AA^T는 직교 대각화 가능하다. (∵ spectral theorem)

즉, AA^T = PDP^T = PDP^-1 

또한, 임의의 x ≠ 0에 대하여 x^TAA^Tx = |A^Tx|² ≥ 0이므로 AA^T는 양반정부호 행렬(positive semi-definite matrix)이다.

따라서 AA^T의 모든 고유치 λ₁, ···, λ_m은 0보다 크거나 같다. 

X = I_m + PDP^-1 = P(I_m + D)P^-1이므로 X의 고유치는 (λ_X,1 + 1), ···, (λ_X,1 + 1) ≥ 1이다.

따라서 det(X) = (λ_X,1 + 1) × ··· × (λ_X,m + 1)이므로 X는 가역이다.

일반성을 잃지 않고, 행렬 Y도 가역이다.

 

⑵

AA^T ∈ ℝ^m×m, A^TA ∈ ℝ^n×n이 비록 행렬의 크기가 다르더라도 0이 아닌 고유치의 개수와 종류는 동일하다.

한편, tr(X^-1) = tr(P(I_m + D^-1)P^-1) = tr(I_m + D^-1) = ∑_i (1 + λ_X,i)^-1이 성립한다.

비슷하게, tr(Y^-1) = ∑_i (1 + λ_Y,i)^-1이 성립한다.

따라서 0이 아닌 고유치끼리는 서로 상쇄되어, tr(X^-1) - tr(Y^-1) = |m - n|이다.

 

 

7. 양의 실수 x₁, x₂, x₃와 실수 a ∈ [-1/2, 1]에 대하여

 

 

라고 할 때, 다음 부등식을 증명하여라.

 

 

 

Solution.

젠센 부등식을 쓰자.

 

 

 

8. 양의 정수 n에 대하여 크기가 n × n인 실행렬 A, B가

 

A ≠ O, AB - BA = A

 

를 만족할 때, Aⁿ = O이고 Bⁿ ≠ O임을 보여라 (단, O는 영행렬).

 

 

Solution.

임의의 행렬 X ∈ V에 대하여 f_B(X) = XB - BX로 정의하면, f_B는 선형 사상이다.

AB - BA = A는 f_B(A) = 1·A라는 형태이므로 고윳값 λ = 1에 대응하는 고유벡터가 A ≠ O라는 뜻이다. 

f_B(A^k) = A^kB - BA^k = kA^k라고 가정하면,

f_B(A^k+1) = (A^kA)B - B(A^kA) = A^k(BA + A) - BA^k+1 = (BA^k + kA^k)A + A^k+1 - BA^k+1 = (k+1)A^k+1

따라서 수학적 귀납법에 의해 f_B(A^k) = kA^k임을 확인할 수 있다.

만약 모든 k에 대하여 A^k ≠ O라고 한다면 선형함수 f_B는 무수히 많은 고유치를 갖게 되므로 모순이다.

고유치는 최대 n개이므로 적당한 k ≤ n에 대하여 A^k = O가 성립한다.

그러므로 Aⁿ = O가 성립한다.

 

한편, 임의의 양의 정수 k에 대하여 

 

 

만약 Bⁿ = O라면, BⁱAB^k-i에서 i ≥ n이거나 k - i ≥ n인 항은 전부 영행렬이 돼 버린다.

따라서 k가 충분히 크면 전체 합이 0이 돼 버려서 f_B^k(A) = O, k ≫ 1이 됨을 알 수 있다.

그런데 이미 f_B^k(A) = O임을 확인한 바 있으므로 이는 모순이다.

그러므로 Bⁿ ≠ O가 성립한다. 

 

입력: 2025.04.19 21:35